Математическая статистика (PDF), страница 11

. . независимы и имеют стандартное нормальноераспределение. ТогдаE ξ21 = 1,JJиD ξ21 = E ξ41 − (D ξ21 )2 = 3 − 1 = 2(см. пример 20). ПоэтомуE χ2k = E (ξ21 + . . . + ξ2k ) = k,D χ2k = D (ξ21 + . . . + ξ2k ) = 2k.На стр. ... из 179НазадВо весь экранСледствие 3. Если ξ1 , . . . , ξk независимы и имеют нормальное распределение Na,σ2 , тоk Xξi − a 22χk =σi=1имеетχ2 -распределениеHk с k степенями свободы.УйтиУпражнение. Доказать следствие 3.Стр. 96Упражнение.

Как, пользуясь таблицей стандартного нормального распределения,найти квантиль заданного уровня для χ2 -распределения с одной степенью свободы?6.3.Распределение Стью́дента и его свойстваОпределение 17. Пусть ξ0 , ξ1 , . . . , ξk независимы и имеют стандартное нормальноераспределение. Распределение случайной величиныОглавлениеtk = rJJIIJIξ0=s1 2χ2k(ξ + .

. . + ξ2k )k 1kξ0называют распределением Стью́дента с k степенями свободы и обозначают Tk .На стр. ... из 179N0,1Плотность распределения Стьюдента по сравнениюс плотностью стандартного нормального распределенияНазадTkВо весь экранУйтиПлотность распределения Стьюдента с k степенями свободы равна разглядеть как следует!Γ ((k + 1)/2)fk (y) = √πkΓ (k/2)Стр. 97y21+k!−(k+1)/2.(15)Мы не станем выводить эту формулу, предложив читателю-математику либо вывестиее самостоятельно, либо посмотреть вывод в [1, п.6-7 §2 главы 2].Свойства распределения Стьюдента:1.Упражнение.

Доказать.Оглавление2.JJIIJIСимметричность. Если случайная величина tk имеет распределение СтьюдентаTk с k степенями свободы, то и −tk имеет такое же распределение.Асимптотическая нормальность. Распределение Стьюдента Tk слабо сходится кстандартному нормальному распределению при k → ∞.Доказательство. Пусть ξ0 , ξ1 , .

. . , ξk независимы и имеют стандартное нормальноераспределение. Тогда E ξ21 = 1, и по ЗБЧξ2 + . . . + ξ2k pχ2k= 1−→ 1 при k → ∞.kkНа стр. ... из 179НазадТогда иВо весь экранtk = rp−→ ξ0 ,1 2(ξ + . . . + ξ2k )k 1откуда следует и слабая сходимость последовательности случайных величин tk сраспределением Стьюдента к ξ0 , имеющей стандартное нормальное распределение.То есть Tk ⇒ N0,1 .Уйти3.Стр.

98ξ0Распределение Стьюдента с одной степенью свободы есть стандартное распределение Коши.Упражнение. Как получить случайную величину с распределением Коши, имея двенезависимые стандартные нормальные случайные величины?Доказательство. Подставим k = 1 в плотность (15), используя Γ (1/2) =Γ (1) = 1, и получим плотность распределения Коши:f1 (y) =√π и−11 .1 + y2πОглавление4.JJIIJIУ распределения Стьюдента существуют только моменты порядка m < k, и несуществуют моменты порядка m > k. При этом все существующие моменты нечетного порядка равны нулю.Упражнение.

Посмотреть на плотность (15) и убедиться в сходимости или расходимости на бесконечности при соответствующих m интегралов∞ZНа стр. ... из 179УйтиСтр. 991(k +y2 )(k+1)/2dy.−∞НазадВо весь экран|y|m ·C(k) ·Отметим, что и распределение χ2 , и распределение Стьюдента табулированы, такчто если в каких-то доверительных интервалах появятся квантили этих распределений,то мы найдем их по таблице.Следущее распределение тоже тесно связано с нормальным распределением, нопонадобится нам не при построения доверительных интервалов, а чуть позже — взадачах проверки гипотез. Там же мы поймем, почему его называют часто распределением дисперсионного отношения.

Призываем математиков сравнить определение[1, п.6 §2 гл.2] с нашим определением и учесть, что в статистических таблицах всегда табулируется распределение Фишера в том виде, как мы его сейчас определим.что было раньше - курица или яйцо?6.4. Распределение ФишераОпределение 18. Пусть χ2k имеет распределение Hk , а χ2m — распределение Hm ,причем эти случайные величины независимы. Распределение случайной величиныОглавлениеfk,m =JJIIJI2χ2k /k = m · χkk · χ2mχ2m /mназывают распределением Фишера с k, m степенями свободы и обозначают Fk,m .Свойства распределения Фишера (или Фишера — Снедекора):На стр.

... из 1791.Если hk,m имеет распределение Фишера Fk,m , то 1/hk,m имеет распределениеФишера Fm,k .2.Распределение Фишера Fk,m слабо сходится к вырожденному в точке 1 распределению I1 при любом стремлении k и m к бесконечности.НазадВо весь экранУйтиСтр. 100Доказательство. Убедитесь по ЗБЧ, что любая последовательность случайных величин hk,m , распределение которой совпадает с распределением отношения двухсредних арифметическихξ21 + . . .

