Математическая статистика (PDF)

ОглавлениеJJIIJIЛекции по математической статистике2-й курс ЭФ, отделение«математические методы и исследование операций в экономике»Н. И. Черноваcher@nsu.ruНа стр. ... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 1Предлагаемый вашему вниманию курс теоретической статистики содержит материализ классических разделов математической статистики. Речь пойдет об оценке параметров,проверке гипотез, немного о регрессионном анализе. Курс предназначен студентам экономического факультета НГУ, но его могут попробовать освоить студенты математическогофакультета.

Курс не содержит экономических приложений и ни в коей мере не собирается обсуждать применение статистических методов. И то, и другое студенты-экономистыв НГУ изучают в годовом курсе эконометрики (регрессионного анализа).Оглавление1ОглавлениеJJIIJIОсновные понятия1.1 Основные понятия выборочного метода . .

. . . . .1.2 Выборочное распределение . . . . . . . . . . . . . .1.3 Эмпирическая функция распределения, гистограмма1.4 Выборочные моменты . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Состоятельность выборочных характеристик . . . .1.5.1 Свойства ЭФР . . . . . . . . . . . .

. . . .1.5.2 Свойства гистограммы . . . . . . . . . . . .1.5.3 Свойства выборочных моментов . . . . . .1.6 Группированные данные . . . . . . . . . . . . . . .1.7 Вопросы и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................................5781014151520212526На стр. ... из 179НазадВо весь экран2 Точечное оценивание2.1 Параметрические семейства распределений2.2 Свойства оценок .

. . . . . . . . . . . . .2.3 Метод моментов . . . . . . . . . . . . . .2.4 Состоятельность ОММ . . . . . . . . . .2.5 Метод максимального правдоподобия . . .2.6 Вопросы и упражнения . . . . . . . . . . .........................................................................................................................28282932353845Сравнение оценок3.1 Среднеквадратический подход . . . . . . . .

.3.2 Единственность эффективной оценки . . . . .3.3 Асимптотически нормальные оценки . . . . .3.4 Скорость сходимости . . . . . . . . . . . . . .3.5 Асимптотическая нормальность ОММ . . . .3.6 Асимптотический подход к сравнению оценок..................................................................................................................46475053555760......Уйти3Стр. 23.7ОглавлениеJJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 3Вопросы и упражнения .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Эффективные оценки4.1 Условия регулярности . . . . . . .4.2 Примеры . . . . . . . . . . . . .4.3 Неравенство Рао — Крамера . .4.4 Проверка эффективности оценок4.5 BLUE . . . . . . . . . . . . .

. .4.6 Вопросы и упражнения . . . . . .5................................................................................................................................................Интервальное оцениваниеПроверка гипотез7.1 Две простые гипотезы . . . . . . . .7.2 Подходы к сравнению критериев . .7.3 Критерий отношения правдоподобия7.3.1 Для математиков . . . . . . .7.3.2 Лемма Неймана — Пирсона......62626366717979806 Распределения, связанные с нормальным6.1 Гамма-распределение . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .6.2 χ2 -распределение Пирсона . . . . . . . . . . . . . . . .6.3 Распределение Стьюдента . . . . . . . . . . . . . . . .6.4 Распределение Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . .6.5 Лемма Фишера . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .6.6 Доверительные интервалы для параметров нормального6.7 Вопросы и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . .7......61................................................... . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .

. .. . . . . . . . .распределения .. . . . . . . . .............................91. 92. 94. 97. 100. 101. 109. 111.........................112. 116. 118. 121. 124. 126........................................ОглавлениеJJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 48 Критерии согласия8.1 Критерий Колмогорова . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2 Критерий χ2 Пирсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3 Критерий χ2 для проверки параметрической гипотезы . . . . . . . . . . .8.4 Проверка гипотезы однородности: критерий Колмогорова — Смирнова .8.5 Проверка гипотезы независимости: критерий «хи-квадрат» Пирсона . . .8.6 Критерий Фишера . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.7 Критерий Стьюдента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.8 Гипотеза о среднем нормальной совокупности с известной дисперсией . .8.9 Гипотеза о среднем нормальной совокупности с неизвестной дисперсией8.10 Критерии и доверительные интервалы . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .........................................1331351371421451461481511541551569 Линейная регрессия9.1 Математическая модель регрессии . . . . . . . . . . . .9.2 Метод максимального правдоподобия . . . . . . . . . .9.3 Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . .9.4 Примеры . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.5 Общая модель линейной регрессии . . . . . . . . . . .9.6 Метод наименьших квадратов. Нормальное уравнение9.7 Свойства ОМНК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................157157159160161164165167......................................................................Добавления171AМногомерное нормальное распределение . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . 171BДоказательство теоремы Пирсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1731. Основные понятия математической статистикиОглавлениеJJIIJIНа стр. ... из 179Математическая (или теоретическая) статистика опирается на методы и понятиятеории вероятностей, но решает в каком-то смысле обратные задачи.В теории вероятностей рассматриваются случайные величины с заданным распределением или случайные эксперименты, свойства которых целиком известны. Предметтеории вероятностей — свойства и взаимосвязи этих величин (распределений).Но часто эксперимент представляет собой черный ящик, выдающий лишь некиерезультаты, по которым требуется сделать вывод о свойствах самого эксперимента.Наблюдатель имеет набор числовых (или их можно сделать числовыми) результатов,полученных повторением одного и того же случайного эксперимента в одинаковых условиях.При этом возникают, например, следующие вопросы:НазадВо весь экранУйтиСтр.

5Если мы наблюдаем одну случайную величину — как по набору ее значенийв нескольких опытах сделать как можно более точный вывод о ее распределении?Если мы наблюдаем одновременно проявление двух (или более) признаков, т. е.имеем набор значений нескольких случайных величин — что можно сказать об ихзависимости? Есть она или нет? А если есть, то какова эта зависимость?ОглавлениеJJIIJIНа стр.

... из 179Часто бывает возможно высказать некие предположения о распределении, спрятанном в «черном ящике», или о его свойствах. В этом случае по опытным даннымтребуется подтвердить или опровергнуть эти предположения («гипотезы»). При этомнадо помнить, что ответ «да» или «нет» может быть дан лишь с определенной степенью достоверности, и чем дольше мы можем продолжать эксперимент, тем точнеемогут быть выводы. Наиболее благоприятной для исследования оказывается ситуация,когда можно уверенно утверждать о некоторых свойствах наблюдаемого эксперимента— например, о наличии функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами, о нормальности распределения, о его симметричности, о наличии у распределенияплотности или о его дискретном характере, и т.

д.Итак, о (математической) статистике имеет смысл вспоминать, еслиНазадВо весь экран• имеется случайный эксперимент, свойства которого частично или полностьюнеизвестны,УйтиСтр. 6• мы умеем воспроизводить этот эксперимент в одних и тех же условияхнекоторое (а лучше — какое угодно) число раз.Примером такой серии экспериментов может служить социологический опрос, набор экономических показателей или, наконец, последовательность гербов и решек притысячекратном подбрасывании монеты.1.1. Основные понятия выборочного методаОглавлениеJJIIJIНа стр.