Бигамильтонова структура и особенности отображения момента волчка Лагранжа

Бигамильтонова структура и особенности отображениямомента волчка ЛагранжаТужилин М. А.17 ноября 2013 г.1Введение.В статье продемонстрирован новый подход к задаче о поиске особенностей отображениямомента для волчка Лагранжа. Результаты, полученные классическим способом, находятся спомощью бигамильтоновой структуры, что помогает существенно упростить их доказательство. Приводится простой и удобный способ нахождения особых точек и определения их типа.2История вопроса.Рассмотрим специальный случай вращения твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном поле силы тяжести. Потребуем, чтобы два из трех моментов инерции совпадали ичтобы неподвижная точка лежала на оси динамической симметрии. Тело, обладающее такимисвойствами называется волчком Лагранжа.

Это классический пример интегрируемой системы. Явную формулу того, как описывается положение такого тела в пространстве получилЯкоби [1]. Решения уравнений движения в терминах эллиптических функций были описаныв [4]. Бифуркационная диаграмма описана в [6]. В статье [3] приведены согласованные скобкидля случая волчка Лагранжа.3Предварительные сведения и теоремы.Пусть e(e) - группа движения трехмерного пространства, тогда на e(3)∗ можно ввести такиекоординаты J = (J1 , J2 , J3 ) и x = (x1 , x2 , x3 ) и скобку Ли-Пуассона, что в этих координатахскобка будет иметь вид скобка Ли-Пуассона имеет вид{Ji , Jj } = εijk Jk ,{Ji , xj } = εijk xk ,{xi , xj } = 0.Назовем эту скобку P. Она имеет две функции КазимираC1 = ∥x∥ =3∑x2k ,C2 = ⟨x, J⟩ =k=13∑k=1Зафиксируем симплектический лист e(3)∗Oαβ :{x, J : C1 = α2 , C2 = β},1xk Jk .(1)получится четырехмерное симплектическое многообразие, на котором будем изучать отображение момента.Для волчка Лагранжа известно два классических интеграла движенияH1 = J3 ,H2 = J12 + J22 + J32 + ax3 ,a ∈ R,где H2 — гамильтониан.

Векторное поле P dH2 можно переписать в виде (P + λP ′ )dHλ , гдеHλ = (1 − λ2 )(H2 − aλH1 ) + C2 , а согласованная с P скобка имеет следующий вид (см. [2, 3])0x3 −x2 00 0−x30x100 0x−x000 021′.(2)P =000 − a2 0 0a 0000 0200000 0Таким образом получаем пучок скобок Pλ = P + λP ′ .

Эта скобка при фиксированном λ имеетдве функции КазимираH 1 (λ) = C1 ,H 2 (λ) = aλ2 H1 − λH2 + 2C2 .Теорема 1 (о ранге скобки пучка).Рассмотрим на e(3)∗ скобку Pλ , порожденную скобками (1) и (2), при фиксированном λ ∈ C,тогда x1 = λJ1 x2 = λJ2  x3 = λJ3 − λ2 a2rank(Pλ ) < 4 ⇐⇒ (3) x = 0  1 x2 = 0x3 = 0Доказательство. Сначала докажем в обратную сторону. Пусть выполнены соотношения справа от следствия. Тогда легко видеть, что из соотношений на x и J сразу вытекает, чтоrank(Pλ ) < 4.Теперь докажем в прямую сторону. Рассматриваемая скобка будет иметь вид0λx3 −λx20x3−x2−λx30λx1−x30x1 λx2 −λx10x2−x10 Pλ = P + λP ′ = (4) 0x3−x20J3 − λ a2 −J2  −x30x1−J3 + λ a20J1 x2−x10J2−J10Если rank(Pλ ) < 4, то из того, что кососимметрическая матрица имеет всегда четныйранг, следует, что он либо 2, либо 0.

Если же rank(Pλ ) = 0, то легко видеть, что выполненысоотношения (3). Пусть теперь rank(Pλ ) = 2, тогда есть два столбца матрицы, через которыевыражаются все остальные. Назовем их главными столбцами.2Пусть λ ̸= 0 и x1 ̸= 0. Главное соображение состоит в том, что столбцы матрицы Pλразбиваются на пары, в каждой из которых один столбец пропорционален другому. Докажемэто.Обозначим столбцы матрицы Pλ как S1 , S2 ... S6 . Разобьем их на три группы: {S1 , S4 },{S2 , S5 }, {S3 , S6 }.Утверждение 2.