+ ξ2kη21 + . . . + η2mи,kmсходится к 1 по вероятности при k → ∞, m → ∞. Здесь ξ1 , ξ2 , . . .и η1 , η2 , . . . — независимые последовательности, составленные из независимыхслучайных величин со стандартным нормальным распределением.6.5.Преобразования нормальных выборокПусть X = (X1 , . . . , Xn ) — выборка из N0,1 (набор независимых и одинаковораспределенных величин). Пусть C — ортогональная матрица (n × n), т.е.Оглавление1TCC = E =0JJIIJI0..!,.1Pи Y = C · X — вектор с координатами Yi = nj=1 Cij Xj .Какое распределение имеют координаты вектора Y? Зависимы ли они? Чтобы ответить на этот вопрос, выясним, как изменится плотность распределения вектора послеумножения его на произвольную невырожденную матрицу.На стр.

... из 179НазадВо весь экранВспомним, как найти плотность распределения случайной величины c · ξ по плотности распределения ξ:−1fcξ (y) = |c| · fξ c−1 · y .Поверим, без доказательства, аналогичному утверждению в многомерном случае. Те, ктознаком с заменой переменных в многомерном интеграле и не боится термина «якобиан»,могут доказать его самостоятельно.УйтиСтр. 101Изменение плотности совместного распределения при линейном преобразовании вектора.Пусть случайный вектор X имеет плотность распределения fX (y1 , . . .

, yn ) = fX (y),и C — невырожденная матрица. Тогда вектор Y = C · X имеет плотность распределения−1fY (y) = fC·X (y) = |det C| · fX C−1 · y .(16)Докажем самое удивительное свойство нормального распределения.ОглавлениеJJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранСвойство 9. Пусть вектор X состоит из независимых случайных величин со стандартным нормальным распределением, C — ортогональная матрица, и Y = C · X.Тогда и координаты вектора Y независимы и имеют стандартное нормальное распределение.Доказательство. Запишем плотность совместного распределения координат вектора X.В силу независимости это есть произведение плотностей координат вектора (то жесамое, что функция правдоподобия):1 PnnY−21fXi (yi ) =fX (y1 , . .

. , yn ) =e(2π)n/2i=11y2i12− 2 kyk1=.e(2π)n/2Здесь для произвольного вектора y квадрат нормы kyk2 естьУйти2kyk =nXy2i = yT · y.i=1Пользуясь (16), вычислим плотность распределения вектора Y = C · X. Матрица Cортогональна, поэтому C−1 = CT и det C = 1.Стр.

1021fY (y) = fX− 2 kC1C ·y =e(2π)n/2TT ·yk2.Но умножение на ортогональную матрицу не меняет норму вектора. Действительно,2kCT · yk = (CT · y)T · (CT · y) = (yT · C) · (CT · y) = yT · E · y = kyk2 .Окончательно имеемОглавлениеJJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранУйти11y2i.Итак, вектор Y распределен так же, как и вектор X, т. е.

состоит из независимыхслучайных величин со стандартным нормальным распределением.Упражнение. Вспомнить определение независимости случайных величин с абсолютно непрерывным распределением в терминах плотностей. Что можно сказать пронезависимость и про распределение координат вектора, если совместная плотность распределения координат вектора равна1 Pn−21e(2π)n/21y2inY1 −√ e=2πi=1y2i2?Упражнение. Пусть ξ и η независимы и имеют стандартное нормальное распределение.

Зависимы ли случайные величины √12 (ξ−η) и √12 (ξ+η)? Какое распределениеимеют? Является ли ортогональной матрицаСтр. 1031 Pn2− 2 kyk−211fY (y) =ee=f(y)=X(2π)n/2(2π)n/2(17)C=√12√121−√2√12 ?Лемма Фишера. Пусть вектор X состоит из независимых случайных величин со стандартным нормальным распределением, C — ортогональная матрица, и Y = C · X. Тогдадля любого k = 1, . . . , n−1ОглавлениеT (X) =nXX2i − Y12 − .

. . − Yk2 не зависит от Y1 , . . . , Yki=1JJIIJIи имеет χ2 -распределение Hn−k с n − k степенями свободы.На стр. ... из 179Доказательство. Как мы видели в (17), нормы векторов X и Y = C · X совпадают:НазадnXВо весь экранX2i = kXk2 = kC · Xk2 =i=1nXYi2 .i=1ПоэтомуУйтиT (X) =nXi=1Стр. 104X2i−Y12− ... −Yk2=nX2Yi2 − Y12 − . .

. − Yk2 = Yk+1+ . . . + Yn2 .i=1Случайные величины Y1 , . . . , Yn по свойству 9 независимы и имеют стандартное2нормальное распределение, поэтому T (X) = Yk+1+ . . . + Yn2 имеет распределение Hn−kи не зависит от Y1 , . . . , Yk .Второй и третий пункты следующего утверждения выглядят неправдоподобно, особенно если вспомнить обозначения:1XX=Xi ,nni=1ОглавлениеJJIIJIНа стр. ...

из 179Назад21 X=Xi − X .n−1nS20i=1Основное следствие леммы Фишера. Если X1 , . . . , Xk независимы и имеют нормальное распределение Na,σ2 , то√ X−anимеет стандартное нормальное распределение;σ2n2XX−Xi(n − 1) S0=имеет χ2 -распределение с n − 1 степенью свободы;2)σ2σ21)i=13) случайные величины X и S20 независимы.Во весь экранУйтиСтр. 105Взгляните: вопреки определению 16 распределения Hn−1 , величина (n − 1)S20 /σ2— сумма не n−1, а n слагаемых, причем эти слагаемые зависимы из-за присутствияв каждом X. К тому же они хоть и одинаково распределены, но их распределение— не N0,1 . а какое? разыскать!Надеемся, что внимательный читатель, помня, что в невырожденном случае величины ξ и ξ + η всегда зависимы, и видя, как в выражении для S20 явным образомучаствует X, придет в неподдельный восторг от независимости X и S20 .Отметим без доказательства, что независимость X и S20 — свойство, характерное толькодля нормального распределения.