lek_03 (Лекции в PDF)

Лекция № 3Растяжение (сжатие) элементов конструкций. Определение внутренних усилий, напряжений, деформаций (продольных и поперечных). Коэффициент поперечных деформаций (коэффициент Пуассона). Гипотеза Бернулли и принцип Сен-Венана. Расчеты напрочность и жесткость при растяжении и сжатии. Коэффициент запаса прочности. Расчет по допускаемым напряжениям.3.

ПРОСТЫЕ ВИДЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ3.1. Внутренние усилия и напряжения при растяжении (сжатии)Растяжение (сжатие) – простой вид сопротивления, при кото-ром стержень нагружен силами, параллельными продольнойоси стержня и приложенными в центр тяжести его сечения.Рассмотрим стержень упруго растянутый центрально приложенными сосредоточенными силами F.Прежде чем перейти к исследованию внутренних усилий и напряжений, возникающих врастянутом стержне, рассмотрим некоторые гипотезы, связанные с характером деформирования такого стержня и имеющие в сопротивлении материалов исключительно важноезначение.Принцип Сен-Венана: в сечениях, достаточно удаленных от мест приложениясил, распределение напряжений и деформаций мало зависит от способа приложения нагрузок.Принцип Сен-Венана дает возможность вести расчет без учета местных (локальных) деформаций, возникающих вблизи от точек приложения внешних сил (см. рисунок) и отличающихся от деформаций основного объема материала, что в большинстве случаев упрощает решение задачи.Гипотеза плоских сечений (гипотеза Я.

Бернулли): поперечные сечениястержня плоские и перпендикулярные его оси до деформации остаются плоскими и перпендикулярными оси и после деформации (см. рисунок).Используя метод мысленных сечений, определим внутренние усилия в растянутомстержне:а) стержень, нагруженный растягивающимисилами F и находящийся в равновесии, рассекаем произвольным сечением;б) отбрасываем одну из частей стержня, а еедействие на другую часть компенсируемвнутренними усилиями, интенсивностью σ;в) осевое внутреннее усилие N, возникающеев сечении стержня, определим, составляяуравнения равновесия для отсеченной части:N = ∑ Fx .19Проецируя внешнюю силу F, действующую на отсеченную часть стержня, надругие оси (y и z), а также составляя уравнения моментов относительно координатных осей, легко убедится, что осевое усилие N является единственнымвнутренним усилием, возникающим в сечении стержня (остальные тождественно равны нулю).Таким образом, при растяжении (сжатии) из шести внутренних усилий в сечении стержня возникает только одно – осевое усилие N.Нормальные напряжения σx, возникающие в сечении стержня, связаны с осевым усилием N следующим образом:dNσx =, или N = ∫ σ x ⋅ dA .dAAУчитывая, что в соответствии с гипотезой Бернулли напряжения равномернораспределены по поперечному сечению (т.

е. σx=const), можно записать:N = σx ⋅ A .Таким образом, нормальные напряжения при растяжении (сжатии) определяются какNσx = .A3.2. Перемещения и деформации при растяжении (сжатии)Рассмотрим стержень, находящийся под действием растягивающей нагрузки. Выделим (додеформации) два произвольных сечениястержня А–А и B–B, отстоящие друг от другана расстоянии dx. От приложенной нагрузкисечение А–А переместиться в положение А1–А1на расстояние u, а сечение B–B – в положениеB1–B1 на расстояние u+du (du – бесконечно малая величина). Следовательно, абсолютное удлинение отрезка dx равно разности его размеров до и после деформации ∆dx = du .Относительная продольная деформация точек сечения A–A стержня прирастяженииεx =du.dxДля линейно-упругого материала относительная деформация при растяжениисвязана с нормальными напряжениями по закону Гука:20εx =или, учитывая, что σ x = N A ,σx,EN,E⋅Aздесь Е – модуль нормальной упругости (модуль Юнга), постоянный коэффициент, который является к о н с т а н т о й материала (например, для сталиЕ=2·1011 Па, для меди Е=1·1011 Па, для титана Е=1,2·1011 Па).εx =Исходя из этих формул, можно записать выражение для перемещений точекрастягиваемого стержня в рассматриваемом сеченииduNN=⇒du =⋅ dx .dx E ⋅ AE⋅AТогда, полное удлинение стержня при растяжении ∆l, равное перемещениюточек правого крайнего сечения, относительно левого крайнего:lN∆l = u = ∫⋅ dx .⋅EA0При постоянстве величин N, А, E вдоль оси стержня, абсолютное удлинениеможно найти так:N ⋅l∆l =.E⋅AПри растяжении стержень деформируется не только в продольном направлении, но и в поперечном.Абсолютная поперечная деформация стержняопределяется как разность его поперечных размеров до и после деформации:∆ a = a1 − a;∆ b = b1 − b .Относительнаяпоперечнаядеформациястержня определяется отношением абсолютнойпоперечной деформации к соответствующемупервоначальному размеру.Относительная поперечная деформация при растяжении (сжатии) для изотропных материалов во всех направлениях одинакова:∆a∆b;;εy =εz =ε y = ε z = ε попер .abМежду поперечной и продольной относительной деформациями при растяжении (сжатии) в пределах применимости закона Гука существует постоян21ное соотношение, которое называется коэффициентом поперечных деформаций (коэффициентом Пуассона µ).Коэффициент Пуассона равен абсолютной величине отношения поперечнойдеформации к продольнойµ=εпоперεпрод=εyεx=εz.εxКоэффициент Пуассона – безразмерная величина.Так как продольная и поперечная деформация для большинства конструкционных материалов имеют противоположные знаки, можем записатьε y = ε z = −µ ⋅ ε x ,или, учитывая, что, согласно закону Гука,εx = σx E ,запишемσε y = ε z = −µ ⋅ x .EКоэффициент Пуассона µ наряду с модулем Юнга E характеризуют упругиесвойства материала.

