Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Топология интегрируемых систем с неполными полями

Топология интегрируемых систем с неполными полями

PDF-файл Топология интегрируемых систем с неполными полями Модели вычислений (54012): Курсовая работа - 8 семестрТопология интегрируемых систем с неполными полями: Модели вычислений - PDF (54012) - СтудИзба2019-09-19СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Топология интегрируемых систем с неполными полями", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "модели вычислений" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

Топология интегрируемых систем снеполными полямиАлёшкин К.Р.1. ВведениеГамильтоновы системы часто встречаются в классической и квантовоймеханике и являются объектом большого числа исследований. В классической механике понятие интегрируемости системы связано с наличием достаточного количества попарно коммутирующих гамильтоновых векторных полей, в случае полноты которых поведение системыописывается теоремой Лиувилля [7, 6].

В большом числе задач гамильтоновы векторные поля полны автоматически, например в различныхинтегрируемых случаях движения твёрдого тела, геодезических потоках на компактных многообразиях [7] и многих других, но в некоторыхсистемах гамильтоновы векторные поля оказываются неполны, например в системе на алгебре sl(3), полученной методом сдвига аргумента(по поводу интегрируемых систем на алгебрах Ли и метода сдвига аргумента см. [8, 9]).В случае, когда часть векторных полей интегрируемой гамильтоновой системы неполна, структура лиувиллева слоения мало изучена.В данной работе проводится исследование совместных поверхностейуровня интегрируемых систем с неполными полями с целью построитьнекий аналог теоремы Лиувилля для таких систем. В результате выводится более общий результат, непосредственно не связанный с гамильтоновыми системами.

Стоит заметить, что изучение гамильтоновых систем часто позволяет получать не связанные с ними алгебраические игеометрические результаты, например, из последних работ в [1], [2].В качестве примера с помощью полученных в работе методов исследуется система, полученная методом сдвига аргумента на sl(3) и показывается, что для неё неполнота полей не приводит ни к хаотичноститраекторий системы, ни к искажению топологии совместных поверхностей уровня первых интегралов. Хотелось бы выразить отдельную1благодарность А.Т. Фоменко и А.М. Изосимову за постановку задачи,а также за интересные и конструктивные обсуждения.2. Системы с неполными полямиВ дальнейшем рассуждение будет вестись в основном в терминах фазовых потоков, так что для начала напомним некоторые понятия.Определение 1.

Пусть задано гладкое векторное поле v на гладкоммногообразии M n , тогда фазовым потоком g t векторного поля называется однопараметрическое семейство диффеоморфизмов, заданноена M , и сдвигающее точку x на время t вдоль интегральных кривыхполя v.d tg (x) = v(g t (x))dtТо есть g : U → M , где U – открытое подмножество в M × R.Определение 2. Гладкое векторное поле v на гладком многообразииM n называется полным, если естественный параметр на его интегральных кривых определён на всей числовой прямой.Таким образом векторное поле полно тогда и только тогда, когда соответствующие ему фазовый поток задаёт действие группы R. Иногдабудем называть фазовым потоком полного векторного поля действиегруппы R на многообразии.Обозначение 1.

В дальнейшем, если на пуассоновом многообразиизадана гладкая функция fi , то соответствующее гамильтоново векторное поле будем обозначать vi = sgradfi , а фазовый поток этогополя gi .Определение 3. Назовём систему коммутирующих гладких функций fi на многообразии M полной в смысле полей, если все поля viполны (отсюда следует, что любая их линейная комбинация полна)и взрывающейся в противном случае (такое определение продиктовано тем, что непродолжающиеся на всю временную ось интегральныетраектории поля называют взрывающимися).Во избежание путаницы термин “полный инволютивный набор функций” (то есть набор коммутирующих функций, для которых касательное пространство к их совместной поверхности уровня почти всюдуявляется лагранжевым подпространством) ниже употребляться не будет.2Определение 4.

Назовём систему гладких функций fi на многообразии M полностью взрывающейся, если все векторные поля vi вместе сих любой нетривиальной линейной комбинацией не полны. Или эквивалентно: если максимальное линейное подпространство полных полейв пространстве, задаваемом полями vi нулевое.Таким образом, в нашей терминологии теорема Лиувилля верна дляфункционально независимого набора из n коммутирующих гладкихфункций полных в смысле полей. Следующие теоремы направлены нато, чтобы отказаться от последнего условия.Обозначение 2.

Пусть векторные поля v1 , · · · , vi коммутируют намногообразии M n , и фиксирована точка x0 , тогда будем ассоциировать с ними Ri(t) = Rt1 × · · · × Rti , где каждой точке (t1 , t2 , · · · , ti ) изRi соотвествует точка на многообразии g1t1 ◦ · · · ◦ giti (x0 ). Если потокикоммутируют глобально, то порядок их применения не важен. Такжеесли U – односвязная область в Ri(t) , содержащая ноль, и не содержащая точек непродолжения, то потоки в ней коммутируют глобально(по определению все пути с общим началом и концом гомотопны). Вдальнейшем будем рассматривать только такие области.Теперь сформулируем общий факт, являющийся расширением известной теоремы Лиувилля.

