lek_02 (Лекции в PDF)

Лекция № 2Понятие о геометрических характеристиках однородных поперечных сечений. Центртяжести; статические моменты; моменты инерции – осевые, центробежный, полярный;моменты сопротивления; радиусы инерции. Главные оси и главные моменты инерции.Понятие об упруго-геометрических характеристиках неоднородных сечений.2.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ2.1. Некоторые сведения о геометрических характеристикахГеометрические характеристики – числовые величины (параметры), опреде-ляющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородногопо упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации).Рассмотрим произвольное поперечное сечение A(сечение бруса) с координатами центра тяжестиzc, yc.

В точке (z, y) выделим элемент площади dA.Основные геометрические характеристики поперечных сечений элементов конструкций (в томчисле и данного сечения) описываются интегралами следующего видаmn∫ y ⋅ z ⋅ dA .AРассмотрим некоторые характерные варианты записи этого интеграла и получим выражения для основных геометрических характеристик.Площадь поперечного сеченияПри m=0, n=0 интеграл приобретает вид∫ dA = A ,Aа соответствующая характеристика, как видим, представляет собой площадьпоперечного сечения элемента.Оказывается, что во многих случаях деформирования тела знание только площади его поперечного сечения недостаточно.Статические моментыЕсли m=1, n=0, тогда получим характеристику∫ y ⋅ dA = S z ,Aкоторая называется статическим моментом относительно оси z,или, при m=0, n=1,∫ z ⋅ dA = S yAстатическим моментом относительно оси y.12Статический момент относительно данной оси – сумма произведений эле-ментарных площадей dA на их расстояние до данной оси, взятая по всейплощади сечения А.На основании теоремы Вариньяна (из курса теоретической механики) следует, чтоS z = ∫ y ⋅ dA = yc ⋅ A,S y = ∫ z ⋅ dA =zc ⋅ A ,AAа для сложного сечения (состоящего из нескольких простых, каждое из которых имеет площадь Ai и координаты собственного центра тяжести yci , zсi )S z = ∑ yci ⋅ Ai ,S y = ∑ zci ⋅ Ai .Статический момент относительно какой-либо оси равен произведению всейплощади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.Отсюда можем получить формулы для определения координат центра тяжести сечения:S y ∑ zci ⋅ AiS∑ yci ⋅ Ai ,yc = z =zc ==.AAAA∑ i∑ iКак видим, относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения,статические моменты равны нулю, а сами эти оси называются центральными.Размерность статических моментов – м3 в системе СИ.Осевые моменты инерцииЕсли m=2, n=0, тогда получим характеристику2∫ y ⋅ dA = J z ,Aкоторая называется осевым моментом инерции относительно оси z,или, при m=0, n=2,2∫ z ⋅ dA = J y –Aосевым моментом инерции относительно оси y.Осевой момент инерции относительно данной оси – сумма произведенийэлементарных площадей dA на квадрат их расстояний до данной оси, взятаяпо всей площади сечения А.Центробежный момент инерцииЕсли m=1, n=1, тогда получим характеристику∫ z ⋅ y ⋅ dA = J zy ,Aкоторая называется центробежным моментом инерции.13Центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма про-изведений элементарных площадей dA на их расстояния до этих осей, взятаяпо всей площади сечения А.Если хотя бы одна из осей y или z является осью симметрии сечения,центробежный момент инерции такого сечения относительно этих осейравен нулю (так как в этом случае каждой положительной величине z·y·dAможем поставить в соответствие точно такую же, но отрицательную, подругую сторону от оси симметрии сечения, см.