Главные столбцы матрицы Pλ принадлежат разным группам.Доказательство. Действительно, если они из одной группы, то они должны быть из первойгруппы, так как иначе есть столбец, у которого на месте, где у главных столбцов стоит 0, естьx1 с каким-то коэффициентом, отличным от нуля. Этот столбец выражается через выбранныедва, следовательно x1 = 0, что противоречит предположению. Тогда из тех же соображенийвыводим, что x2 = 0 и x3 = 0, следовательно, первый столбец является нулевым, а значит,rank(Pλ ) < 2, противоречие.Осталось доказать, что столбец, принадлежащий той же группе, что и главный, получаетсяиз него домножением на λ или λ1 .

Заметим, что из этого сразу же будет вытекать утверждениетеоремы.Рассмотрим случаи:(1) Главные столбцы: из первой группы и любой другой.Без ограничения общности, пусть эти столбцы будут S1 и S5 . Тогда рассмотрим столбецS2 . Он равен линейной комбинациии S1 и S5 . В столбце S1 первая координата равна 0,а вторая — x3 с ненулевым коэффициентом, поэтому либо x3 = 0, либо S2 = λS5 .

Еслиx3 = 0, то первые и вторые координаты столбцов S1 и S5 равны нулю, а значит, по темже соображениям x1 = 0, противоречие. Следовательно, S2 = λS5 , аналогично S1 = λS4 .(2) Главные столбцы оказались из групп два и три.Так как x1 ̸= 0, то, применяя похожие рассуждения для третьей строки, получаем, чтоS2 = λS5 , а для второй S3 = λS6 .Теперь посмотрим на полученные результаты более внимательно. В случае, когда векторx равен 0, обе функции Казимира C1 и C2 обращаются в 0. Такие точки являются элементамимножества Bad [5], для которого бигамильтонов подход не применяется.

Также для данногослучая нет какой бы то ни было физической интерпретации.Разделим полученные условия на случаи, когда для соответствующих точек (x, J) существует единственное значение λ, для которого ранг Pλ падает, когда существует два действительных значения λ, а когда два комплексных. Во всех этих трех случаях точки будут иметьразные особенности отображения момента. Таким образом, получаем3Следствие 3. x1 = λJ1 x = λJ  22  x3 = λJ3 − λ2 a2  x1 = x2 = J1 = J2 = 0rank(Pλ ), заданной формулой (4)⇐⇒  x3 = λJ3 − λ2 a2 падает J32 − 2ax3 ≥ 0  x = x = J = J = 0  1212 x3 = λJ3 − λ2 a2 2J3 − 2ax3 < 0(5) при λ ∈ R(6) при λ =(7) при λ =J3 ±J3 ±√J32 −2ax3a√J32 −2ax3a∈R∈CЭто следствие дает представление о множестве особых точек нашей системы.

Точки, перечисленные в следствии 3 - это в точности множество особых точек отображения момента(см. [7]). Осталось привести классификацию их типов особенностей.4Основная теорема.Теорема 4 (Классификация особенностей отображения момента для волчка Лагранжа).Пусть Pλ - пучок скобок, заданный соотношениями (1) и (2).

Hλ - гамильтониан, равныйсоответственно (1 − λ2 )(H2 − aλH1 ) + C2 , где H1 = J3 , H2 = J12 + J22 + J32 + ax3 , C2 = x1 J1 +x2 J2 +x3 J3 . Тогда особыми точками отображения момента являются точки, перечисленныев (5), (6), (7), причем(5)имеют эллиптический тип(6)имеют тип центр-центр(7)имеют тип фокус-фокус,при условии, что J32 − 2ax3 ̸= 0.Доказательство.(1) Зафиксируем точку x0 из случая (5). Для такой точки построим связанную с ней алгебру gλ (x0 ) (см.

