FN_Alg19 (Лекции 2009), страница 2

Теорема 5: Пусть {amn } — посл. с двойной нумерацией, рядamnnPPсходится ∀n иamn = bm . Еслиbm сходится, то любой ряд ck , полученный перенумерациейn PPPP{amn }, сходится кbm . Следствие:(an + bn ) =an + bn . Покомпонентная непрерывностьоперации сложения относительно естественного порядка.ÌÃÒÓÌÃÒÓявляется монотонной. Если эта последовательность имеет точную верхнюю грань S, торасматриваемый ряд будем называть сходящимся, а элемент S — его суммой.Теорема 19.2. Последовательность частичных сумм сходящегося ряда имеет точную верхнюю грань, равную сумме ряда. Если последовательность членов ряда имеет точную верхнююгрань, то ряд сходится к этой точной верхней грани.J Для доказательства утверждения теоремы достаточно показать, что у последовательности{an } членов ряда и последовательности {Sn } его частичных сумм множества верхних гранейсовпадают.

Тогда из существования наименьшего элемента у одного множества следует существование наименьшего элемента у другого множества, причем это будет один и тот же элементполукольца.Поскольку an 6 Sn , то любая верхняя грань последовательности {Sn } является верхнейгранью и последовательности {an }. Пусть b — верхняя грань последовательности {an }. Тогдаan 6 b, n ∈ N.

В силу свойства д) естественного порядка полукольцаSn = a1 + a2 + . . . + an 6 b,n ∈ N.Следовательно, b есть верхняя грань последовательности {Sn }. I∞PСледствие 19.1. ai 6 a ⇒ai 6 a.i=1i=1k=1nk+1bk =Xai = ank +1 + ank +2 + ank+1 ,ÌÃÒÓЭто следствие формулирует результат второй части доказательства теоремы: верхняя граньпоследовательности членов ряда есть в то же время верхняя грань последовательности частичных сумм.∞∞PPРядbk , называется группировкой ряда , еслиÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ54ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ19.

ПОЛУКОЛЬЦАÔÍ-12И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ ÌÃÒÓУтверждение доказанной теоремы можно рассматривать как свойство бесконечной ассоциативности сложения в полукольце.ÔÍ-12J В основе теоремы лежит утверждение, что точная верхняя грань неубывающей последовательности совпадает с точной верхней гранью любой ее подпоследовательности.Поскольку подпоследовательность есть подмножество последовательности, любая верхняягрань последовательности есть верхняя грань и любой ее подпоследовательности. Если последовательность монотонная, то верно и обратное.

Действительно, рассмотрим монотоннуюпоследовательность {Sn } и произвольную ее подпоследовательность {Snk }. Пусть b — верхняягрань последовательности {Snk }, т.е. Snk 6 b, k ∈ N. Для произвольного номера m можно выбрать такой номер k, что m 6 nk . Следовательно, Sm 6 Snk 6 b. Значит, b является верхнейгранью всей последовательности.Итак, множества верхних граней последовательности {Sn } и ее подпоследовательности {Snk }совпадают.

Значит, совпадают и их точные верхние грани, причем для существования точнойверхней грани одной последовательности достаточно существования точной верхней грани другой. IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓТеорема 19.3. Если ряд сходится, то любая его группировка сходится к той же сумме. Длясходимости ряда достаточно сходимости какой-либо его группировки.ÌÃÒÓÔÍ-12где {nk } — возрастающая последовательность натуральных чисел, начинающаяся с n1 = 1. Отметим очевидный факт, что последовательность частичных сумм группированного ряда является подпоследовательностью последовательности частичных сумм негруппированного ряда.ÔÍ-12ÔÍ-12i=nk +1ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ55Пусть {nk } — последовательность натуральных чисел, представляющая собой биективноеотображение множества натцуральных чисел на себя (т.е.

любой натуральное число появляется∞Pв последовательности, и притом ровно один раз). Тогда из любого рядаak можно образоватьновый ряд∞Pank , называемый перестановкой рядаk=1k=1∞Pak . Последовательность элементовk=1полукольца K естественно интерпретировать как отображение вида ϕ: N → K. Образ ϕ(n)номера n при этом отображении является n-м членом последовательности.

При такой трактовке перестановка членов последовательности (и, соответственно, членов ряда) есть композиция ϕ ◦ h, где h: N → N — биекция множества натуральных чисел на себя, записываемаякак последовательность {nk }. При такой трактовке ясно, что если последовательность {bk }получена перестановкой последовательности {an }, то и последовательность {an } может бытьполучена перестановкой последовательности {bk }. Такая перестановка порождается отображением h−1 , обратным к отображению h.J Доказательство теоремы, как и в случае предыдущей теоремы, повторяет доказательствосвоего аналога для положительных числовых рядов. Пусть {Sn } — последовательность ча∞∞PPank .ak , а {Dk } — последовательность частичных сумм перестановкистичных сумм рядаk=1k=1Отметим, чтоÔÍ-12Теорема 19.4.