рисунок).Рассмотрим дополнительные геометрические характеристики, которые могут быть получены из перечисленных основных и также часто используются в расчетах на прочность ижесткость.Полярный момент инерцииПолярным моментом инерции Jp называют характеристикуJ p = Jz + Jy .С другой стороны,J p = J z + J y = ∫ y 2 ⋅ dA + ∫ z 2 ⋅ dA = ∫ ( y 2 + z 2 ) ⋅ dA = ∫ ρ2 ⋅ dA .AAAAПолярный момент инерции (относительно данной точки) – сумма произведе-ний элементарных площадей dA на квадраты их расстояний ( ρ2 = y 2 + z 2 ) доэтой точки, взятая по всей площади сечения А.Размерность моментов инерции – м4 в СИ.Момент сопротивленияМомент сопротивления относительно некоторой оси – величина равная мо-менту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию (ymax илиzmax) до наиболее удаленной от этой оси точкиJyJWz = z ; Wy =.ymaxzmaxРазмерность моментов сопротивления – м3 в СИ.Радиус инерцииРадиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величи-на, определяемая из соотношения:iz =Jz,Aiy =JyA.Радиусы инерции выражаются в м в системе СИ.Замечание: сечения элементов современных конструкций часто представляют собой некоторую композицию из материалов с разным сопротивлением упругим деформациям,характеризуемым, как известно из курса физики, модулем Юнга E.

В самом общем случаенеоднородного сечения модуль Юнга является непрерывной функцией координат точексечения, т. е. E=E(z, y). Поэтому жесткость неоднородного по упругим свойствам сечения14характеризуется более сложными, чем геометрические характеристики однородного сечения, характеристиками, а именно упруго-геометрическими вида∫ E ( z, y ) ⋅ ymz n dA .A2.2. Вычисление геометрических характеристик простых фигурПрямоугольное сечениеОпределим осевой момент инерции прямоугольникаотносительно оси z.Разобьем площадь прямоугольника на элементарныеплощадки с размерами b (ширина) и dy (высота).

Тогдаплощадь такого элементарного прямоугольника (заштрихован) равна dA=b·dy. Подставляя значение dA в первуюформулу, получим+h/ 2y 3 + h / 2 b ⋅ h32=.J z = ∫ y ⋅ dA = ∫ y 2 ⋅ b ⋅ dy = b ⋅312−h / 2A−h / 2По аналогии запишемh ⋅ b3Jy =.12Подобным образом можно получить геометрические характеристики и для других простых фигур.Круглое сечениеСначала удобно найти п о л я р н ы й момент инерции Jp.Затем, учитывая, что для круга Jz=Jy, а Jp=Jz+Jy, найдемJz=Jy=Jp/2.Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной dρ ирадиусом ρ; площадь такого кольца dA = 2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ d ρ .

Подставляя выражение для dA в выражение для Jp и интегрируя,получимD/2ρ4 D / 2 π ⋅ D 422,=J p = ∫ ρ ⋅ dA = ∫ ρ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ρ ⋅ d ρ = 2 ⋅ π ⋅4 0320AтогдаJpπ ⋅ D4=Jz = Jy =.2642.3. Вычисление моментов инерции относительно параллельных осейПусть известны моменты инерции произвольного сечения относительно центральных осей z и y:J z = ∫ y 2 ⋅ dA ;J y = ∫ z 2 ⋅ dA ;J zy = ∫ z ⋅ y ⋅ dA .AAA15Требуется определить моменты инерции этогосечения относительно «новых» осей z1 и y1, параллельных центральным и отстоящих от нихна расстояние a и b соответственно:22J z1 = ∫ y1 ⋅ dA; J y1 = ∫ z1 ⋅ dA ; J z1 y1 = ∫ z1 ⋅ y1 ⋅ dA .AAAКоординаты любой точки в «новой» системекоординат z101y1 можно выразить черезкоординаты в «старых» осях z и y так:z1 = z + b ; y1 = y + a .Подставляем эти значения в формулы для моментов инерции в «новых» осяхи интегрируем почленно:2J z1 = ∫ y12 ⋅ dA = ∫ ( y + a ) ⋅ dA = ∫ y 2 ⋅ dA + 2 ⋅ a ⋅ ∫ y ⋅ dA + a 2 ⋅ ∫ dA ,AAAAAJ z1 = J z + 2 ⋅ a ⋅ S z + a ⋅ A .Так как оси z и y – центральные, то Sz=0.2Окончательно можем записать формулы «перехода» при параллельном переносе осей:J z1 = J z + a 2 ⋅ A ;J y1 = J y + b2 ⋅ A ;J y1z1 = J yz + a ⋅ b ⋅ A .Отметим, что координаты a и b необходимо подставлять с учетом их знака (в системе координат z101y1).2.4.

