Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (pdf)

Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.КобельковЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫДанная книга представляет собой переработанный вариант учебного пособия«Численные методы» тех же авторов, вышедшего в 1987 году. Добавленматериал, относящийся к решению систем линейных уравнений с плохообусловленными матрицами, решению задачи Коши для систем жесткихобыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимации функций, методусопряженных градиентов. Видоизменено изложение оптимального линейногоитерационного процесса и рассмотрен многосеточный итерационный метод —один из наиболее применяемых в настоящее время методов решения сеточныхкраевых задач.СодержаниеПредисловие7Введение81 Погрешность результата численного решения задачи17§ 1. Источники и классификация погрешности17§ 2. Запись чисел в ЭВМ21§ 3.

Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных22§ 4. О вычислительной погрешности25§ 5. Погрешность функции27§ 6. Обратная задача322 Интерполяция и численное дифференцирование35§ 1 Постановка задачи приближения функций36§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа39§ 3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа43§ 4. Разделенные разности и их свойства43§ 5. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями45§ 6. Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами48§ 7. Уравнения в конечных разностях51§ 8. Многочлены Чебышева58§ 9.

Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы 62§ 10. Конечные разности65§ 11. Интерполяционные формулы для таблиц с постоянным шагом68§ 12. Составление таблиц71§ 13. О погрешности округления при интерполяции74§ 14. Применения аппарата интерполирования. Обратная интерполяция75§ 15. Численное дифференцирование76§ 16. О вычислительной погрешности формул численного83дифференцирования§ 17.

Рациональная интерполяция843 Численное интегрирование86§1. Простейшие квадратурные формулы. Метод неопределенных86коэффициентов§ 2. Оценки погрешности квадратуры89§ 3. Квадратурные формулы Ньютона— Котеса§ 4. Ортогональные многочлены§ 5.

Квадратурные формулы Гаусса§ 6. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурныхформул§ 7. Интегрирование быстро осциллирующих функций§ 8. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка наравные части§9. О постановках задач оптимизации§ 10. Постановка задачи оптимизации квадратур§11. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы§ 12. Примеры оптимизации распределения узлов§ 13.

Главный член погрешности§14. Правило Рунге практической оценки погрешности§ 15. Уточнение результата интерполяцией более высокого порядкаточности§ 16. Вычисление интегралов в нерегулярном случае§ 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическимвыбором шага4 Приближение функций и смежные вопросы§ 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве§ 2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы,возникающие при его практическом построении§ 3. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразованиеФурье§ 4. Быстрое преобразование Фурье§ 5.

Наилучшее равномерное приближение§ 6. Примеры наилучшего равномерного приближения§ 7. О форме записи многочлена§ 8. Интерполяция и приближение сплайнами5 Многомерные задачи§ 1. Метод неопределенных коэффициентов§ 2. Метод наименьших квадратов и регуляризация.§ 3. Примеры регуляризации§ 4. Сведение многомерных задач к одномерным§ 5. Интерполяция функций в треугольнике§ 6. Оценка погрешности численного интегрирования на равномернойсетке§ 7. Оценка снизу погрешности численного интегрирования§ 8. Метод Монте-Карло§ 9. Обсуждение правомерности использования недетерминированныхметодов решения задач§ 10.

Ускорение сходимости метода Монте-Карло§ 11. О выборе метода решения задачи94991061131161191241291301371401441481501571641641661711751781811871912012022032062122202222252322362392436 Численные методы алгебры§ 1. Методы последовательного исключения неизвестных§ 2. Метод отражений§ 3. Метод простой итерации§ 4. Особенности реализации метода простой итерации на ЭВМ§ 5.

δ2 -процесс практической оценки погрешности и ускорениясходимости§6. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов§ 7. Метод Зейделя§ 8. Метод наискорейшего градиентного спуска§ 9. Метод сопряженных градиентов§ 10. Итерационные методы с использованием спектральноэквивалентных операторов§11. Погрешность приближенного решения системы уравнений иобусловленность матриц. Регуляризация§ 12. Проблема собственных значений§ 13. Решение полной проблемы собственных значений при помощи QRалгоритма7 Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации§ 1. Метод простой итерации и смежные вопросы§ 2.

Метод Ньютона решения нелинейных уравнений§ 3. Методы спуска§ 4. Другие методы сведения многомерных задач к задачам меньшейразмерности§ 5. Решение стационарных задач путем установления§ 6. Как оптимизировать ?8 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенныхдифференциальных уравнений§ 1. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора§ 2.

Методы Рунге— Кутта§ 3. Методы с контролем погрешности на шаге§ 4. Оценки погрешности одношаговых методов§ 5. Конечно-разностные методы§ б. Метод неопределенных коэффициентов§ 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на модельныхзадачах§ 8. Оценка погрешности конечно-разностных методов§ 9. Особенности интегрирования систем уравнений§ 10. Методы численного интегрирования уравнений второго порядка§11.

Оптимизация распределения узлов интегрирования9 Численные методы решения краевых задач для обыкновенныхдифференциальных уравнений§ 1. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнений второгопорядка250253262265268271275285290294300304315320324326330336341345352360361363369371376379383388396409412417417§ 2. Функция Грина сеточной краевой задачи423§ 3. Решение простейшей краевой сеточной задачи428§ 4. Замыкания вычислительных алгоритмов436§ 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого444порядка§ 6.

Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого449порядка§ 7. Нелинейные краевые задачи455§ 8. Аппроксимации специального типа461§ 9. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений473§ 10. Построение численных методов с помощью вариационных476принципов§ 11. Улучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном485случае§ 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости отформы записи конечно-разностного уравнения48810 Методы решения уравнений в частных производных495§ 1. Основные понятия теории метода сеток.497§ 2.

