1005168_2 (Типовые по урматфизу (часть 5))
Описание файла
PDF-файл из архива "Типовые по урматфизу (часть 5)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "уравнения математической физики" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
3.9. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.12U xx + 8U xy + U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 12, a12 = 4, a22 = 1 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 42 − 12 ⋅ 1 = 4 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае12dy − 6dx = 0,12dy − 2dx = 0.2dy − dx = 0,6dy − dx = 0.Делаем замену ξ = 2 y − x, η = 6 y − x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −U ξ − Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = 2U ξ + 6Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = U ξξ + 2U ξη + Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −2U ξξ − 8U ξη − 6Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = 4U ξξ + 24U ξη + 36Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:12U ξξ + 24U ξη + 12Uηη − 16U ξξ − 64U ξη − 48Uηη ++ 4U ξξ + 24U ξη + 36Uηη = 0.−16U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( 2 y − x ) + C2 ( 6 y − x ) ,где C1 ( 2 y − x ) , C2 ( 6 y − x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.13.1.
Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.4U xx + 8U xy + 3U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 4, a12 = 4, a22 = 3 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 42 − 4 ⋅ 3 = 4 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае 4dy − 6dx = 0, 4dy − 2dx = 0.2dy − 3dx = 0,2dy − dx = 0.Делаем замену ξ = 2 y − 3 x, η = 2 y − x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −3U ξ − Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = 2U ξ + 2Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 9U ξξ + 6U ξη + Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −6U ξξ − 8U ξη − 2Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = 4U ξξ + 8U ξη + 4Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:36U ξξ + 24U ξη + 4Uηη − 48U ξξ − 64U ξη − 16Uηη ++ 12U ξξ + 24U ξη + 12Uηη = 0.−16U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( 2 y − 3 x ) + C2 ( 2 y − x ) ,где C1 ( 2 y − 3 x ) , C2 ( 2 y − x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.23.14.
Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.2U xx + 3U xy + U yy = 0 .Решение3Имеем a11 = 2, a12 = , a22 = 1. Т.к.2213a − a11 ⋅ a22 = − 2 ⋅ 1 = > 0 ,42212то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае2dy − 2dx = 0,2dy − dx = 0.dy − dx = 0,2dy − dx = 0.Делаем замену ξ = y − x, η = 2 y − x .
ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −U ξ − Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + 2Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = U ξξ + 2U ξη + Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −U ξξ − 3U ξη − 2Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 4U ξη + 4Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:2U ξξ + 4U ξη + 2Uηη − 3U ξξ − 9U ξη − 6Uηη + U ξξ + 4U ξη + 4Uηη = 0.−U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − x ) + C2 ( 2 y − x ) ,где C1 ( y − x ) , C2 ( 2 y − x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.3.
