Численные методы. Ионкин (2009)

PDF-файл Численные методы. Ионкин (2009) Численные методы (53965): Лекции - 7 семестрЧисленные методы. Ионкин (2009): Численные методы - PDF (53965) - СтудИзба2019-09-192019-09-19zzyxelСтудИзба

Численные методы. Ионкин (2009)233

Описание файла

PDF-файл из архива "Численные методы. Ионкин (2009)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "численные методы" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé ÓíèâåðñèòåòÔàêóëüòåò Âû÷èñëèòåëüíîé Ìàòåìàòèêè è ÊèáåðíåòèêèËåêöèè ïî êóðñó ×èñëåííûå ìåòîäûËåêòîð: Í. È. Èîíêèí3 êóðñ, 3 ïîòîêÌîñêâà, 2009ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå3Êîëåñî Ñàìàðñêîãî. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Ñîäåðæàíèå êóðñà . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Ñïèñîê ëèòåðàòóðûI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû451Ââåäåíèå2Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè. Ñâÿçü ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ñ ìåòîäîì Ãàóññà. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.6Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6Ñâÿçü ìåòîäà Ãàóññà ñ ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè. . . . . . . . . . .

.83Îáðàùåíèå ìàòðèö ìåòîäîì Ãàóññà-Æîðäàíà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94Ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115Ïðèìåðû è êàíîíè÷åñêèé âèä èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ÑËÀÓ . . . . . . .136Òåîðåìû î ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .167Îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ. . . . . . . . . . . . . . . . .228Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè ïîïåðåìåííî òðåóãîëüíîãî èòåðàöèîííîãî ìåòîäà . . . .269Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .28Ñòåïåííîé ìåòîä ðåøåíèÿ ÷àñòè÷íîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé .

. . . . . .29Ìåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèé31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ìåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèé ñî ñäâèãîì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3310Ïðèâåäåíèå ìàòðèöû ê âåðõíåé ïî÷òè òðåóãîëüíîé ôîðìå (ÂÏÒÔ). . . . . . . .3311Ïîíÿòèå î QR-àëãîðèòìå. Ðåøåíèå ïîëíîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. . . .38QR-àëãîðèòì . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39Ñâîéñòâà QR-àëãîðèòìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40II Èíòåðïîëèðîâàíèå è ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è èíòåðïîëèðîâàíèÿ42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42Èíòåðïîëèðîâàíèå àëãåáðàè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .422Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Ëàãðàíæà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .433Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Íüþòîíà444Èíòåðïîëèðîâàíèå ñ êðàòíûìè óçëàìè. Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Ýðìèòà . . .45Ïîãðåøíîñòü ïîëèíîìà Ýðìèòà47. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Èñïîëüçîâàíèå ïîëèíîìà Ýðìèòà òðåòüåé ñòåïåíè äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íîé îöåíêèïîãðåøíîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû Ñèìïñîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .476Íàèëó÷øåå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè501.

. . . . . . . . . . . . . .Îãëàâëåíèå2III ×èñëåííîå ðåøåíèå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé 531Ââåäåíèå2Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .54Ìåòîä Ýéòêåíà (óñêîðåíèå ñõîäèìîñòè) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55Ìåòîä Íüþòîíà è ìåòîä ñåêóùèõ55. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ìåòîä Íüþòîíà äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé4. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .56Ìåòîä ñåêóùèõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57Ñõîäèìîñòü ìåòîäà Íüþòîíà è îöåíêà ñõîäèìîñòè58. . . . . . . . . . . . . . . . . .IV Ðàçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè15360Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè .60ßâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61×èñòî íåÿâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (ñõåìà ñ îïåðåæåíèåì) . . . . . . . . . . . . . . .64Ñèììåòðè÷íàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (ñõåìà Êðàíêà-Íèêîëüñîíà) . . . . . . . . . . . .66Çàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .67Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ñ âåñàìè. Ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè. . . . . . . . . . . . . . .70Ðàçíîñòíûå ìåòîäû äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .722Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà (çàäà÷à Äèðèõëå) . . . . . . . . . . . .733Ñõîäèìîñòü ðàçíîñòíîé çàäà÷è Äèðèõëå4Ìåòîäû ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è Äèðèõëå76. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .76Ìåòîä Çåéäåëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76Ïîïåðåìåííî-òðåóãîëüíûé èòåðàöèîííûÿ ìåòîä (ìåòîä Ñàìàðñêîãî) . . . . . . . .77Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì. Àïïðîêñèìàöèÿ. Óñòîé÷èâîñòü.