Если ряд в полукольце сходится, то и любая перестановка этого ряда тожесходится, причем к той же сумме.ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ19. ПОЛУКОЛЬЦАÔÍ-12И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ ÌÃÒÓсреди слагаемых будет содержать все элементы anj , j = 1, k. Из этого вытекает, что длялюбого k ∈ N существует номер m при котором Dk 6 Sm . Из этого нетрудно сделать вывод,что любая верхняя грань последовательности {Sm } является верхней гранью и последовательности {Dk }. Иначе говоря, множество верхних граней последовательности частичных суммлюбого ряда включается в множество верхних граней последовательности частичных сумм любой его перестановки.

Всеобщность этого утверждения и обратимость перестановки позволяютсделать вывод, что на самом деле множества верхних граней последовательности частичныхсумм ряда и последовательности частичных сумм произвольной его перестановки совпадают.Следовательно, из сходимости одного ряыда следует сходимость другого к той же сумме. In=1∞X(an + bn ) =n=1∞Xan +n=1∞Xbn .n=1Здесь участвуют группировка слагаемых бесконечной суммы и их перестановка. Однакорассмотренные выше перестановки не позволяют собрать“ два ряда в один или, наоборот,”разделить один ряд на два.

Кроме того, сходящийся ряд может разделиться на два так, чтообе составляющие сходиться не будут (этот эффект проще всего наблюдать в множестве знакоположительных числовых рядов с рациональными членами). Это указывает на то, что издоказанных выше теорем 19.3 и 19.4 сформулированная теорема 19.5 не может быть выведена.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12n=1n=1ÌÃÒÓУтверждение доказанной теоремы можно рассматривать как свойство бесконечной коммутативности. В рамках бесконечной коммутативности можно рассматривать и следующее свойство.∞∞∞PPPbn сходятся, то и ряд(an + bn ) сходится, причемТеорема 19.5. Если рядыan иÌÃÒÓÔÍ-12S m = a1 + a2 + .

. . + amÔÍ-12ÌÃÒÓПоложим m = max {n1 , n2 , . . . , nk }. Тогда суммаÌÃÒÓÌÃÒÓDk = an1 + an2 + . . . + an−k .ÌÃÒÓÌÃÒÓ56ÔÍ-12Мы докажем обобщение сформулированной теоремыТеорема 19.6. Пусть {amn } — последовательность с двойной нумерацией, рядсходится для каждого номера n к сумме bm , т.е.сумме b, то любой ряд∞P∞Pamn = bm .

Если рядn=1∞P∞Pamnn=1bm сходится кm=1ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ19. ПОЛУКОЛЬЦАÔÍ-12И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ ÌÃÒÓck , полученный перенумерацией последовательности {amn } в единуюпоследовательность {ck }, сходится к b.J Во-первых, по определению суммы ряда в полукольце имеем bm 6 b, m ∈ N, и amn 6 bm ,m, n ∈ N. Следовательно, amn 6 b, m, n ∈ N. Но тогда b есть верхняя грань последовательно∞Pck , а значит, и последовательности частичных сумм этого ряда. Во-вторых,сти членов рядаk=1любая верхняя грань b0 последовательности частичных сумм ряда∞PÌÃÒÓÌÃÒÓk=1ck есть верхняя грань по-ÌÃÒÓn=1являются членами последовательности {ck }. Значит, сумма этого ряда, являющаяся точнойверхней гранью последовательности членов ряда, не превышает b0 , т.е.

bm 6 b0 . Но тогда иb = sup {bm } 6 b0 .Тем самым доказано, что b есть верхняя грань последовательности частичных сумм ряда∞Pck , причем наименьшая верхняя грань. В соответствии с определением суммы ряда заk=1ключаем, что ряд∞Pck сходится к b. Ik=1Эта последовательность удовлетворяет условиям теоремы 19.6, причем нетрудно увидеть, что∞Pсуммой ряда с общим членомrmn , т.е. рядаÔÍ-12Доказательство теоремы 19.5 можно получить, модифицируя подходящим образом доказательство теоремы 19.6. Можно также рассуждать следующим образом.∞∞PPПусть рядыan ииn сходятся к суммам a и b соответственно.

Рассмотрим двухинn=1n=1дексную последовательностьan , m = 1;rmn = bn m = 2;0, m > 2.ÌÃÒÓÔÍ-12следовательности членов этого ряда. Поэтому для любого номера m элемент b0 является верхней∞Pгранью последовательности членов рядаamn , поскольку все члены этой последовательностиÔÍ-12ÔÍ-12k=1является сумма a + b. Следовательно, любой ряд, полученный перенумерацией двухиндекснойпоследовательности rmn , будет сходиться к a + b. Нетрудно построить такую нумерацию последовательности rmn , при которой ненулевые слагаемые идут в порядке a1 , b1 , a2 , b2 и т.д.

Вполученном ряде многие члены нулевые. Наличие таких членов означает, что некоторые членыв последовательности частичных сумм повторяются. Выбрасывание нулевых слагаемых не скажется на множестве значений последовательности частичных сумм, а потому на существованиии значении точной верхней грани этой последовательности. Но, выбросив все нулевые слагаемые, мы получим рядa1 + b 1 + a2 + b 2 + .