Частные случаи гипотезы для независимых бернуллиевских случайных величин ai и вектора x единичной длины

Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåòèìåíè Ì.Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊóðñîâàÿ ðàáîòà×àñòíûåP ñëó÷àè ãèïîòåçûP (|ni=1 ai xi |6 1) >12äëÿ íåçàâèñèìûõ áåðíóëëèåâñêèõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ai è âåêòîðà kxk = 1.Âûïîëíèë ñòóäåíò 405 ãðóïïûØíóðíèêîâ È.Í.ïîä ðóê. àêàäåìèêà ÐÀÍÔîìåíêî À.Ò.14 àïðåëÿ 20081Îáçîð ðàáîòû: ñòàòüå 2001 ãîäà À.Áåí-Òààë, À.Íåìèðîâñêèé è Ê.Ðîñ äîêàçàëè, ÷òî äëÿ âñÿêîãî âåêòîðà(x1 , x2 , .

. . , xn ) åäèíè÷íîé äëèíû x21 + x22 + · · · + x2n = 1 è âñÿêèõ íåçàâèñèìûõ â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûõ áåðíóëëèåâñêèõ âåëè÷èí a1 , a2 , . . . , an (ò.å. P (ai = 1) = P (ai = −1) = 12 ) âåðíî íåðàâåíñòâîP (|nXi=1ai xi | 6 1) >13è âûäâèíóëè ãèïîòåçóP (|nXai xi | 6 1) >i=11.2 íàñòîÿùåé ðàáîòå äîêàçàíû:Òåîðåìà 1 ãèïîòåçà äëÿ n = 4, 5, 6.Òåîðåìà 2 ãèïîòåçà äëÿ x1 = x2 = · · · = xn = √1n äëÿ ëþáîãî n > 3.Ïðèâåäåíà ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ãèïîòåçû è òåîðåì.Ê ñîæàëåíèþ, ìåòîä ëèíåéíûõ è êâàäðàòè÷íûõ îöåíîê â Ò.1 è àíàëîã öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîéòåîðåìû â Ò.2 äàëüíåéøèõ ïðîäâèæåíèé â ãèïîòåçå íå äàþò.Ôîðìóëèðîâêè è äîêàçàòåëüñòâà:Òåîðåìà 1. Ïóñòü n = 4, 5 èëè 6.

Ïóñòü a1 , a2 , . . . , an íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû ñ ðàñïðåäåëåíèåì P (ai = 1) = P (ai = −1) = 21 , ãäå i = 1, 2, . . . n. Òîãäà äëÿ âñÿêèõ÷èñåë x1 , x2 , . . . , xn ñî ñâîéñòâîì x21 + x22 + · · · + x2n = 1 âåðíî íåðàâåíñòâîP (|nXai xi | 6 1) >i=11.2¤ Ïðè n = 4, 5 äîáàâèì ôèêòèâíûå ÷èñëà x5 = x6 = 0, x6 = 0 è ñâåäåì Ò.1 ê ñëó÷àþ n = 6. Çàìåíèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íà âñåâîçìîæíûå íàáîðû èç 6 ÷èñåë +1 èëè -1 êàæäîå. Ñôîðìóëèðóåì,ê ÷åìó ñâåëàñü Ò.1:Óòâåðæäåíèå 1. Äëÿ âñÿêèõ 6 ÷èñåë x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ñî ñâîéñòâîì x21 +x22 +x23 +x24 +x25 +x26 = 1êîëè÷åñòâî N (x) íàáîðîâ 6 ÷èñåë a1 , .

. . , a6 , êàæäîå èç êîòîðûõ +1 èëè -1, íå ïðåâîñõîäèò 16.Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 1 ñîñòîèò â ôèêñèðîâàíèè è óïîðÿäî÷èâàíèè ÷èñåë x1 > x2 > x3 >x4 > x5 > x6 , è â ïîñëåäîâàòåëüíîì ðàññìîòðåíèè òðåõ ñëó÷àåâ:Ñëó÷àé à). Âåðíî −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 6 1, òîãäà äëÿa1 , . .