В дальнейшем под полнотой или неполнотой векторного поля будет пониматься полнота или неполнота егосужения на совместную поверхность уровня первых интегралов.Теорема 1. Пусть M 2n – симплектическое многообразие, и на нём задан инволютивный набор из n функционально независимых первых интегралов f1 , . .

. , fn , причём векторные поля sgrad fi являются полнымидля 1 ≤ i < n, а векторное поле sgrad fn неполно. Тогда связная компонента регулярной совместной поверхности уровня первых интеграловkkгомеоморфна Cyln−1× R, где Cyln−1орбита действия группы сдвиговпотоков, соответствующих первым n − 1 интегралам ≃ Tk × Rn−1−k .Для уже двух неполных полей это утверждение верным не будет,как показывает следующий пример: рассмотрим интегрируемую систему на M 6 такую, что один из лиувиллевых торов является резонансным, а именно, интегральные кривые имеют коэффициенты резонансности 1 : 0 : 0, 0 : 1 : 0, 1 : 0 : 2, то есть в базисе циклов (в первой группегомологий) траектории гамильтоновых полей имеют вид e1 , e2 , e1 + 2e3 .Все траектории замкнуты, и одна из них пересекается с каждой из двух3других по двум точкам.

Теперь испортим исходное многообразие M ,выкинув одну из траекторий e1 + 2e3 . Тогда поля, соответствующие e1и e2 неполны, и заметаемая ими поверхность есть T2 \{0, 1}, а совместная поверхность уровня трёх полей есть нетривиальное расслоение надокружностью со слоем T2 \{0, 1}, что не равняется T2 \{0, 1} × S 1 , см.рис.

1.A2e3e2e1Рис. 1: Поверхность уровня.Для формулировки следующей теоремы нам понадобится следущееопределение:Определение 5. Скажем, что подмножество M (x0 ) многообразия Nзаметается интегральными траекториями полей v1 , . . . , vn , если оносостоит из тех и только тех точек, в которые можно попасть поинтегральным кривым этих полей из точки x0 т.е.M (x0 ) = x ∈ N | ∃ i1 , . . . , ir , t1 , . .

. , tr : x = git11 ◦ . . . ◦ gitrr (x0 ).Теперь сформулируем основное утверждение о структуре совместной поверхности уровня для случая нескольких полных и неполныхполей.4Обозначение 3. Пусть дан набор набор коммутирующих векторныхполей на гладком многообразии N . Обозначим за V пространство,состоящее из линейных комбинаций векторных полей из набора. Выберем из этого набора максимальное подпространство V0 , состоящееиз полных полей, то есть максимальную систему, полную в смыслеполей.

Для произвольной точки x0 ∈ N обозначим за A(x0 ) обозначиммножество, заметаемое интегральными кривми полей из выбранногоподпространства V0 , а за M (x0 ) множество, заметаемое интегральными кривыми полей из V /V0 (из максимальной полностью взрывающейся системы), то есть интегральными кривыми неполных полей.Также обозначим за T пересечение M (x) и A(x), T имеет естественную структуру группы, действующей на M (x), A(x) сдвигамивдоль интегральных кривых.Теорема 2. Пусть дано связное гладкое многообразие N без края изаданы n гладких, линейно независимых в каждой его точке коммутирующих векторных полей v1 , .

. . , vn так, что v1 , . . . , vk полностьювзрывающаяся система, а vk+1 , . . . , vn – полны.Тогда многообразие N является “испорченным прямым произведением ” A(x0 ) и M (x0 ), и устроено следующим образом: для произвольной точки x0 из многообразия N :1) A(x0 ) и M (x0 ) являются гладкими многообразиями, и для любойx ∈ N A(x0 ) ≃ A(x), M (x0 ) ≃ M (x).2) A(x0 ) является гладким подмногообразием в N .3) Над каждой точкой A(x0 ) висит многообразие M (x) (оно можетне быть подмногообразием) , которое, быть может, пересекается смногообразием A(x0 ) по точкам T , причём на M (x) нет точек накопления из T , то есть T является дискретным подмножеством вM (x).4) Если точек накопления T нет, то есть T дискретное подмножество в N , то N ≃ (M (x0 )×A(x0 ))/T является локально тривиальнымрасслоением с базой A(x0 )/T и слоем M (x0 ), а также с базой M (x0 )/Tи слоем A(x0 ).Замечание 1.

В условиях предыдущей теоремы M (x0 ) имеет афинную структуру в следующем смысле: M (x0 ) имеет естественный атлас {Uα , ψα } такой, что все функции перехода являются прибавлениемпостоянного вектора и, следовательно, M (x0 ) обладает плоской метрикой. В окрестности каждой точки оно имеет структуру локальнойгруппы Ли, совпадающей с локальной группой Rk или Tk .Как частный случай из предыдущей теоремы немедленно следует:5Следствие 1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее