23 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))
Описание файла
PDF-файл из архива "Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "кузнецов (высшая математика)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-23Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:СкачПолучаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора:К первой строке прибавим вторую умноженную на:tigtu.ruanИскомое разложение:аносЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-23Условие задачиКоллинеарны ли векторыРешениеи, построенные по векторами?ачВекторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Нетрудно заметить, что, а значит векторыСкТ.е.для любыхи- коллинеарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-23Условие задачиНайти косинус угла между векторамии..
Т.е. векторыи.и:Находим косинус угламежду векторами:аносТ.е. косинус угла:иanНайдемtigtu.ruРешениеи следовательно уголЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-23Условие задачии.СкачВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахРешениеПлощадь параллелограмма, построенного на векторахпроизведения:и, численно равна модулю их векторного, используя его свойства векторного произведения:tigtu.ruВычисляемВычисляем площадь:Т.е. площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-23Решение,и?аносКомпланарны ли векторыanУсловие задачиДля того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхТак какачплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю., то векторы,ибыло равнокомпланарны.СкЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-23Условие задачиВычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.и его высоту, опущенную изИз вершиныпроведем векторы:tigtu.ruРешениеПолучаем:ачТак каканосВычислим смешанное произведение:anВ соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:СкСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:Вычислим векторное произведение:tigtu.ruПолучаем:anТогда:Объем тетраэдра:Высота:аносЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-23Условие задачиНайти расстояние от точкиРешениедо плоскости, проходящей через три точкиСкачНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точкиПроведем преобразования:.:от точкидо плоскости:anНаходим:tigtu.ruРасстояниеЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-23аносУсловие задачиНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуРешение.:ачНайдем векторперпендикулярно векторуСкТак как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали.
Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-23Условие задачиНайти угол между плоскостями:tigtu.ruРешениеДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:между плоскостями определяется формулой:anУголаносЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-23Условие задачиНайти координаты точкиРешениеи:ачНайдем расстояние, равноудаленной от точекСкТак как по условию задачиТаким образом., тои.tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-23Условие задачиПусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости ?РешениеПри преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскость.
Находим образ плоскостиanв уравнение:аносПодставим координаты точкиТак как, то точка:не принадлежит образу плоскости.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-23Условие задачиачНаписать канонические уравнения прямой.РешениеСкКанонические уравнения прямой:,где- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные вектора плоскостей:tigtu.ruНайдем направляющий вектор:.
Пусть, тогдаачаносanНайдем какую-либо точку прямойСкСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-23Условие задачиНайти точку пересечения прямой и плоскости.Подставляем в уравнение плоскости:anЗапишем параметрические уравнения прямой.tigtu.ruРешениеПолучаем:аносНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-23ачУсловие задачисимметричную точкеСкНайти точкуотносительно плоскости.РешениеНайдем уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку.Так как прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можновзять вектор нормали плоскости:tigtu.ruТогда уравнение искомой прямой:Подставляем в уравнение плоскости:anНайдем точкупересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой.Получаем:является серединой отрезкаСкачТак каканосНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Получаем:, то.