. , a6 , ÷òî³P âñÿêîãî´ íàáîðà³´P6P6P66ax>1âåðíîa=1èx+(−a)x<1,ò.ê.2>2x=ax+x+(−a)x.ii11ii1ii1iii=1i=2i=1i=2Ïîýòîìó ÷èñëî N (x) íå ïðåâîñõîäèò ïîëîâèíû îò êîëè÷åñòâà âñåâîçìîæíûõ íàáîðîâ èç 5 ÷èñåë +1èëè -1 êàæäîå, ò.å. N (x) 6 16.Òåïåðü, èñõîäÿ èç −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 > 1, ïîëó÷èì ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà.qx2 +x2 +x2 +x23 +x41234Ïî íåðàâåíñòâó Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî äëÿ ÷èñåë x1 , x2 , x3 , x4 : x1 +x2 +x66 12 ,44ïîýòîìó x1 + x2 + x3 + x4 6 2 è x2 + x4 6 1. Ïðåäïîëîæèâ x1 + x2 − x3 + x4 − x5 − x6 > 1 è ñëîæèâñ −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 > 1, ïîëó÷èì ïðîòèâîðå÷èå ñ x2 + x4 6 1, îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òîx1 + x2 − x3 + x4 − x5 − x6 < 1 Pè ÷òî ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîãî íàáîðà a1 , . . .

, a6 , ñîñòîÿùåãî èç íå6ìåíåå ÷åì òðåõ -1, òàêîãî ÷òî i=1 ai xi > 1. Îòìåòèì, ÷òî òàêèõ íàáîðîâ ai ñ íå áîëåå, ÷åì îäíîé-1, ðîâíî 7, è äëÿ îöåíêè N (x) îñòàëîñü ðàññìîòðåòü íàáîðû ñ äâóìÿ -1.Ñëó÷àé á). Âåðíî −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 > 1 è −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 − x6 6 1.

Ïðåäïîëîæèâäîïîëíèòåëüíî x1 − x2 + x3 − x4 + x5 + x6 > 1 è îãðóáèâ ïðåäïîëîæåííîå äî x1 + x6 > 1, ïåðåìíîæèìäâà íåðàâåíñòâà, x6 > 1 − x1 è x2 + x3 + x4 + x5 + x6 > 1 + x1 :1 − x21 = x22 + · · · + x26 > x6 (x2 + · · · + x6 ) > 1 − x21 .Ïðîòèâîðå÷èå ïðèâåëî ê ñîâîêóïíîñòè −x1 +x2 +x3 +x4 +x5 −x6 6 1 è x1 −x2 +x3 −x4 +x5 +x6 6 1,îòêóäà èñêîìûõ íàáîðîâ ai ñ äâóìÿ -1 íå áîëåå 8, è òîãäà N (x) 6 7 + 8 + 1 = 16.Ñëó÷àé â). Âåðíî −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 > 1 è −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 − x6 > 1. Ïðåäïîëîæèâx1 + x2 − x3 + x4 − x5 + x6 > 1 è ñëîæèâ ñ −x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 > 1, ïîëó÷èì ïðîòèâîðå÷èåñ x2 + x4 6 1.

Ïîýòîìó èñêîìûõ íàáîðîâ ai ñ äâóìÿ -1 íå áîëåå 6, è òîãäà N (x) 6 7 + 6 + 1 = 14 ¥Òåîðåìà 2. Ïóñòü n > 3 íàòóðàëüíîå ÷èñëî è x1 = x2 = · · · = xn =√1 .nÏóñòü a1 , a2 , . . . , aníåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ðàñïðåäåëåíèåì P (ai = 1) = P (ai = −1) = 12 ,ãäå i = 1, 2, . . .

n. Òîãäà âåðíî íåðàâåíñòâî2P (|nXai xi | 6 1) >i=11.2¤ Çàìåíèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íà âñåâîçìîæíûå íàáîðû ai èç n ÷èñåë √+1 èëè -1 êàæäîå. ÅñëèPn√√â íàáîðå ai ðîâíî k ÷èñåë -1 è i=1 ai > n, òî (n − k) − k > n, ò.å. k < n−2 n . Êîëè÷åñòâî íàáîðîâkai ñ ðîâíî k ÷èñëàìè -1 ðàâíî Cn , ïîýòîìónX√ai > n) =2n · P (X√06i< n−2 ni=1Cni .Ñôîðìóëèðóåì, ê ÷åìó ñâåëàñü Ò.2:Óòâåðæäåíèå 2. Äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ n > 3 âåðíî íåðàâåíñòâî:XCni < 2n−2√n06i< n−2Ïëàí äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 2: Äëÿ 3 6 n 6 15 âû÷èñëèì îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà ÿâíî.Äëÿ n > 16 ïåðåïèøåì íåðàâåíñòâî ÷åðåç ñóììó ”öåíòðàëüíûõ” Cnk , îöåíèì ïîñëåäíèå ïî ôîðìóëåt2RÑòèðëèíãà, à èõ ñóììó ÷åðåç e− 2 dt.Øàã 1.

