Топология интегрируемых систем с неполными полями

Топология интегрируемых систем снеполными полямиАлёшкин К.Р.1. ВведениеГамильтоновы системы часто встречаются в классической и квантовоймеханике и являются объектом большого числа исследований. В классической механике понятие интегрируемости системы связано с наличием достаточного количества попарно коммутирующих гамильтоновых векторных полей, в случае полноты которых поведение системыописывается теоремой Лиувилля [7, 6].

В большом числе задач гамильтоновы векторные поля полны автоматически, например в различныхинтегрируемых случаях движения твёрдого тела, геодезических потоках на компактных многообразиях [7] и многих других, но в некоторыхсистемах гамильтоновы векторные поля оказываются неполны, например в системе на алгебре sl(3), полученной методом сдвига аргумента(по поводу интегрируемых систем на алгебрах Ли и метода сдвига аргумента см. [8, 9]).В случае, когда часть векторных полей интегрируемой гамильтоновой системы неполна, структура лиувиллева слоения мало изучена.В данной работе проводится исследование совместных поверхностейуровня интегрируемых систем с неполными полями с целью построитьнекий аналог теоремы Лиувилля для таких систем. В результате выводится более общий результат, непосредственно не связанный с гамильтоновыми системами.

Стоит заметить, что изучение гамильтоновых систем часто позволяет получать не связанные с ними алгебраические игеометрические результаты, например, из последних работ в [1], [2].В качестве примера с помощью полученных в работе методов исследуется система, полученная методом сдвига аргумента на sl(3) и показывается, что для неё неполнота полей не приводит ни к хаотичноститраекторий системы, ни к искажению топологии совместных поверхностей уровня первых интегралов. Хотелось бы выразить отдельную1благодарность А.Т. Фоменко и А.М. Изосимову за постановку задачи,а также за интересные и конструктивные обсуждения.2. Системы с неполными полямиВ дальнейшем рассуждение будет вестись в основном в терминах фазовых потоков, так что для начала напомним некоторые понятия.Определение 1.

Пусть задано гладкое векторное поле v на гладкоммногообразии M n , тогда фазовым потоком g t векторного поля называется однопараметрическое семейство диффеоморфизмов, заданноена M , и сдвигающее точку x на время t вдоль интегральных кривыхполя v.d tg (x) = v(g t (x))dtТо есть g : U → M , где U – открытое подмножество в M × R.Определение 2. Гладкое векторное поле v на гладком многообразииM n называется полным, если естественный параметр на его интегральных кривых определён на всей числовой прямой.Таким образом векторное поле полно тогда и только тогда, когда соответствующие ему фазовый поток задаёт действие группы R. Иногдабудем называть фазовым потоком полного векторного поля действиегруппы R на многообразии.Обозначение 1.

В дальнейшем, если на пуассоновом многообразиизадана гладкая функция fi , то соответствующее гамильтоново векторное поле будем обозначать vi = sgradfi , а фазовый поток этогополя gi .Определение 3. Назовём систему коммутирующих гладких функций fi на многообразии M полной в смысле полей, если все поля viполны (отсюда следует, что любая их линейная комбинация полна)и взрывающейся в противном случае (такое определение продиктовано тем, что непродолжающиеся на всю временную ось интегральныетраектории поля называют взрывающимися).Во избежание путаницы термин “полный инволютивный набор функций” (то есть набор коммутирующих функций, для которых касательное пространство к их совместной поверхности уровня почти всюдуявляется лагранжевым подпространством) ниже употребляться не будет.2Определение 4.

Назовём систему гладких функций fi на многообразии M полностью взрывающейся, если все векторные поля vi вместе сих любой нетривиальной линейной комбинацией не полны. Или эквивалентно: если максимальное линейное подпространство полных полейв пространстве, задаваемом полями vi нулевое.Таким образом, в нашей терминологии теорема Лиувилля верна дляфункционально независимого набора из n коммутирующих гладкихфункций полных в смысле полей. Следующие теоремы направлены нато, чтобы отказаться от последнего условия.Обозначение 2.

Пусть векторные поля v1 , · · · , vi коммутируют намногообразии M n , и фиксирована точка x0 , тогда будем ассоциировать с ними Ri(t) = Rt1 × · · · × Rti , где каждой точке (t1 , t2 , · · · , ti ) изRi соотвествует точка на многообразии g1t1 ◦ · · · ◦ giti (x0 ). Если потокикоммутируют глобально, то порядок их применения не важен. Такжеесли U – односвязная область в Ri(t) , содержащая ноль, и не содержащая точек непродолжения, то потоки в ней коммутируют глобально(по определению все пути с общим началом и концом гомотопны). Вдальнейшем будем рассматривать только такие области.Теперь сформулируем общий факт, являющийся расширением известной теоремы Лиувилля.

