lek_04 (Лекции в PDF)

Лекция № 4Понятие о статически определимых и неопределимых системах. Порядок решения статически неопределимых задач. Расчет статически неопределимой стержневой системыпри растяжении и сжатии (на примере семестрового задания). Влияние температуры,монтажных зазоров и натягов на прочность статически неопределимой конструкции.4. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ4.1. Основные сведения о статически неопределимых системахВ инженерной практике часто встречаются системы, в которых число наложенных связейбольше числа уравнений равновесия.

В этих системах, используя только уравнения равновесия, невозможно определить ни усилия в связях (реакции опор), ни внутренние усилия,возникающие в элементах конструкций. Такие системы называют с т а т и ч е с к и н е определимыми.Статически неопределимые системы – это упругие стержневые системы(конструкции), в которых количество неизвестных внутренних усилий и реакций опор больше числа уравнений статики, возможных для этой системы.Кроме уравнений статики для расчета таких систем (конструкций) приходится привлекать дополнительные условия, описывающие деформацию элементов данной системы. Их условно называют у р а в н е н и я м и п е р е м е щ е н и й или у р а в н е н и я м и с о в м е с т н о с т и д е ф о р м а ц и й (а сам метод решения иногда называют методом сравнения деформаций).Степень статической неопределимости системы – это разность между чис-лом неизвестных и числом независимых уравнений равновесия, которыеможно составить для данной системы.Количество дополнительных уравнений перемещений, необходимых для раскрытия статической неопределимости, должно быть равно степени статической неопределимости системы.4.2.

Порядок решения статически неопределимых задачСтатически неопределимые конструкции будем рассчитывать, решая совместно уравнения, полученные в результате рассмотрения статической, геометрической и физической сторон задач. При этом будем придерживаться следующего порядка:1. Статическая сторона задачи. Составляем уравнения равновесия отсеченных элементов конструкции, содержащие неизвестные усилия.

Определяемстепень статической неопределимости.2. Геометрическая сторона задачи. Рассматривая систему в деформированном состоянии, устанавливаем связи между деформациями и перемещениямиотдельных элементов конструкции и записываем у р а в н е н и я с о в м е с т н о с т и д е ф о р м а ц и й (уравнения перемещений).263. Физическая сторона задачи. На основании закона Гука выражаем перемещения или деформации элементов конструкции через действующие в нихнеизвестные (пока) усилия.4. Математическая сторона задачи (синтез).

Решая совместно статические,геометрические и физические уравнения, находим неизвестные усилия.Рассмотрим примеры расчета некоторых простейших статически неопределимых конструкций.4.3. Примеры решения статически неопределимых задачПример 1Дано:Стальные стержни BC и AD поддерживают абсолютно жесткую (недеформирующуюся) балку AB,на которую действует сила F.

Площади поперечныхсечений и длины стержней известны: ABC=A,AAD=2·A, lOB=2·lOA, lBC=lAD.Определить:Внутренние усилия NAD и NBC, возникающие встержнях.Решение.1. Статическая сторона задачиПокажем все силы, действующие на конструкцию, включая реакции опор и внутренние усилия в стержнях. Для этого, используя методмысленных сечений, «разрежем» стержни и избавимся от всех наложенных на систему связей.Внутренние усилия в стержнях для удобстварасчета будем считать р а с т я г и в а ю щ и м и(положительными) и направленными от сечения стержня.Выясним с т е п е н ь с т а т и ч е с к о й н е о п р е д е л и м о с т и .

Балка находится в равновесии под действием пяти сил (F, ROx, ROy, NAD, NBC), из которыхчетыре неизвестны (ROx, ROy, NAD, NBC). Статика для плоской системы сил дает три уравнения равновесия∑ Fx = 0; ∑ Fy = 0; ∑ M O = 0 ,следовательно, заданная система один раз статически неопределима:4 (неизвестных)–3 (уравнения статики)=1 (степень статич. неопр. системы).27Так как определять реакции шарнира по условию задачи не требуется, то изтрех используем только одно уравнение равновесия:∑ M O = 0 ⇒ N AD ⋅ lOA − F ⋅ lOA + N BC ⋅ lOB ⋅ sin α = 0 ,N AD + 2 ⋅ N BC ⋅ sin α = F .(4.1)2. Геометрическая сторона задачиДля составления дополнительного уравнения (уравнения совместности деформаций) рассмотрим систему в деформированном виде.Балка AB повернется вокруг шарнира O, приэтом точки A и B займут новые положения A1и B1.

Вследствие малости перемещений узловконструкции действительные перемещенияточек A и B по дугам окружности заменимперемещениями по вертикальным прямымAA1 и BB1. По той же причине будем считать,что углы между элементами конструкции дои после деформации остаются постоянными.Из подобия треугольников OAA1 и OBB1 имеемAA1 BB1l=⇒BB1 = OB ⋅ AA1 ⇒BB1 = 2 ⋅ AA1 ,lOAlOBlOAпри этом заметим, что удлинение стержня AD равно перемещению AA1:∆l AD = AA1 .Так как A1D > AD , то, очевидно, что стержень AD растягивается, и его удлинение будем считать п о л о ж и т е л ь н ы м .Построим треугольник BB1B2, опустив перпендикуляр из точки B на отрезокB1C (получим точку B2).Удлинение стержня BC найдем из рассмотрения треугольника BB1B2, учитывая, что ∆lBC=B1B2,∆lBC = B1B2 = BB1 ⋅ sin α .Так как B1C > B2C , то, очевидно, что стержень BC растягивается, и его удлинение будем считать положительным.Учитывая, что BB1 = 2 ⋅ AA1 запишем уравнение совместности деформацийстержней AD и BC:∆lBC = BB1 ⋅ sin α = 2 ⋅ AA1 ⋅ sin α = 2 ⋅ ∆l AD ⋅ sin α ⇒∆lBC = 2 ⋅ ∆l AD ⋅ sin α .28(4.2)3.