Ñîñòàâèì òàáëèöó èç îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà è êîëè÷åñòâà ó÷àñòâóþùèõ â ñóììèðîâàíèè Cni äëÿ 3 6 n 6 15 :n√3 4 5 6 7 8910 1112131415d n− n e 1 1 2 2 3 33445566  P2iCn1 1 6 7 29 37 46 176 232 794 1093 3473 49442n−22 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192√nÄëÿ n > 16 ïîëüçóÿñü Cni = Cnn−i è n − d n−2b√e = b n+2√n+ nc2Xnc, ïåðåïèøåì òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî:Cni > 2n−1√n− nei=d2√θnØàã 2. Îöåíèì Cni , èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ñòèðëèíãà n! = ( ne )n · ( 2πne 12n ), ãäå 0 6 θn 6 1, èôóíêöèþ ýíòðîïèè H(x) = −x log2 x − (1 − x) log2 (1 − x) :!µ¶ Ãsθn−iθiθnn!nn2πn−−iCn == i·· e 12n 12i 12(n−i) >i!(n − i)!2πi2π(n − i)i · (n − i)(n−i)Ãrµ³´!r³ ´¶1ni2n− 3 4i(n−i)nH n> 2···e.π4i(n − i)Ââåäåì âåëè÷èíó t =44i(n − i)=n¡n2in− 12 , âûðàçèì ÷åðåç íå墡¢+ nt n2 − nt= n(1 − 4t2 )nÎïðåäåëèì ôóíêöèþîòðåçîê ïîëó÷èëñÿ èç |i − n2 | 6´³1nH t+ 2 −n2=2f (t) :=√n2 .è îöåíêó´³1nH t+ 2 −n2·eCni >12nt2 − 3n(1−4t2 )√1−4t2³´r12nH t+ 22π1− 3n(1−4t2 )e·pn(1 − 4t2 ).1íà îòðåçêå |t| 6 √ ,2 nÏðåîáðàçóåì³ ³´³´´11n − 2 +t log2 (1+2t)− 2 −t log2 (1−2t)=e3³´n1+2t− 2 ln(1−4t2 )−ntln 1−2t,äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè1h(t) := ln(f (t)) = 2nt −− ntln3n(1 − 4t2 )µ21 + 2t1 − 2t¶−n+1ln(1 − 4t2 ),2ïðè1|t| 6 √ .2 n1Ôóíêöèÿ h(t) ÷åòíàÿ è h(0) = − 3n, ïîêàæåì h0 (t) > 0 ïðè 0 6 t 6 2√1 n , ñãðóïïèðîâàâ ñëàãàåìûåè ðàçëîæèâ âòîðóþ ãðóïïó â ðÿä ïî ñòåïåíÿì 2t :µ¶ µ¶2t8t2t1 + 2t=h0 (t) =−+4nt−nln()+1 − 4t23n(1 − 4t2 )21 − 4t21 − 2t! µµµ¶ ÃX¶ ÃX¶!∞∞∞2l+12X2t(2t)2t2n(2t)441(1 −) +(2t)2k+1 − 2n>+(2t)2k+1 1 −> 0,1 − 4t23n(1 − 4t2 )2l + 11 − 4t2 452k + 3k=0òàê êàê n > 16, 0 6 t 618l=1k=0è n(2t)2 6 1.

