1586687749-63dd9468cfb9fa3c00fd8bb66e9e07e1 (Ряды с комплексными числами. Теоремы Абеля, Коши интегральная, Тейлора и Лорана.)

Лекция 5. Ряды с комплексными числами. Теоремы Абеля, Коши интегральная,Тейлора и Лорана.Определения: сходящегося, расходящегося ряда; частичной суммы; остатка ряда;абсолютно сходящегося ряда; условно сходящегося ряда; равномерно сходящегося ряда;функциональных и степенных рядов остаются такими же, как и для рядов сдействительными членами.Ряды с комплексными членами.Комплексный числовой ряд:.Теорема: для того, чтобычтобы абсолютно сходилисьсходился абсолютно, необходимо и достаточно,.иПризнак Вейерштрасса равномерной сходимости.Если ∃ сходящийся знакоположительный ∑∑,, такой, чтосходится равномерно.∑– мажоранта ряда ∑, а сам ряд ∑– мажорируемый.Свойства равномерно сходящихся рядов.1.2.3.4.Если в области ряд ∑сходится равномерно, то его сумма S(z) – непрерывна.Если ряд ∑сходится на L равномерно, то.Если– аналитические функции в, тоЛинейность: ∑Степенные ряды.Ряд виданазывается степенным рядом.– простейший случай.Теорема Абеля.Теорема:1.

Если в точкесходится абсолютно и при2. Если в точке z2:ряд ∑rсходится абсолютно, то при всех z:сходится равномерно при.расходится, то приряд расходится.Рис. 1. Область сходимости степенного ряда.тоДоказательство:Для 1. т. к. ∑– сходится, тоРассмотрим |При|=|| ≤ M.сходится, как геометрический, => по I признаку сравнения– сходится абсолютно.| =>Пусть∃ M > 0: |≤M|=∑Mсходится и ∑|– ограниченная|≤M, |=> Mсходящийся мажорирующий ряд для ряда ∑=> по признаку Вейерштрасса ∑радиусом r.– числовой знакоположительный.сходится равномерно взакрытом круге сДля 2.

От противного:Пусть ∃ :, в которой ряд сходится, но тогда, по ранее доказанному, ряддолжен сходиться в точке , что есть противоречие.Следствие: длястепенного ряда ∃что приряд сходитсяабсолютно и равномерно, а приряд расходится. R – радиус сходимости.Интегральная формула Коши.Вывод формулы.Пусть функция f ( ),   аналитическая в односвязной области G и на ее границеГ. По теореме Коши для многосвязной области имеем:Гf ( )d(  z )f ( )d.(  z )(1)Область, выделенная серым цветом на рисунке – многосвязная. В ней функцияf ( )аналитична. Обход контуров указан стрелками.  -окружность с центром в точке(  z )z радиусом  .Рис. 2. Область аналитичности функции f ( ) .

G –односвязная область.Аналитичность f ( ) в G означает ее непрерывность в G. Тогда по определениюнепрерывности имеем:  0  ( )  0 :   z    f ( )  f ( z)   .(2)Рассмотрим модуль разности:f ( )df ( z )d  z zгде M  max  f ( )  f ( z)  d z M  l по свойству интеграла от ФКП,f ( )  f ( z ), а l – длина дуги  , l  2 . На кривой  zf ( )  f ( z )f ( )  f ( z )f ( )  f ( z )l 2 2  2  2  1 z zТо есть имеемf ( )df ( z )d 1 . С учетом (2) получаем определение z zпредела:lim  0f ( )d zf ( z )d  z(3)Учитывая (1), то есть, что интеграл по любому контуру  равен интегралу поf ( )df ( )dконтуру Г, можно сделать вывод о том, что lim и не зависит от 0 z zвеличины  .

