1004147_2 (Типовые по урматфизу)
Описание файла
PDF-файл из архива "Типовые по урматфизу", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "уравнения математической физики" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
14.2. Решить смешанную задачу.U tt = 9U xx ; U ( 0, t ) = 7, U (1, t ) = 2;U ( x, 0 ) = 7 − 5 x, U t ( x, 0 ) = 12π sin 4π x.Сведем задачу к задаче с однородными граничными условиями для функцииV ( x; t ) = U ( x; t ) − W ( x; t ) ,гдеW ( x; t ) = 7 +2−7x = 7 − 5x .1Тогда получаем следующую смешанную задачу:Vtt = 9Vxx , V ( 0; t ) = V (1; t ) = 0, V ( x; 0 ) = 0, Vt ( x; 0 ) = 12π sin 4π x .Общее решение данного уравнения:∞V ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.
в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlи2π nx2π nxAn = ∫ V ( x; 0 ) sindx , Bn =Vx;0sindx()π na ∫0 tl 0llllНаходимAn = 0 .11, n = 4;8ππππBn =12sin4xsindx=sin4xsinnxdx=3π n ∫01n ∫00, n ≠ 4.21π nxПолучилиV ( x; t ) = sin12π t sin 4π x .Общее решение исходного уравнения:U ( x; t ) = V ( x, t ) + W ( x, t ) = sin12π t sin 4π x + 7 − 5 x .15.2.
Решить смешанную задачу для данного неоднородного волновогоуравненияснулевыминачальнымииграничнымиусловиямиU ( x; 0 ) = U t ( x; 0 ) = 0 , U ( 0; t ) = U (π ; t ) = 0 .1U tt = U xx + 3sin 2t sin 2 x .4Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑U n ( t ) X n ( x ) ,n =1где X n ( x ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; U n ( t ) – решения задачКоши U n′′ + a2λn2U n = f n ( t ) , U n ( 0 ) = U n′ ( 0 ) = 0 ; λn – собственные числа задачиШтурма-Лиувилля и f n ( t ) – коэффициенты разложения f ( x;∞t ) = ∑ fn (t ) X n ( x ) .n =1Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примутвид X ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlВ нашем случае для данного уравнения X n ( x ) = sin nx ,λn = n .Задачи Коши: U n′′ + a n U n = f n ( t ) , где f n ( t ) находим из соотношения222π nxf n ( t ) = ∫ f ( x; t ) sindx .l 0llfn (t ) =2ππ6π∫ 3sin 2t sin 2 x sin nxdx = π sin 2t ∫ sin 2 x sin nxdx =03sin 2t , n = 2;=n ≠ 2.0,Получаем, чтоU 2′′ + U 2 = 3sin 2t , U 2 ( 0 ) = U 2′ ( 0 ) = 0 .k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i .U 2( общ.
од н.) = C1 cos t + C2 sin t .0U 2( част. неод н.) = A cos 2t + B sin 2t .U 2′( част. неод н.) = −2 A sin 2t + 2 B cos 2t , U 2′′( част. неод н.) = −4 A cos 2t − 4 B sin 2t .−4 A cos 2t − 4 B sin 2t + A cos 2t + B sin 2t = 3sin 2t .A = 0, B = −1 .U 2 ( t ) = C1 cos t + C2 sin t − sin 2t .U 2′ ( t ) = −C1 sin t + C2 cos t − 2cos 2t .C1 = 0,U 2 ( 0 ) = 0,⇒C2 = 2.U 2′ ( 0 ) = 0.U 2 ( t ) = 2sin t − sin 2t .Общее решение исходного уравненияU ( x; t ) = ( 2sin t − sin 2t ) sin 2 x .15.12.
Решить смешанную задачу для данного неоднородного волновогоуравненияснулевыминачальнымииграничнымиусловиямиU ( x; 0 ) = U t ( x; 0 ) = 0 , U ( 0; t ) = U (π ; t ) = 0U tt =1U xx + 15cos 4t sin 9 x .81Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑U n ( t ) X n ( x ) ,n =1где X n ( x ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; U n ( t ) – решения задачКоши U n′′ + a2λn2U n = f n ( t ) , U n ( 0 ) = U n′ ( 0 ) = 0 ; λn – собственные числа задачиШтурма-Лиувилля и f n ( t ) – коэффициенты разложения f ( x;∞t ) = ∑ fn (t ) X n ( x ) .n =1Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примутвид X ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlВ нашем случае для данного уравнения X n ( x ) = sin nx ,λn = n .Задачи Коши: U n′′ + a n U n = f n ( t ) , где f n ( t ) находим из соотношения222π nxf n ( t ) = ∫ f ( x; t ) sindx .l 0llfn (t ) =2ππ30∫15cos 4t sin 9 x sin nxdx = π015cos 4t , n = 9;=n ≠ 9.0,Получаем, чтоU 9′′ + U 9 = 15cos 4t , U 9 ( 0 ) = U 9′ ( 0 ) = 0 .k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i .U 9( общ.
од н.) = C1 cos t + C2 sin t .πcos 4t ∫ sin 9 x sin nxdx =0U 9( част. неод н.) = A cos 4t + B sin 4t .U 9′( част. неод н.) = −4 A sin 4t + 4 B cos 4t , U 9′′( част. неод н.) = −16 A cos 4t − 16 B sin 4t .−16 A cos 4t − 16 B sin 4t + A cos 4t + B sin 4t = 15cos 4t ⇒ A = −1, B = 0 .U 9 ( t ) = C1 cos t + C2 sin t − cos 4t .U 9′ ( t ) = −C1 sin t + C2 cos t + 4sin 4t .U 9 ( 0 ) = 0,C1 − 1 = 0,C1 = 1,⇒⇒C2 = 0.C2 = 0.U 9′ ( 0 ) = 0.U 9 ( t ) = cos t − cos 4t .Общее решение исходного уравненияU ( x; t ) = ( cos t − cos 4t ) sin 9 x ..