Èç ÷åòíîñòè h(t) è íåîòðèöàòåëüíîñòè h0 (t),06t61√2 n11ïîëó÷èì h(t) > h(0) = − 3nè f (t) > f (0) = e− 3n äëÿ |t| 6 2√1 n , îòêóäà ñëåäóåòr√n2 −2nt2 − 1nin3nCn > 2e, ïðè n|t| = |i − | 6.πn22x2x2x2Øàã 3. Èç (e− 2 )00 = (x2 − 1)e− 2 ïîëó÷èì âûïóêëîñòü ââåðõ ôóíêöèè e− 2 ïðè |x| < 1. ÄëÿRbx2e− 2−(a+b)28dx 6 (b−a)e, ïîñêîëüêó êðèâîëèíåéíàÿëþáîãî îòðåçêà [a, b], ãäå −1 6 a < b 6 1, âåðíîaµ¶2xòðàïåöèÿ (x, y)|a 6 x 6 b, 0 6 y 6 e− 2â ñèëó âûïóêëîñòè ñîäåðæèòñÿ â òðàïåöèè, îòñåêàåìî鵶(a+b)2x2−8êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó y = e− 2 â òî÷êå a+b,eîò ïîëóïîëîñû (a 6 x 6 b, 0 6 y) .

Àíà2(a+b)2R 1 − x22 dx 6 (b − a)e−8ëîãè÷íî ïîëó÷èì äëÿ −1 6 a < a+b<1<bíåðàâåíñòâî. Îáîçíà÷èìe2a√√n− nn+ nìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë îòðåçêà [d 2 e, b 2 c] çà In è äëÿ êàæäîãî i ∈ In îáîçíà÷èì ÷èñëî√2 n( ni − 12 ) çà xi , òîãäà ïî øàãó 2 ïîëó÷èì:r2X2 − 1 X − xiine 3nCn > 2e 2.πni∈Inx2ie− 2Îöåíèâàÿ1min(xi + √ ,1)Z n√n2ñíèçó ÷åðåçXi∈Ine−x221max(xi − √ ,−1)nrCnin>2i∈InZ1 −1e 3n2πe−e−12711 ,ïîýòîìóPi∈In227Z42x2dx >−1+ √1n>dx.1è n > 16 ïîëó÷èì: e− 3n > 1 −3Z√12πx22−1+ √1n1− √1nè22çàìå÷àÿ maxi∈In xi > 1− √ , mini∈In xi < 1+ √ :nn1− √1nØàã 4.

Èñïîëüçóÿ e−x > 1 − x ïðè 0 > x > 1, π <qdx,Cni > 2n−1q1−3−477 8781 8087x2dx =264> 2n−1¥Çàìå÷àíèå 1. Ïðè n → ∞ âåðíî2−nX√06i< n−2Cnin1→√2πZ−1t2e− 2 dt ≈ 0.158 < 0.25−∞413n>4445èÇàìå÷àíèå 2.  êíèãå À.Í. Øèðÿåâà ”Âåðîÿòíîñòü” òîì 1, ïàð. 11 çàäà÷à 2: Ïóñòü ak íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ Eak = 0, Dak = σ 2 , E|ak |3 < ∞. Òîãä௯¯¯Zx23¯ a1 + · · · + an¯t1−2¯P (¯ 6 √cE|a1 |√√)−edt¯¯33σ n2π¯¯ σ n(1 + |x|)−∞×òî äîêàçûâàåò òåîðåìó 2 ïðè óñëîâèè ìàëîé êîíñòàíòû c.Ïåðåôîðìóëèðîâêà ãèïîòåçû:Îïðåäåëåíèå.

Äàí n-ìåðíûé êóá ñ êîîðäèíàòàìè âåðøèí (±1, ±1, . . . , ±1) ∈ Rn è âïèñàííàÿ âíåãî åäèíè÷íàÿ ñôåðà x21 + x22 + · · · + x2n = 1. Áóäåì ïèñàòü, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ñôåðå ãèïåðïëîñêîñòüα îòñåêàåò âåðøèíó A êóáà, åñëè òî÷êà A è öåíòð ñôåðû íàõîäÿòñÿ ñòðîãî ïî ðàçíûå ñòîðîíû îòãèïåðïëîñêîñòè α.√√√Ïðèìåð. Ãèïåðïëîñêîñòü x1 + x2 = 2, êàñàþùàÿñÿ ñôåðû â òî÷êå ( 22 , 22 , 0, . . . , 0), îòñåêàåò2n−2 âåðøèíû, â òî÷íîñòè òå, ó êîòîðûõ ïåðâûå äâå êîîðäèíàòû ðàâíû 1.Óòâåðæäåíèå 1(Ôîëüêëîð). Äàíà òî÷êà x = (x1 , .