[5]). В дальнейшем будем опускать x0 , оставив только gλ . Она будетсостоять из элементов ξ, η ∈ Ker(Pλ (x0 )) с коммутатором [ξ, η] = d{f, g}λ , где f и g –некоторые функции, такие что df (x0 ) = ξ, dg(x0 ) = η. Тогда если взять в качестве f и gijлинейные функции, то коммутатор [ξ, η] равнен ∂Pξ η , где суммирование ведется по∂xk i jповторяющимся индексам.4Выберем базис на gλ :1⟨ 0  0 Ker(Pλ (x0 )) = −λ ,  0 00 1   0  , 0  −λ00 0   1  , 0   0 −λx01x02 ⟩ 0x3   ,0 00где (x01 , x02 , x03 ) – первые три координаты точки x0 .

Обозначим эти порождающие векторысоответственно a, b, c и d. Для того, чтобы определить тип особой точки, надо понять,какой алгебре изоморфна данная. Для этого посчитаем их коммутаторы. Нетрудно проверить, что[a, b] = −λc, [a, c] = λb, [b, c] = −λa, [d, gλ ] = 0.Сделаем замену: x =b+c√ ,λ 2y=b−c√ ,λ 2z = λa , получим коммутатор[x, y] = z,[y, z] = x,[z, x] = y.То есть эта алгебра gλ изоморфна so(3, R).

Чтобы узнать,∩ что за тип особенности будетв этом случае, возьмем сумму ke (λ) по всем λ ∈ Λ(x0 ) R̄ (см. [5]). В нашем случае естьтолько одно λ, следовательно, ke равно 1. Следовательно, эта особенность эллиптического типа.(2) Теперь рассмотрим случай (6). Как и в первом случае, построим аналогичным образомалгебру gλ , только уже для точки x0 из второго случая. В этой алгебре скобка Пуассонапримет вид:0λx3 00x30−λx300−x300 000000,Pλ = x3 00J3 + λ a2 0 0 −x300 −J3 + λ a200000000Базисные векторы: 0⟨01Ker(Pλ (x0 )) = 0 , 00 01 0 ,0 011 0   0  ,−λ  0 00 1 ⟩  0   . 0  −λ0Обозначим их соответственно a, b′ , c и d. Их коммутаторы:[a, gλ ] = 0,[b′ , c] = −d,[b′ , d] = c,, [c, d] = λ a − λ2 b′ .Сделаем замену b = a − λ b′ , тогда получим:[b, c] = −λ d,[b, d] = −λ c,5, [c, d] = λ b.Избавившись от коэффициента, получаем алгебру so(3, R):[x, y] = z,[y, z] = x,[z, x] = y.∩Тогда, возьмем сумму ke (λ) по√ всем λ ∈ Λ(x0 ) R̄ (см.

[5]). В нашем случае суммаJ ± J32 −2ax3будет по λ1 и λ2 , где λ1,2 = 3, следовательно, ke равно 2. Следовательно, этаaособенность типа центр-центр.(3) Случай (7) разбирается аналогично случаю (6), только для λ ∈ C. Для него аналогичным образом получается алгебра so(3, C). Следовательно, есть только один элементso(3, C) в разложении алгебры gλ , а значит, kh равно 1. Следовательно, особенность типафокус-фокус.Замечание 5.

В случае, когда J32 − 2ax3 = 0 получаются точки{x1 = x2 = J1 = J2 = 0J3∈ R., при λ =J32ax3 = 2aПричем они имеют вырожденный тип.Список литературы[1] C. Jacobi, Fragments sur la rotation d’un corps tirés des manuscripts de Jacobi et communiquéspar E. Lotner, Gesammelte Werke, Bd 2, 425-514, Chelsea, 1969.[2] L. Gavrilov, A. Zhivkov, The complex geometry of Lagrange top, L’ Enseign. Math., 1998, v.

44,p. 133-170.[3] T. Ratiu, Euler-Poisson equations on Lie algebras and the N-dimensinal heavy rigid body, Am.J. Math., 1982, v. 104, p. 409-448.[4] F. Klein, A. Sommerfeld, Über die Theorie des Kreisels, Teubner, 1965. Reprint of the 18971910edition.[5] A. Bolsinov, A. Izosimov, Singularities of bihamilton systems, Loughborough, Dept. of Math.Sciences, LE 11 3 TU, UK[6] A.Bolsinov, A.

Fomenko, Integrable Hamiltonian systems, vol. 2, p. 206-210[7] A. Bolsinov, Compatible Poisson brackets on Lie algebras and the completeness of families offunctions in involution, Mathematics of the USSR-Izvestiya, 38(1):69-90, 19926.