Ñõîäèìîñòü. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .V Ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ è ñèñòåì ÎÄÓ174. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðîñòàÿ èòåðàöèÿ (ìåòîä ßêîáè)5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80Ïðèìåðû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è ÊîøèÎáùèé m-ýòàïíûé ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà77. . . . . .

. . . . . . . . . . .80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .822Îöåíêà òî÷íîñòè íà ïðèìåðå 2-õ ýòàïíîãî ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòà3Ìíîãîøàãîâûå ðàçíîñòíûå ìåòîäû. . . . . . . . . . .83. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .854Ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .875Æåñòêèå ñèñòåìû ÎÄÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .906Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè è ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì. Èíòåãðèðîâàíèå æåñòêèõ ñõåì ÄÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .91ßâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92Íåÿâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92Ñèììåòðè÷íàÿ ñõåìà93. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÂâåäåíèåÊîëåñî ÑàìàðñêîãîÏðè èçó÷åíèè îáúåêòîâ îêðóæàþùåãî ìèðà ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè èñïîëüçóþò ïðíèöèï êîëåñà Ñàìàðñêîãî, èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå. Â äàííîì êóðñå ðàññìàòðèâàåòñÿ ôàçàðàçðàáîòêà àëãîðèòìà ýòîãî ïðèíöèïà.Ñîäåðæàíèå êóðñàÃëàâà I×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû.Ãëàâà IIÈíòåðïîëèðîâàíèå è ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé.Ãëàâà IIIÐåøåíèå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì.Ãëàâà IVÐàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Ãëàâà VÐåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåìîáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.3ÎãëàâëåíèåÑïèñîê ëèòåðàòóðû1.

Ñàìàðñêèé À. À., Ãóëèí À. Â. ×èñëåííûå ìåòîäû Ì. Íàóêà 19832. Ñàìàðñêèé À. À. Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì Ì. Íàóêà 19833. Áàõâàëîâ Í. Ñ., Æèäêîâ Í. Ï., Êîáåëüêîâ Ã. Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû Ì. Íàóêà 19734. Ñàìàðñêèé À. À. Ââåäåíèå â ÷èñëåííûå ìåòîäû Ì. Íàóêà 19825. Êàëèòêèí Í. Í. ×èñëåííûå ìåòîäû Ì. Íàóêà 19786.

Ñàìàðñêèé À. À., Íèêîëàåâ È. Ñ. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñåòî÷íûõ óðàâíåíèé7. È. Ñ. Áåðåçèí, Í. Ï. Æèäêîâ Ìåòîäû âû÷èñëåíèé4Ãëàâà I×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû1ÂâåäåíèåÐàññìîòðèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ) â ìàòðè÷íîì âèäåAx = f,ãäåA ìàòðèöà ðàçìåðà(1)(m × m), |A| =6 0,x = (x1 , . . . , xm )T ,f = (f1 , . . . , fm )T .Èç íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöûAñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå ñèñòåìû (1) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.Âûäåëÿþò äâå ãðóïïû ìåòîäîâ ïîèñêà ðåøåíèÿ ÑËÀÓ:1. Ïðÿìûå (òî÷íûå) ìåòîäû.