. . , xn ) íà åäèíè÷íîé ñôåðå kxk = 1.Ïóñòü ai íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû ñ ðàñïðåäåëåíèåì P (ai = 1) = P (ai = −1) = 12 , ãäåPni = 1, 2, . . . , n. Òîãäà P (| i=1 ai xi | 6 1) > 12 ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ãèïåðïëîñêîñòü â òî÷êå x âïèñàííîé ñôåðû îòñåêàåò íå áîëåå ÷åì 2n−2 âåðøèí n-ìåðíîãî êóáà.Pn¤ Óñëîâèå îòñå÷åíèÿ èìååò âèä i=1 ai xi > 1, ãäå ai êîîðäèíàòû îòñåêàåìîé âåðøèíû. Èçñèììåòðèè ìíîæåñòâà âåðøèí êóáà îòíîñèòåëüíî çàìåíû çíàêà âñåõ êîîðäèíàò âåðøèíû, ïîëó÷èìP (|nXnXai xi | 6 1) = 1 − 2P (ai xi > 1).i=1i=1Îòñå÷åíèå íå áîëåå ÷åì 2n−2 âåðøèí n-ìåðíîãî êóáà ðàâíîñèëüíî 2P (Pni=1ai xi > 1) 612¥Ñëåäñòâèå 1(óòâåðæäåíèÿ 1).

Ïóñòü ai , ãäå i = 1, . . . , n íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûåPn âåëè÷èíû ñðàñïðåäåëåíèåì P (ai = 1) = P (ai = −1) = 12 , ãäå i = 1, 2, . . . , n. Òîãäà óñëîâèå P (| i=1 ai xi | 6 1) >12 äëÿ ëþáîãî âåêòîðà x òàêîãî, ÷òî kxk = 1, ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî ëþáàÿ êàñàòåëüíàÿãèïåðïëîñêîñòü ê âïèñàííîé ñôåðå îòñåêàåò íå áîëåå ÷åì 2n−2 âåðøèí n-ìåðíîãî êóáà.Ñëåäñòâèå 2(òåîðåì 1,2).à) Ëþáàÿ êàñàòåëüíàÿ ãèïåðïëîñêîñòü ê âïèñàííîé â 6-ìåðíûé êóá ñôåðå îòñåêàåò íå áîëåå 16åãî âåðøèí.√á) Ãèïåðïëîñêîñòü x1 + x2 + · · · + xn = n, êàñàþùàÿñÿ ñôåðû â òî÷êå ( √1n , √1n , . . .

, √1n ), îòñåêàåòíå áîëåå, ÷åì 2n−2 âåðøèí êóáà.√Óòâåðæäåíèå 2(Äèëüìàí Ãëåá). Ãèïåðïëîñêîñòü x1 + x2 + · · · + xPn, êàñàþùàÿñÿ âïèn =ñàííîé â êóá åäèíè÷íîé ñôåðû â òî÷êå ( √1n , √1n , . . . , √1n ), îòñåêàåò ðîâíî√i< n−2nCni âåðøèí êóáà.¤ Ïóñòü êîîðäèíàòû îòñåêàåìîé âåðøèíûêóáà ñîñòîÿò èç k åäèíèö è n − k ìèíóñ åäèíèö, òîãäà√√k − (n − k) > n, òî åñòü n − k < n−2 n .

Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò Cnn−k âåðøèí êóáà ñðîâíî n − k îòðèöàòåëüíûìè êîîðäèíàòàìè. ¥Òàêèì îáðàçîì, ãèïîòåçà è òåîðåìû 1 è 2 èìåþò ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.Ëèòåðàòóðà.1) À.Í. Øèðÿåâ ¾Âåðîÿòíîñòü¿2) Æóðàâëåâ Þ.È. ¾Îá îòäåëèìîñòè ïîäìíîæåñòâ âåðøèí n-ìåðíîãî êóáà.¿ Òðóäû ÌÈÀÍÑÑÑÐ (51) Ì.1958 ñ 143-1573) A. Ben-Tal, A. Nemirovski, C. Ros, 11.06.2001.

¾¿5.