Для изотропных материалов коэффициент Пуассона лежит в пределах от 0 до 0,5 (пробка µ≈0; сталь µ≈0,3; каучук µ≈0,5).3.3. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении (сжатии)Одна из основных задач сопротивления материалов – обеспечить надежныеразмеры деталей, подверженных тому или иному силовому, температурномуили другому воздействию. Указанные размеры можно определить из расчетана прочность или жесткость. Рассмотрим условия прочности и жесткости дляслучаев простого растяжения (сжатия). Опасность наступления разрушенияхарактеризуется величинами наибольших нормальных и касательных напряжений, возникающих при нагружении в опасных (т.

е. наиболее напряженных) точках сечения. Очевидно, что реальные материалы не могут выдерживать сколь угодно большие напряжения. Поэтому величины наибольших напряжений из условия надежности работы детали необходимо ограничиватьнекоторыми допустимыми значениями, такими, чтобы деталь испытывалатолько упругие деформации. Их называют д о п у с к а е м ы м и н а п р я ж е н и я м и . При растяжении и сжатии допускаемые напряжения обозначают[σ+], [σ–] соответственно (принято также обозначение σadm).Если из расчета известны максимальные и минимальные (по алгебраическойвеличине) напряжения, возникающие в опасном сечении детали, то условияпрочности могут быть записаны следующим образом:σmax ≤ [ σ+ ] ,σmin ≤ [ σ− ] .22Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, что характерно для пластичных материалов (более строго–для материалов в пластичном состоянии), а значит [σ+]=[σ–]=[σ], тоN maxσmax =,Aи условие прочности при растяжении (сжатии) запишем в виде:N maxσmax =≤ [ σ] .AВ некоторых случаях для обеспечения нормальной работы машин и сооружений размеры их деталей нужно выбирать так, чтобы обеспечивалось у с л о в и е ж е с т к о с т и , то есть ограничить предельные деформации (перемещения) элементов конструкции.Условие жесткости, ограничивающее изменение длины элемента, имеет сле-дующий общий вид:∆l ≤ [ ∆ l ] ,где ∆l – изменение размеров детали; [∆l] – допускаемая величина этого изменения.Учитывая, что при растяжении (сжатии) абсолютное удлинение в общем видеопределяется как алгебраическая сумма величин ∆l по участкамN ( x ) ⋅ dx,∆l = ∑∫E ⋅ A( x)условие жесткости при растяжении (сжатии) запишем следующим образом:N ( x ) ⋅ dx∆l = ∑∫≤ [∆ l ] .E ⋅ A( x)3.4.

Допускаемые напряжения. Коэффициент запаса прочности. Виды расчетовИтак, размеры деталей необходимо подбирать таким образом, чтобы поддействием приложенных нагрузок элемент конструкции не разрушался и неполучал деформаций, превышающих допустимые. Отметим при этом, что вбольшинстве машиностроительных деталей не допускается возникновениеостаточных деформаций под действием эксплуатационных нагрузок.Как показывают механические испытания (испытания на растяжение и сжатие), р а з р у ш е н и е хрупких материалов начинается, когда напряжения всечении элемента конструкции превысят величину временного сопротивления (предела прочности) σв.

Поэтому для хрупких материалов, деформациякоторых, как правило, незначительна, за о п а с н о е (предельное) напряжениеследует принимать именно предел прочности σв:23σо = σв .Для пластичных материалов за о п а с н о е (предельное) напряжение следуетпринимать предел текучести σт (или условный предел текучести σ0,2, еслиплощадка текучести отсутствует), так как за пределом текучести в пластичных материалах возникают значительные пластические деформации, приводящие при сбросе нагрузки до нуля к появлению остаточных напряжений,следовательно:σо = σ т .Естественно, что эти опасные напряжения не могут быть использованы в качестве допускаемых. Их следует уменьшить настолько, чтобы в эксплуатационных условиях действующие напряжения гарантированно были меньшеопасных, а деформации были упругими. Таким образом, допускаемое напряжение может быть определено по формулеσ[ σ] = о ,nгде σо – опасное напряжение; n – коэффициент запаса прочности.Допускаемые напряжения – это наибольшие напряжения, которые можно до-пустить в конструкции при условии его безопасной, надежной и долговечнойработы.Выбор коэффициента запаса прочности зависит от состояния материала(хрупкое или пластичное), характера приложения нагрузки (статическая, динамическая или повторно-переменная) и некоторых общих факторов, основными из которых являются:1) различие механических характеристик материала в лабораторных образцах и реальной детали;2) неточность задания величины внешних нагрузок;3) неточность расчетных схем и приближенность методов расчета;4) учет конкретных условий работы рассчитываемой конструкции;5) долговечность и значимость проектируемого сооружения или машины.Для конструкционных сталей значение коэффициента запаса прочности принимается n=1,4…1,6; для хрупких материалов n=2,5…3; для древесиныn=3,5…6.