Конспект лекций по информатике, страница 6

Вся информация39(например, звуки, изображения, текст и т. д.) для обработкина компьютере должна быть преобразована в числовуюформу, иначе говоря, закодирована. Например, чтобыперевести в числовую форму музыку, можно черезнебольшие промежутки времени измерять интенсивностьзвука на определенных частотах (результат каждогоизмерения – число).Закодированная информация хранится в запоминающихустройствах компьютера (в его памяти) в форме двоичногокода.

Двоичный код – это универсальная системакодирования данных с помощью двоичной системысчисления.3.1 Системы счисленияСистемы счисления подразделяются на: позиционные, в которых значение каждой цифрызависит от ее места, или позиции, например десятичная,двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.п.системы счисления. непозиционные, в которых значение каждой цифрыне зависит от ее позиции, например, римская системасчисления.Число в позиционной системе счисления записываетсяпоследовательностью цифр:x = ….С3 С2 С1 С0 ,где Сi – коэффициент, на который умножается основание вi-ой степени, причем каждая цифра 0≤ Сi < N, где N –основание системы счисления.x = ….С3 *N 3 +С2 *N 2 +С1 *N 1 +С0 *N 0 ,Так, например:103510=1*103+0*102+3*101+5*10010102 = 1*23+0*22+1*21+0*20 = 10106758 = 6*82+7*81+5*80 = 445104012AB16 = 1*163+2*162+10*161+11*160 = 477910Таблица различных представлений чисел от 0 до 16 вразных системах счисления.10-ая 2-аяс.с.с.с.00112103114100510161107111810008-аяс.с.012345671016-аяс.с.01234567810-аяс.с9101112131415162-аяс.с.1001101010111100110111101111100008-аяс.с.111213141516172016-аяс.с.9АBCDEF103.2 Двоичная система счисленияВсе ЭВМ используют для своей работы двоичнуюсистему счисления.

Это значит, что вся информация,которую обрабатывает ЭВМ, представлена в видепоследовательностей двоичных цифр 0 и 1. Одна двоичнаяцифра (binary digit) – bit, бит. Последовательностью битовможно закодировать текст, изображение, звук или какуюлибо другую информацию. Такой метод представленияинформации называется двоичным кодированием (binaryencoding). Исторически выбор двоичной системы счислениябыл обусловлен двумя факторами:1) Логикой Аристотеля (принцип исключенноготретьего);2) Использованием в ЭВМ электронных ячеек памяти –триггеров.При этом одно состояние принято обозначать цифрой 0,а другое – цифрой 1.

Выбор одного из двух возможных41вариантов позволяет также различать логические истину иложь.При этом основание системы счисления N=2 , 0≤ Сi <2,т.е. цифры Сi = 0 или 1.1 0 1 0 1 1=1*25+0*24+1*23+0*22 +1*21+1*20С5 С4 С3 С2 С1 С0=32+0+8+0+2+1=4310Степени числа 2 можно назвать «круглыми» числамиЭВМ.

Рассмотрим их:Степень12345Значение2481632Степень678910Значение641282565121024Двоичная система счисления удобна технически (всегодва состояния для хранения чисел), но требуется достаточномного двоичных цифр для представления даже небольшихчисел.1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 02 =С10 С9 С8 С7 С6 С5 С4 С3 С2 С1 С0= 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 0 + 0 = 200810Другим важным преимуществом двоичной системысчисления являются предельно простые таблицы сложенияи умножения:+01*01001000111010142Реализовать эти таблицы в компьютере намного проще,чем те, которые мы все учили в школе.3.2.1 Перевод чисел из десятичной системы в двоичную1.

Целое десятичное число делится нацело на основание2, затем на 2 делятся последовательно все частные отцелочисленного деления до тех пор, пока частное не станетменьше 2, т.е. равно 1. В результат записывается последняяединица (последнее частное) и затем все остатки отделения, начиная с последнего.4310 → 101011243 : 2 = 21 остаток 121 : 2 = 10 остаток 110 : 2 = 5 остаток 05 : 2 = 2 остаток 12 : 2 = 1 остаток 02.

Десятичная дробь последовательно умножается наоснование 2, причем после каждой операции умноженияполученная целая часть записывается в результат и вдальнейшем умножении не участвует. Количество операцийумножения зависит от требуемой точности:0.6410= 0.1010001120.64*21.28*20.56*21.12*20.24*20.48*20.96*21.92*21.84*23.2.2 Перевод чисел из двоичной системы в десятичнуюПеревод числа из двоичной системы в десятичнуюможно осуществить для целой и дробной части по одному43алгоритму путем вычисления суммы произведений цифрыдвоичного числа на двойку в степени, равной номерупозиции в записи числа:1 1 1 0 0 0 1 1 = 1*27+1*26+1*25+0*24+0*23+0*22+1*21+С7 С6 С5 С4 С3 С2 С1С0+1*20=128+64+32+2+1=227100, 1 0 1 0 0 0 1 1 = 1*2-1+0*2-2+1*2-3+0*2-4 +0*2-5+0*2-6+С1 С2 С3 С4 С5 С6 С7 С8+1*2-7+1*2-8 =0,5+0,125+0,0078+0,0039=0,6367103.3 Использование шестнадцатеричной системысчисленияДля компактного представления двоичных данныхчасто используют 16-ричную систему счисления.

