Math.an.I (Билеты для РК, МТ и Э5), страница 3

Действительно, рассматриваемая последовательность имеет видn  n1 1 11, , , ,... . Очевидно, что члены последовательности с достаточно большими номерами2 3 4будут сколь угодно близки к нулю (рис. 3).Рис. 3. Иллюстрация сходимости последовательности xn  1/ n .1 Более строго. Для любого, сколь угодно малого числа   0 , при n  N    (напомню, что квадратные скобки означают целую часть числа, например, [2.5]  2 ) выполняетсянеравенство | xn |  . Это и означает, что lim xn  0 . В таблице 1 приведены значения Nn для трех различных значений  .Таблица 1.N0.1100.011000.0011000Видим, что члены последовательности с номерами n  10 отличаются от предела a  0меньше чем на 0.1, члены последовательности с n  100 – меньше чем на 0.01 и т.д.

Сколь13бы малым мы не задали   0 , члены последовательности с достаточно большиминомерами (большими некоторого номера N ( ) ) будут отличаться от значения пределаa  0 меньше чем на  .112. lim10 n  1 . Действительно, поскольку члены последовательности xn приnnдостаточно больших n будут сколь угодно близки к нулю, а 100  1 , то члены1последовательности xn  10 n при достаточно больших n будут сколь угодно близки кa  1 (позже будет доказана теорема о пределе сложной функции, придающая строгийсмысл этим рассуждениям).3. Последовательность xn  2n расходится. Действительно, эта последовательностьимеет вид 2, 4,8,16,32,...

. Очевидно, что не существует такого числа a , что все членыпоследовательности с достаточно большими n сколь угодно близки к a (рис. 4).Отметим, что для данной последовательности характерна следующая черта. Члены с достаточнобольшими n сколь угодно велики (при достаточно больших n члены последовательности будут большелюбого, сколь угодно большого, наперед заданного числа  ). В таких случаях говорят, что пределпоследовательностиравенплюсбесконечности:lim 2n  (частныйслучайрасходимостиnпоследовательности).Рис. 4.

Иллюстрация расходимости последовательности xn  2n .4. Последовательность xn  (1)n тоже расходится. Она имеет вид: 1,1, 1,1, 1,1,... .Члены последовательности «прыгают» то вправо, то влево от нуля, повторяя одну и ту жепару значений (рис. 5), и ни к какому a последовательность не сходится (не существуеттакого числа a , что все члены последовательности с достаточно большими n скольугодно мало отличаются от a ).Рис.5.Последовательность xn  (1)n .5. Нетрудно видеть, что lim(1)n 2 n  0 (рис. 6). Члены последовательности имеютn 1 1 1 11вид  , ,  , ,  ,...

. Этот пример подобен примеру, представленному на рис. 1 (в2 4 8 16 32случае a  0 ), но при этом члены последовательности «прыгают» то вправо, то влевоотносительно предела a  0 . Пример подчеркивает существенность модуля в неравенстве| xn  a |  , фигурирующем в определении предела.Рис. 6. Иллюстрация сходимости последовательности xn  (1)n 2 n .143n  1 3 . Будем отталкиваться от определения предела.2n  4 2Выберем любое, сколь угодно малое   0 и запишем неравенство | xn  a |  для данногослучая:3n  1 3  .(1)2n  4 2После приведения дробей под знаком модуля к общему знаменателю, получим:7 ,| 2n  4 |77откуда | 2n  4 | .

Раскрывая модуль, видим, что при n  2 действительно2выполняется неравенство (1). Обозначим7N    2 .(2) 2Тогда при n  N справедливо неравенство (1). Таким образом,3n  1 37  0 N    2  : n  N   .2n  4 2 23n  1 3Последнее и означает, что lim .n  2 n  42Интересно исследовать зависимость N ( ) на данном примере. Она выражается формулой(2). В таблице 2 приведены значения N для трех различных значений  .6. Покажем, что limn Таблица 2.N0.1330.013480.0013498§2.

Основные свойства предела последовательностиТеорема. Пусть xn  c, n  1, 2,3,... , где споследовательности не зависят от n . Тогда lim xn  c .–постоянная(т.е.членыn Доказательство. Зададим произвольное   0 и выберем произвольное N(например, N  1 ) . Очевидно, что при n  N | xn  c || c  c | 0   , что и означает (всоответствии с определением предела), что lim xn  c .n Теорема доказана.Теорема. (О единственности предела).

Если предел последовательности {xn }существует, то он единственен.Доказательство. Доказательство проведем от противного. Предположим, чтосуществует два различных предела последовательности {xn } :lim xn  a и lim xn  b , причем a  b .n n Пусть, для определенности, b>a. Выберемba0.215Тогда по определению пределаN1 : n  N1 | xn  a | N 2 : n  N 2 | xn  b | Обозначим через N наибольшее среди чисел N1 и N 2 : N  max{N1 , N 2 } , тогда при n  Nвыполняются оба неравенства:baabxaxnn| xn  a | 2  2 .|xb|baab nx  b  x nn22Приходим к противоречию. Следовательно, наше предположение о существовании двухразличных пределов было неверным и предел единственен.Теорема доказана.Теорема (необходимое условие сходимости последовательности).

Всякаясходящаяся последовательность ограничена.Доказательство. Итак, пусть последовательность {xn } сходится и ее предел равенa : lim xn  a . Зададим произвольное   0 . По определению предела,n N  0 : n  N  | xn  a |  =>   xn  a   => a    xn  a   .С другой стороны при n  N имеется конечное множество элементов . Наибольший изних обозначим M 1 , а наименьший – m1 .