Ïðèìåðû: ìåòîä Ãàóññà (òðåáóåòìåðà (òðåáóåò∼ m3äåéñòâèé), ôîðìóëà Êðà-∼ m! äåéñòâèé), ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ. Ýòè ìåòîäû ïîçâîëÿþò çà êîíå÷-íîå ÷èñëî äåéñòâèé ïîëó÷èòü òî÷íîå ðåøåíèå.2. Èòåðàöèîííûå (ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé).x0 ïåðâîå ïðèáëèæåíèå,n→∞xn −−−→ x.Ïðè ðàáîòå ñ èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè çàäà÷à îáû÷íî ñòàâèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿäàííîãî>0íàéòèn0 ()òàêîå, ÷òî|xn − x| < ∀n ≥ n0Ìû áóäåì òàêæå ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.

Îíà ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: íàéòèâñå òàêèå ÷èñëàλè íåíóëåâûå âåêòîðûx,÷òî äëÿ äàííîé ìàòðèöûAâûïîëíÿåòñÿAx = λx.λíàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì,x- ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû5(2)A.Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè. Ñâÿçü ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ñ ìåòîäîì Ãàóññà26Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè.

Ñâÿçü ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ñ ìåòîäîì ÃàóññàAx = f, |A| =6 0(1)Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî äåéñòâèé, íåîáõîäèìîå äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1) ìåòîäîì Ãàóññà. Äåéñòâèåìáóäåì ñ÷èòàòü óìíîæåíèå èëè äåëåíèå.1. Ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà:1 × ··· ×0 1 · · · × • A ⇒  .. .. . .... ...0 0 ··· 1m3 −mäåéñòâèé3Êðåñòèêàìè îòìå÷åíû â îáùåì ñëó÷àå íåíóëåâûå ýëåìåíòû.•m(m+1)äåéñòâèé2Ïðåîáðàçîâàíèå ïðàâûõ ÷àñòåé:2. Îáðàòíûé õîä•m(m−1)äåéñòâèé23. Âñåãîm33+ m2 −mäåéñòâèé3Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëèÇàäàäèìñÿ öåëüþ ïðåäñòàâèòü ìàòðèöóAâ âèäåA = B · C,ãäåb11 0 · · ·0 b21 b22 · · ·0 B =  .... .... ....

bm1 bm2 · · · bmm íèæíåòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà,1 c12 · · · c1m0 1 · · · c2m C =  .. .. . .. . . ...0 0 ··· 1 âåðõíåòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ åäèíèöàìè íà ãëàâíîé äèàãîíàëè.Ïî ôîðìóëå äëÿ ýëåìåíòà ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö:aij =mXl=1bil clj(2)Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè. Ñâÿçü ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ñ ìåòîäîì ÃàóññàÏåðåïèøåì ïðåäûäóùåå âûðàæåíèå, âûäåëèâ ñëàãàåìîå ñaij =i−1Xbil clj + bii cij +l=1Èç âèäà ìàòðèöûB7cij :mXbil cljl=i+1ñëåäóåò, ÷òîmXbil clj = 0l=i+1Òàêèì îáðàçîì, ïðåäïîëîãàÿ, ÷òîbii 6= 0,ïîëó÷èìaij −i−1Pl=1cij =biibil clj,i<j(3)Òåïåðü èç ôîðìóëû ýëåìåíòà ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö âûäåëèì ñëàãàåìîå ñaij =j−1Xbil clj + bij cjj +l=1Èç âèäà ìàòðèöûCñëåäóåò, ÷òîmXbij :bil cljl=j+1mXbil clj = 0l=j+1Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü:bij = aij −j−1Xbil clj ,i≥j(4)l=1Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ôîðìóëû (3) è (4) ïîçâîëÿþò âû÷èñëèòü âñå ýëåìåíòû ìàòðèöBèC.Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ôàêòîðèçàöèè ìàòðèöû A.Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü âñå ãëàâíûå ìèíîðû ìàðèöû À îòëè÷íû îò 0:A1 = a11a1,1 a1,2 =6 0, A2 = =6 0, · · · , Ai 6= 0, ∀i = 1, ma2,1 a2,2 Òîãäà ðàçëîæåíèå â ôîðìå (2) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.Äîêàçàòåëüñòâî.

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.