Физическая сторона задачиЗдесь необходимо установить связь между перемещениями и внутреннимиусилиями. Такая связь устанавливается при помощи закона Гука с учетомзнаков ∆l и N (в данной задаче они–положительны):∆l AD =∆lBC =N AD ⋅ l AD,E ⋅ AAD(4.3)N BC ⋅ lBC.E ⋅ ABC4. Математическая сторона задачи (синтез)Подставим выражения закона Гука (4.3) в формулы уравнения совместностидеформаций (4.2):N BC ⋅ lBCN ⋅l= 2 ⋅ AD AD ⋅ sin α ⇒E ⋅ ABCE ⋅ AADN BC = N AD ⋅ sin α .Данное уравнение вместе с уравнением равновесия (4.1) образуют, так называемую, п о л н у ю с и с т е м у у р а в н е н и й , решение которой позволяетнайти все неизвестные усилия в стержнях:⎧⎪ N BC = N AD ⋅ sin α,⎨⎪⎩ N AD + 2 ⋅ N BC ⋅ sin α = F ,N AD =F,1 + 2 ⋅ sin 2 αN BC =F ⋅ sin α.1 + 2 ⋅ sin 2 αНапряжения в стержнях при растяжении:NNσ BC = BC ,σ AD = AD .ABCAADЕсли в задаче требуется определить площади сечений стержня, то необходимо воспользоваться у с л о в и е м п р о ч н о с т и :NNσ BC = BC ≤ [ σ] ,σ AD = AD ≤ [ σ] ,ABCAADотсюдаNNABC = A ≥ BC ,AAD = 2 ⋅ A ≥ AD ,[σ][σ]при этом необходимо проверить оба условия, а площадь A принять равнойбольшему из двух полученных значений.Отметим, что при решении статически неопределимых задач обязательно должны бытьзаданы либо площади сечений стержней, либо, по крайней мере, соотношения этих площадей.294.4.

Начальные (монтажные) и температурные напряженияПример 2Дано:Стержневая система, состоящая из стержней одинаковойдлины l и одинаковой площади сечения A, загружена силой F. При этом при сборке системы за счет зазора ∆ встержнях были созданы начальные (монтажные) напряжения и температурные напряжения за счет нагрева стержняAB на температуру t.Определить:Внутренние усилия, возникающие в стержнях.Решение1. Статическая сторона задачиПрименяя метод мысленных сечений, вырежем каждыйиз шарниров A и B и запишем для них уравнения равновесия.Шарнир A∑F∑Fx=0 ⇒N AC = N ADy=0 ⇒N AB = 2 ⋅ N AC ⋅ cos α∑F∑FШарнир Bx=0 ⇒N BE = N BFy=0 ⇒N AB = 2 ⋅ N BE ⋅ cos βКак видим, в данные четыре уравнения входят пять неизвестных внутренних усилий, тоесть система один раз статически неопределима (дополнительно требуется составить одноуравнение совместности деформаций стержней).2.

Геометрическая сторона задачиРассмотрим систему в деформированном состоянии изапишем уравнения, связывающие перемещения элементов системы с деформациями стержней.∆l AC = A1 A2 , растяжение ( A1C > AC ) ;∆lBE = BB2 , сжатие ( B1 E < BE ) ;∆l AB = ∆ + ( BB1 − AA1 ) , растяжение.Заметим, что деформацию стержня AB в данном случае считаем растягивающей, полагаяBB1>AA1 и учитывая монтажный зазор ∆, для устранения которого при сборке стерженьAB необходимо растянуть.30Рассматривая треугольники AA1A2 и BB1B2, найдем:BB2AABB1 =, AA1 = 1 2 .cos βcos αПосле подстановки, получим уравнение совместности деформаций:∆l∆l∆l AB = ∆ + BE − AC .cos β cos α3.

Физическая сторона задачиЗапишем закон Гука, здесь же необходимо учесть и температурные деформации αt·t·lAB (αt – коэффициент линейного расширения материала стержня):N ⋅l∆l AB = AB AB + α t ⋅ t ⋅ l AB ,E ⋅ AABN ⋅l∆l AC = AC AC ,E ⋅ AACN ⋅l∆lBE = − BE BE .E ⋅ ABEЗдесь учтено, что все усилия и деформации стержней приняты положительными.4. Математическая сторона задачи (синтез)Подставим выражения закона Гука в уравнение совместности деформаций:⎛ N⎞N∆ ⋅ E ⋅ AABN AB = − ⎜ BE + AC −+ α t ⋅ t ⋅ E ⋅ AAB ⎟ .l AB⎝ cos β cos α⎠Решая данное уравнение совместно с уравнениями равновесия, найдем неизвестные внутренние усилия в стержнях.31.