Олимпиада 2018 год Тур №1 Ответы

1Олимпиада по сопротивлению материалов внутренняя РУТ(МИИТ) № 48Задача 1Стержень загружен крутящим моментом. На поверхности стержня в точке кбыла замерена главная деформация 1 . Требуется определить угол поворотасечения, в котором приложен момент.Решение.При кручении возникает напряженное состояние чистого сдвига,, 2 = −, . В соответствии с обобщенным законом Гука1 =1−2= +=(1 + ) =22(1+)=21 =.Здесь использовано известное соотношение между модулем упругости присдвиге и модулем упругости при растяжении=. Касательное2(1+)напряжение определяется на поверхности стержня формулой =Мкр 2. Тогдадля 1 получим:1 =Мкр 1→ 2 2Мкр=41(1).Формула для угла закручивания==Мкр41Ответ:. Ответ получим, подставив сюдаМкр=41из (1)..=41 .12Олимпиада по сопротивлению материалов внутренняя РУТ(МИИТ) № 48Задача 2Система, состоящая из трех одинаковых стержней имеет малый зазор ∆.Прикладывается сила , которая совмещает шарниры и далее системазамыкается.

После замыкания системы сила удаляется. Построитьокончательную эпюру изгибающих моментов в системе. Все стержни имеютодинаковое круглое поперечное сечение.Решение.В момент касания шарниров изгибается лишьсоответствующая эпюра моментов показана на рис.1.среднийстержень,Рис.1Удалить силу это тоже самое, что оставить ее и еще приложить еще силу,равную , но направленную вверх.Решим отдельно задачу о силе, направленной вверх, приложенной к замкнутойсистеме. Поскольку шарнир стал общей точкой для стержней, от приложениясилы их концы получат одинаковые перемещения, и следовательно, в нихвозникнут одинаковые моменты и одинаковые перерезывающие силы .Вырезав центральный узел и спроектировав все силы на вертикальную ось (см.рис.2) получим: − 3 = 0, откуда=3.23Олимпиада по сопротивлению материалов внутренняя РУТ(МИИТ) № 48Рис.2Эпюра моментов, которая возникает от силы , приложенной вверх,показана на рис.

3.Рис. 3Окончательную эпюру получим, складывая эпюры, показанные на рис.1 ирис. 3.Ответ: Окончательная эпюра изгибающих моментов в системе показана нарисунке.34Олимпиада по сопротивлению материалов внутренняя РУТ(МИИТ) № 48Задача 3Некоторые силовые воздействия вызвали прогиб балки, заданный уравнением:() = − 2 2 ( − ) , где C - константа. Изгибная жесткость балки EJ .Необходимо построить эпюры моментов и поперечных сил и определитьсиловые воздействия, приложенные к балке.Решение.

= ∙ ∕∕ = [− 2 2 ( − )] = ()∕ = [−2∕∕= −∕2(2 − 6)] = (2 − 6);62.Таким образом, получение эпюр сводится к дифференцированию. На рисункепоказаны эпюры изгибающего момента и поперечной силы, построенные пополученным формулам. Поскольку эпюра поперечной силы оказаласьпостоянной, распределенная нагрузка на балке отсутствует.По скачкам в эпюре моментов, которые имеются в начале и конце балки,получим значения внешних сосредоточенных моментов, величины которыхравны соответствующим скачкам.

Скачки в эпюре Q - это реакции в опорныхзакреплениях балки.45Олимпиада по сопротивлению материалов внутренняя РУТ(МИИТ) № 48Ответы: =2Балка загружена двумя сосредоточенными моментами по концамEJ ;В =показаны на рисунке.4EJ . Направления сосредоточенных моментов56Олимпиада по сопротивлению материалов внутренняя РУТ(МИИТ) № 48Задача 4Требуетсянайтизаконизменениявысотыстержняℎ()с таким расчетом, чтобы все сечения стержня были бы равнопрочными иопределить горизонтальное перемещение точки к. Допускаемое напряжениепри изгибе [], модуль упругости материала Е. Малым наклоном продольнойоси стержня можно пренебречь.Решение.На рисунке показана эпюра моментов от приложенной нагрузки.

Запишемформулу для нормальных напряжений в крайних точках стержня:[] ==+ℎ()26→ℎ() = √Горизонтальное перемещение точкиволокна. = =Ответы:[]6(+)[].к найдем как удлинение нижнего .ℎ() = √6(+);[] =[] .67Олимпиада по сопротивлению материалов внутренняя РУТ(МИИТ) № 48Задача 5Поперечное сечение стержня имеет вид равнобедренного треугольника. Прикаком соотношенииглавными?ℎвсе центральные моменты инерции будут являтьсяРешение.Признаком главных осей является равенство нулю центробежного моментаинерции, который для повернутых осей определяется формулой: =(1 −2 )22.Соответственно для любого он будет равен нулю, когда 1 = 2 .Вертикальная и горизонтальная оси являются главными, т.к.

ось у - осьсимметрии сечения. Таким образом, в нашем случае одним из главныхмоментов инерции будет а другим и , следовательно,дляпоставленного в задаче условия необходимо выполнение равенства = .78Олимпиада по сопротивлению материалов внутренняя РУТ(МИИТ) № 48Подставив сюда известные формулы для центральных моментов инерцииравнобедренного треугольника, получим:ℎ336=ℎ3→48ℎ=√32Заметим, что при найденном соотношенииравносторонним, что соответствует условиям задачи.Ответ:ℎ=треугольникбудет√328.