Аппроксимация простейших гиперболических задач505§ 3. Принцип замороженных коэффициентов521§ 4. Численное решение нелинейных задач с разрывными решениями524§ 5. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения528§ 6. Разностная аппроксимация эллиптических уравнений543§ 7. Решение параболических уравнений с несколькими566пространственными переменными§ 8.

Методы решения сеточных эллиптических уравнений58011 Численные методы решения интегральных уравнений599§1. Решение интегральных уравнений методом замены интеграла599квадратурной суммой§ 2. Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра на604вырожденное§ 3. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода608Заключение617Список литературы622Предметный указатель627Предметный указательВесовая функция, 89Алгоритм ненасыщаемый, 65Восполнение, 559Аппроксимация, 379Выделение весовой функции, 151дифференциального уравненияГарантированные оценкиразностной схемой, 379погрешности на классеБольшое число, 23функций, 232Валле-Пуссена теорема, 179Вариация, 522Главный член погрешности, 140Верная цифра, 23Дивергентность разностной схемы,527Дискретные коэффициенты Фурье,173Дифференцирование численное, 76Замыкание алгоритма, 437нерегулярное, 437регулярное, 437Значащие цифры, 23Интегрированиеосциллирующих функций, 116системы уравнений, 396Интерполирование, 36с кратными узлами, 49Интерполяционная формулаЛагранжа, 41Ньютона, 46для интерполирования назад, 69для интерполирования вперед, 69Интерполяция, 36квадратичная, 72линейная, 71тригонометрическая, 173Итерационные методы построениямногочленанаилучшегоравномерного приближения сиспользованиемспектральноэквивалентных операторов, 300КвадратурыГаусса, 106Грегори, 143Лобатто, 111Ньютона—Котеса, 94Ромберга, 149Симпсона, 88Филона, 117Эйлера, 142обобщенные, 122прямоугольников, 86составные, 122трапеций, 87Количество арифметическихопераций, 41Конечно-разностное уравнение, 51Конечно-разностныеметоды, 376схемы, 376Ленточная структура, 257Линейная оценка погрешности, 28Линейное разностное уравнение, 52Мажорирующее разностноеуравнение, 488МатрицаГрама, 167ортогонализации, 100отражений, 262Мераобусловленностиматрицы, 305системы, 305погрешности аппроксимации, 504МетодАдамса, 378Гаусса, 253Зейделя, 290Монте-Карло, 232Ньютона решения нелинейныхуравнений, 330Ритца, 477Рунге—Кутта, 363Эйлера, 363вариационно-разностный, 479верхней релаксации, 290вилки, 336квадратного корня, 259конечных элементов, 558наименьших квадратов, 203наискорейшего спуска, 290неопределенных коэффициентов, 39,202оврагов, 342оптимальный, 63парабол, 336покоординатного спуска, 288пристрелки, 429прогонки, 430проекционно-разностный, 561простой итерации, 265, 326регуляризации, 205релаксации, 289сверхрелаксации, 290секущих, 335сопряженных градиентов, 294спуска, 336стрельбы, 449суммарной аппроксимации, 579циклической прогонки, 434штрафа, 340Методыинтерполяционные, 376экстраполяционные, 376Многочлен наилучшегоравномерного приближения, 178МногочленыЛагерра, 104Лежандра, 104Чебышева, 58второго рода, 104первого рода, 104Эрмита, 104Якоби, 103наименее уклоняющиеся от нуля, 60Наилучшее равномерноеприближение, 178Недетерминированный метод, 242Некорректные задачи, 608НеравенствоБесселя, 169Чебышева, 233ε-неравенство, 537Неустойчивость, 35Неявная схема, метод, 376, 530Норма энергетическая, 555Нормывекторов и матриц, 250эквивалентные, 266Областьзависимости, 498сходимости метода, 358Обобщенное решение, 562Обратная интерполяция, 76Обратный ход методаГаусса, 254прогонки, 431Обусловленностьматрицы системы, 305системы, 305Однородные схемы, 469Односторонние формулы численногодифференцирования, 80Одношаговые методы численногоинтегрирования, 371Оператор расщепляющийся, 573Оптимальные квадратуры, 129Оптимальныйлинейный итерационный процесс,279, 283по порядку итерационный процесс,42, 63Оптимизацияметодов, 63оценки погрешностиинтерполирования, 63распределения узлов интегрирования.131скорости сходимости итерационногопроцесса, 275Ортогональная система, 99Ортогональные многочлены, 101Ортонормированная системаэлементов, 101Остаточный член формулы Лагранжа,43Очень большое число.

23Параметр регуляризации, 611Переобуславливатель, 301Планирование эксперимента, 37Плохо обусловленные системы, 307Повышениепорядкаточностиразностной схемы, 419Погрешностьабсолютная, 22аппроксимации дифференциальногоуравнения разностной схемой,504, 534вычислительная, 17квадратуры на классе функций, 129математической модели, 17метода, 17на классе задач, 63на шаге, 371неустранимая, 17относительная, 22предельная, 27Порядокметода, 329погрешности аппроксимации, 380Почти собственные значения, 270Преобразование Фурьебыстрое, 175дискретное, 173Принципзамороженныхкоэффициентов, 521Проблема собственных значенийполная, 315частичная, 315δ2-процесс ускорения сходимости,273Прямоепроизведениеформулинтегрирования,интерполирования,дифференцирования, 219Прямой ход метода Гаусса, 254прогонки, 431Разностивперед, 65высшего порядка, 65конечные.