В дальнейшем под полнотой или неполнотой векторного поля будет пониматься полнота или неполнота егосужения на совместную поверхность уровня первых интегралов.Теорема 1. Пусть M 2n – симплектическое многообразие, и на нём задан инволютивный набор из n функционально независимых первых интегралов f1 , . .

. , fn , причём векторные поля sgrad fi являются полнымидля 1 ≤ i < n, а векторное поле sgrad fn неполно. Тогда связная компонента регулярной совместной поверхности уровня первых интеграловkkгомеоморфна Cyln−1× R, где Cyln−1орбита действия группы сдвиговпотоков, соответствующих первым n − 1 интегралам ≃ Tk × Rn−1−k .Для уже двух неполных полей это утверждение верным не будет,как показывает следующий пример: рассмотрим интегрируемую систему на M 6 такую, что один из лиувиллевых торов является резонансным, а именно, интегральные кривые имеют коэффициенты резонансности 1 : 0 : 0, 0 : 1 : 0, 1 : 0 : 2, то есть в базисе циклов (в первой группегомологий) траектории гамильтоновых полей имеют вид e1 , e2 , e1 + 2e3 .Все траектории замкнуты, и одна из них пересекается с каждой из двух3других по двум точкам.

Теперь испортим исходное многообразие M ,выкинув одну из траекторий e1 + 2e3 . Тогда поля, соответствующие e1и e2 неполны, и заметаемая ими поверхность есть T2 \{0, 1}, а совместная поверхность уровня трёх полей есть нетривиальное расслоение надокружностью со слоем T2 \{0, 1}, что не равняется T2 \{0, 1} × S 1 , см.рис.

1.A2e3e2e1Рис. 1: Поверхность уровня.Для формулировки следующей теоремы нам понадобится следущееопределение:Определение 5. Скажем, что подмножество M (x0 ) многообразия Nзаметается интегральными траекториями полей v1 , . . . , vn , если оносостоит из тех и только тех точек, в которые можно попасть поинтегральным кривым этих полей из точки x0 т.е.M (x0 ) = x ∈ N | ∃ i1 , . . . , ir , t1 , . .

. , tr : x = git11 ◦ . . . ◦ gitrr (x0 ).Теперь сформулируем основное утверждение о структуре совместной поверхности уровня для случая нескольких полных и неполныхполей.4Обозначение 3. Пусть дан набор набор коммутирующих векторныхполей на гладком многообразии N . Обозначим за V пространство,состоящее из линейных комбинаций векторных полей из набора. Выберем из этого набора максимальное подпространство V0 , состоящееиз полных полей, то есть максимальную систему, полную в смыслеполей.

Для произвольной точки x0 ∈ N обозначим за A(x0 ) обозначиммножество, заметаемое интегральными кривми полей из выбранногоподпространства V0 , а за M (x0 ) множество, заметаемое интегральными кривыми полей из V /V0 (из максимальной полностью взрывающейся системы), то есть интегральными кривыми неполных полей.Также обозначим за T пересечение M (x) и A(x), T имеет естественную структуру группы, действующей на M (x), A(x) сдвигамивдоль интегральных кривых.Теорема 2. Пусть дано связное гладкое многообразие N без края изаданы n гладких, линейно независимых в каждой его точке коммутирующих векторных полей v1 , .

. . , vn так, что v1 , . . . , vk полностьювзрывающаяся система, а vk+1 , . . . , vn – полны.Тогда многообразие N является “испорченным прямым произведением ” A(x0 ) и M (x0 ), и устроено следующим образом: для произвольной точки x0 из многообразия N :1) A(x0 ) и M (x0 ) являются гладкими многообразиями, и для любойx ∈ N A(x0 ) ≃ A(x), M (x0 ) ≃ M (x).2) A(x0 ) является гладким подмногообразием в N .3) Над каждой точкой A(x0 ) висит многообразие M (x) (оно можетне быть подмногообразием) , которое, быть может, пересекается смногообразием A(x0 ) по точкам T , причём на M (x) нет точек накопления из T , то есть T является дискретным подмножеством вM (x).4) Если точек накопления T нет, то есть T дискретное подмножество в N , то N ≃ (M (x0 )×A(x0 ))/T является локально тривиальнымрасслоением с базой A(x0 )/T и слоем M (x0 ), а также с базой M (x0 )/Tи слоем A(x0 ).Замечание 1.

В условиях предыдущей теоремы M (x0 ) имеет афинную структуру в следующем смысле: M (x0 ) имеет естественный атлас {Uα , ψα } такой, что все функции перехода являются прибавлениемпостоянного вектора и, следовательно, M (x0 ) обладает плоской метрикой. В окрестности каждой точки оно имеет структуру локальнойгруппы Ли, совпадающей с локальной группой Rk или Tk .Как частный случай из предыдущей теоремы немедленно следует:5Следствие 1.