Тогда из (3) получимf ( )dd f ( z)  f ( z )  2 i z  zОтсюда получаем интегральную формулу Коши, где С – любой контур внутриобласти аналитичности f ( ) , совершающий один оборот вокруг точки z.f ( z) 12 iCf ( )d zПокажем теперь, что f ( z ) - аналитическая функция.Если точка z -  точка, принадлежащая области внутри контура С, области1f ( )dаналитичности f ( z ) , то по интегральной формуле Коши f ( z ) . По2 i C   zопределению производной f ( z )  limz 0формулу Коши, получим:f ( z  z )  f ( z ). Подставляя сюда интегральнуюz1z 0 2 i zf ( z )  limf ( )f ( )     ( z  z )    z  d C f ( )   z   f ( )   ( z  z )  1lim   d 2 i z z 0 C   ( z  z )   z 1f ( )z1lim  d2 i z z 0 C    ( z  z )   z  2 if ( z ) То есть существует2Cf ( )12 if ( z ) Можно показать, чтоf ( )   z  d   z  d 2C22 if ( )   z  d 3C…………………………f (n) ( z) n!2 if ( )   z n 1dCТо есть из аналитичности функции в некоторой области следует существование всехее производных высшего порядка, а также, возможность разложить функцию в этойобласти в ряд Тейлора.Пример 1.Вычислить интегралCezdz , где контур С: z  3i  2 .z  z  2i Решение.Точка z  2i попадает внутрь контура С.

Тогда по интегральной формуле Коши, учитывая,ezчто f ( z ) функция аналитическая внутри контура С, имеем:zCeze 2idz  2 i  f (2i)  2 i  (cos 2  i sin 2) .z  z  2i 2iПример 2.Вычислить интегралcos z  z  i  dz , где контур С:3z  i  1.CРешение.Точка z  i попадает внутрь контура С. Тогда по формуле для второй производной,учитывая, что f ( z )  cos z функция аналитическая внутри контура С, имеем:cos z  z  idz 3C2 ieii  eii f (i)   i( cos(i))   i()   i  ch(1)2!2Ряд Тейлора.Пусть функция– аналитическая внутри С и на ее границе.С: |z-a|=RРис. 3. Круг аналитичности функцииПо интегральной теореме Коши:..Здесь применили стандартное разложение для гармонического ряда.Из интегральной формулы Коши для n-ой производной:.Все аналитические функции раскладываются в ряд Тейлора. ∃ точки, в которыхфункцияне определена, но ряд сходится.Пример 3.Нуль функции– точка ,а f ( n ) (a)  0 тоЕсли все– нуль порядка .Точки, в которых функция аналитична – обыкновенные.Точки, в которых функция теряет аналитичность – особые (это точки, в которых несуществует производной, при этом в этих точках возможны случаи непрерывности самойфункции, а также разрыва исходной функции, которыми для элементарных функцийявляются в первую очередь полюса).Изолированные особы точки.Если ∃в которой (кромеизолированная особая точка.Если ∃точка.( – особая точка), то точка=constЕсли ∃, тоЕсли, то– особой) нет других особых точек, то эта точка –полюс– устранимая особая.– существенно особая точка.Связь между нулями и полюсами.ЕслиполюсПорядок, то, еслиполюса– полюс функциидляможно– нульнайти,т.

е. если-го порядка, то дляиспользовавследующееlim f ( z )( z  a)k  const  0 &   , то k – порядок полюса.z a, то– полюс -го порядка.утверждение:еслиТеорема ЛоранаТеорема: пустьаналитична в кольце, тогдаможно разложитьв,.Рис. 3. Кольцо аналитичности функции.Доказательство:Проведем дополнительные контуры внутри области аналитичности функции вблизиграниц кольца: Г  и Г  , а также контур  вокруг точки z так, чтобы они не пересекались.По теореме Коши для составного контура (для многосвязной области):1  ( z  a) n( z  a) n  a n0 (  a)n n0 (  a)n111f ( )(  a)n1 d( z  a) nn 1 2 i Г  Тогда cn 12 if ( ) (  a)n 1d по любому контуру, лежащему внутри кольца,Гcn и c n взаимно обращаются при смене знака n.Если точкав разложении.Пример 4.– устранимая особая точка, тоРазложить в ряд Лорана, т.

е. нет главной частипо степеням .Рис. 4. Области различных разложений.Пример 4...