Обозначим, далее, через M наибольшее из чиселM 1 и a   , а через m – наименьшее из чисел m1 и a   :M  max{M 1 , a   } , m  min{m1 , a   } .Имеем n : m  xn  M , т.е. последовательность {} ограничена и сверху и снизу, азначит ограничена.Теорема доказана.Без доказательства сформулируем последнее из рассматриваемых здесь свойствпредела последовательности.Теорема (теорема Вейерштрасса или достаточное условие сходимостипоследовательности). Если неубывающая (невозрастающая) последовательностьограничена сверху (снизу), то она сходится, причем ее предел равен ее точной верхнейграни.n 1§3.

Предел последовательности xn  1   . Гиперболические функции. nn 1Теорема. Существует предел последовательности a  lim  1   , причем этотn nпредел удовлетворяет неравенству 2  a  3 .16Рассматриваемый предел называется числом Эйлера или числом e :n 1e  lim  1   .n  nВычисление значения данного предела с точностью до третьего знака после запятой дает:e  2.718 . Число e играет важную роль в математическом анализе и фигурирует вомногих формулах и задачах. Показательная функция y  e x с основанием e называетсяэкспонентой, а логарифмическая функция по снованию e – натуральным логарифмом:y  log e x  ln x . Обычно, если речь идет о натуральном логарифме, слово «натуральный»пропускается, т.е., если не указано основание логарифма, подразумевается, что логарифмнатуральный. Экспонента и натуральный логарифм – взаимнообратные функции, т.е.y  e x  x  ln y .Введем понятие гиперболических функций.Гиперболический синус определяется равенством:e x  e xshx .2Гиперболический косинус:e x  e xchx .2Гиперболический тангенс:shxthx .chxГиперболический котангенс:chxcthx .shxНетрудно видеть, что shx - нечетная функция, а chx - четная.

На рис. 7 представленыграфики гиперболического синуса и гиперболический косинуса.Выпишем без доказательства некоторые основные соотношения между гиперболическимифункциями (их легко получить из определений этих функций):ch 2 x  sh 2 x  1sh2 x  2shx  chxch(2 x)  ch 2 x  sh 2 x .Рис. 7. Графики функций y  shx и y  chx .17Лекция 3§1. Предел действительной функции одного действительного переменного ( R  R ).Говорят, что предел функции f ( x ) при x стремящемся к x0 равен a , если вдостаточно малой окрестности точки x0 значения функции f ( x ) сколь угодно близки кчислу a .

Более строго определение предела формулируется следующим образом.Опр. Число a называется пределом функции f ( x ) при x стремящемся к x0 , еслидля любого сколь угодно малого положительного числа  существует такое достаточномалое положительное число  , что в проколотой окрестности u ( x0 ) точки x0выполняется неравенство | f ( x )  a |  :a  lim f (x) x  x0df  0   0 :x  u ( x0 ) | f ( x)  a |   .Число x0 называется предельной точкой. Отметим, что условие x  u ( x0 ) , очевидно,эквивалентно неравенству 0 | x  x0 |  .Геометрический смысл этого определения иллюстрируется рис. 1: если значения xпопадают в интервал ( x0   , x0 ) или ( x0 , x0   ) , то соответствующие значения yпопадают в интервал (a   , a   ) .Если элементарная функция f ( x ) определена в точке x0 , то ее предел при x  x0часто равен ее значению в этой точке (в этом случае функция называется непрерывной):lim f ( x)  f ( x0 ) .x  x0Например,lim sin x  0 , lim cos x  1 и т.д.x0x0Однако, в общем случае, функция может быть не определена в точке x0 , но приэтом иметь предел при x  x0 .

Чтобы подчеркнуть это, на рис. 1 точка ( x0 , a) изображенав виде пустого кружочка.sin xПример. Рассмотрим функцию y . Как известно, она не определена в точкеxx  0 . Тем не менее, если вычислять значения этой функции в точках все более и болееблизких к нулю, можно убедиться, что эти значения все более и более близки к единице.Более того, значения этой функции будут сколь угодно мало отличаться от единицы приx достаточно близких к нулю. По определению, это означает, чтоsin xlim1.x0xРис.

1. Геометрический смысл определения предела.18Позже это равенство будет доказано аналитически, на основе определения предела (этотпредел называется первым замечательным пределом).x2  x  2Пример. Функция y не определена при x  1 . Вычислим предел этойx2 1функции при x  1 .0x2  x  2 0( x  1)( x  2)x2 3lim lim lim .2x 1x1x1x 1( x  1)( x  1)x 1 20Символ « » над знаком «равно» означает, что при подстановке в дробь под знаком0предела значения x  1 , и числитель и знаменатель этой дроби принимают нулевоезначение.

Из-за этого предел не может быть вычислен непосредственно подстановкойпредельного значения аргумента, как в случае предела lim sin x  0 . В подобных случаях,x0говорят о наличии неопределенности. В рассмотренном пределе имеет место0неопределенность « ». В дальнейшем мы столкнемся с другими типами0неопределенностей. Известны следующие основные типы:0 , , 0  ,   ,1 , 00 , 0 .0 Опр. Число a называется пределом функции f ( x ) при x стремящемся к x0 справа(правосторонним пределом функции f ( x ) при x стремящемся к x0 ), если для любогосколь угодно малого положительного числа  существует такое достаточно малоеположительное число  , что в правосторонней проколотой окрестности u ( x0  ) точки x0выполняется неравенство | f ( x )  a |  :a  lim f (x) x  x0df  0   0 :x  u ( x0  ) | f ( x )  a |   .Условие x  u ( x0  ) эквивалентно неравенству x0  x  x0   .