Записькаждого числа становится в 4 раза короче: вместо каждойчетверки битов (тетрады) – одна 16-ричная цифра.00000001001000110100010101100111012345671000100110101011110011011110111189ABCDEF110100112 = 1101 00112 = D316└───┘└───┘Если количество бит не кратно 4, добавляются нулислева, например:110102 = 0001 10102 = 1A16└───┘└───┘44Обратное преобразование аналогично – каждая 16ричная цифра заменяется тетрадой.Перевод из десятичной в 16-ричную осуществляетсяпутем последовательного деления на 16, пока частное нестанет меньше 16.34710 = 15В16347 : 16 =21 остаток 11 ( В )21 : 16 =1 остаток 5Перевод из 16-ричной системы в десятичную:15В16 = 1* 162+5*161+11*160= 256+80+11=347103.4 Кодирование чиселСуществуют два основных формата представлениячисел в памяти компьютера.

Один из них используется длякодирования целых чисел, второй (так называемый форматс плавающей точкой) используется для представлениядействительных чисел.3.4.1 Кодирование целых чиселОбычно для хранения одного целого числа отводитсяодно машинное слово (это последовательность битов,рассматриваемых аппаратной частью как единое целое);таким образом, целое число размещается в 16 или 32 или 64битах в зависимости от разрядности компьютера.Диапазон возможных значений ограничен и зависит отразмера области памяти, используемой для размещениячисел. Максимально возможное целое число без знака в kразрядном слове – это 1111 … 1111 = 2k–1.└──── ────┘kНапример,в16-разрядноммашинномслове16максимальное целое число 2 –1 = 65535.Чтобы получить внутреннее представление целогоположительного числа A, хранящегося в k-разрядноммашинном слове, необходимо:451) перевести число A в двоичную систему счисления;2) полученный результат дополнить слева незначащиминулями до k разрядов.Например, получим внутреннее представление целогочисла 1607 в 2-х байтовой ячейке.

Переведем число вдвоичную систему: 160710 = 110010001112. Внутреннеепредставление этого числа в ячейке будет следующим: 00000110 0100 0111.3.4.2 Представление отрицательных чиселВ отличие от десятичной системы в двоичнойотсутствуют специальные символы, обозначающие знакчисла, поэтому для представления двоичных отрицательныхчисел используются две формы:- форма значения со знаком:старший (левый) разряд помечается как знаковый исодержит информацию только о знаке числа: 1 – числоотрицательное, 0 – положительное; остальные разрядыотводятся под абсолютную величину (модуль) числа.Максимально возможное целое число со знаком в 16разрядном машинном слове:216-1–1 = 32767.510 = 0000 01012 –510 = 1000 01012- форма обратного дополнительного кода:для записи внутреннего представления целогоотрицательного числа (-A) в дополнительном коденеобходимо:1) получить внутреннее представление положительногочисла A;2) получить обратный код инвертированием (т.е.заменой 0 на 1 и 1 на 0 во всех разрядах, кромезнакового);3) к полученному коду прибавить 1;464) восстановить единицу в знаковом разряде.Например, –510 = 1000 01012обратный код111 1010прибавляем 1111 1011ставим 1 (знак) 1111 1011Такой способ кодирования позволяет операциювычитания заменить сложением:15 – 10 = 515 + (-10) = 5Таким образом, можно реализовать в процессоре толькооперацию сложения и не использовать вычитание.3.4.3 Вещественные (действительные) числаВещественные числа R хранятся в формате сплавающей точкой – в виде произведения мантиссы m наоснование системы счисления N в некоторой целой степениp, которую называют порядком: R = m * N p.Представление числа в форме с плавающей точкойнеоднозначно.Например,справедливыследующиеравенства:12.345 = 0.0012345*104 = 1234.5*10-2 = 0.12345*102.Обычно используют нормализованное представлениечисла в форме с плавающей точкой.

Мантисса в такомпредставлении должна удовлетворять условию: 0.1≤ m < 1.Иначе говоря, мантисса меньше 1 и первая значащая цифране ноль (в вышеприведенном примере подчеркнутонормализованное представление).В памяти компьютера мантисса представляется какцелое число, содержащее только значащие цифры (0 целыхи точка не хранятся), так для числа 12.345 в ячейке памяти,отведенной для хранения мантиссы, будет сохранено число12345. Для однозначного восстановления исходного числаостается сохранить только его порядок, в данном примереэто 2.47Диапазон возможных значений вещественных чиселопределяется количеством бит, в которых записываетсяпорядок. Точность представления вещественных чиселопределяется количеством бит, в которых записываетсямантисса.3.5 Правила выполнения арифметических операцийв двоичной системеСложение выполняется аналогично десятичнойсистеме, переполнение разряда приводит к появлениюединицы в следующем разряде11110011+ 111011100101110Вычитание сводится к сложению с отрицательнымчислом (его дополнительным кодом):1) преобразовать отрицательное число из формы сознаком в дополнительный код;2) выполнить операцию сложения над всеми разрядами,включая знаковый, игнорируя единицу переноса изсамого высокого разряда;3) при равенстве 1 знакового разряда суммы (результатотрицателен) перевести результат в знаковую форму,для чего инвертировать код и прибавить 1.Рассмотрим пример: 13 – 15 = 13 + (-15)1) -15 =1 0 0 0 1 1 1 12  1 1 1 0 0 0 0 + 1 111 00011111 00012) 0 0 0 0 1 1 0 1 (13)+ 1 1 1 1 0 0 0 1 (-15)1111 11103) 1 1 1 1 1 1 1 0  0 0 0 0 0 0 1 + 1  1 0 0 0 0 0 1 0 = -21048Умножение сводится к серии повторных сложений, приэтом надо выполнять и операции сдвига.