Вычисление моментов инерции при повороте координатных осейПусть известны моменты инерции произвольного сечения относительно центральных осей z,y:J z = ∫ y 2 ⋅ dA ; J y = ∫ z 2 ⋅ dA ; J zy = ∫ z ⋅ y ⋅ dA .AAAПовернем оси z, y на угол α против часовойстрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным.Требуется определить моментыотносительно «новых» (повернутых) осей z1 и y1:22J z1 = ∫ y1 ⋅ dA; J y1 = ∫ z1 ⋅ dA ; J z1 y1 = ∫ z1 ⋅ y1 ⋅ dA .AAA16инерцииКоординаты элементарной площадки dA в «новой» системе координат z10y1можно выразить через координаты в «старых» осях так:z1 = OC = OE + AD = z ⋅ cos α + y ⋅ sin α ;y1 = BC = BD − EA = y ⋅ cos α − z ⋅ sin α .Подставляем эти значения в формулы для моментов инерции в «новых» осяхи интегрируем почленно:2J z1 = ∫ y12 ⋅ dA = ∫ ( y ⋅ cos α − z ⋅ sin α ) ⋅ dA =AA= cos 2 α ⋅ ∫ y 2 ⋅ dA − 2 ⋅ sin α ⋅ cos α ⋅ ∫ z ⋅ y ⋅ dA + sin 2 α ⋅ ∫ z 2 ⋅ dA =AAA= J z ⋅ cos 2 α + J y ⋅ sin 2 α − J zy ⋅ sin 2α.Проделав аналогичные преобразования с остальными выражениями, запишемокончательно формулы «перехода» при повороте координатных осей:J z1 = J z ⋅ cos 2 α + J y ⋅ sin 2 α − J zy ⋅ sin 2α ;(2.1)J y1 = J y ⋅ cos 2 α + J z ⋅ sin 2 α + J zy ⋅ sin 2α ;J z1 y1 =Jz − J y2⋅ sin 2α + J zy ⋅ cos 2α .(2.2)(2.3)Отметим, что если сложить два первых уравнения, то получимJ z1 + J y1 = J z + J y = J p ,т.

е. полярный момент инерции есть величина и н в а р и а н т н а я (другими словами, неизменная при повороте координатных осей).2.5. Главные оси и главные моменты инерцииДо сих пор рассматривались геометрические характеристики сечений в произвольной системе координат, однако наибольший практический интерес представляет система координат, в которой сечение описывается наименьшим количеством геометрических характеристик.

Такая «особая» система координат задается положением главных осей сечения. Введем понятия: главные оси и главные моменты инерции.Главные оси – две взаимно перпендикулярные оси, относительно которыхцентробежный момент инерции равен нулю, при этом осевые моменты инерции принимают экстремальные значения (максимум и минимум).Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются г л а в ными центральными осями.Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.17Главные центральные оси принято обозначать буквами u и v; главные моменты инерции – Ju и Jv (по определению Juv=0).Выведем выражения, позволяющие находить положение главных осей и величину главных моментов инерции.

Зная, что Juv=0, воспользуемся уравнением (2.3):Jz − J y⋅ sin 2α 0 + J zy ⋅ cos 2α 0 = 0 .J uv =2Отсюда2 ⋅ J zy.(2.4)tg 2α 0 = −Jz − J yУгол α0 определяет положение главных осей относительно любых центральных осей z и y. Угол α0 откладывается между осью z и осью u и считается положительным в направлении п р о т и в часовой стрелки.Заметим, что если сечение имеет ось симметрии, то, в соответствии со свойством центробежного момента инерции (см. разд.2.1, п.4), такая ось всегда будет главной осью сечения.Исключая угол α в выражениях (2.1) и (2.2) с помощью (2.4), получим формулы для определения главных осевых моментов инерции:Jz + Jy 12J max =J z − J y ) + 4 ⋅ J yz2 .±(22minЗапишем правило: ось максимум всегда составляет меньший угол с той изосей (z или y), относительно которой момент инерции имеет большее значение.18.