С.В. Яблонский - Эквивалентые преобразования управляющих систем, страница 2

Ф. П случае,еслз Й = Й», та подствнонха Й вместо Я» наеыэаетсп екввзплеатвой подстановкой. Оченвдно длн формул справедлкв првнцнп нвввзаненткой аеыевм» еслз обоенечнть черен Й формулу, получапыумсн зн Й путем екнзннзентвой подстанонвм с Йш зыесто К», то очевидно Й = Й влн манче, есзя Й =Й», то Й =Й 5. тоадестъо Й<(х<>х»".>х )"Йе(х<>хе».-х~) а случае формул трвктуетса весьма вареное счвтаетса, что ово авдеев й,!„С;,...,.С.) = ОЦ.С„...,.С,) где (.<>, С - проааъольпне фоуыуан в денном бааасе. б.

Затем ойределветса повптае вкъпъелеятаого преобравоъавяв одной формулы в другуп прз помоца ведаввой свстемм тоадеств (С(<я О(,) как последовательность у<о О(га О< (г) формул, в которой пандан последупцяз формуле получащся вя предндуаей путем якввъелеятной подстановка с вспольяовенаеы токдестя сметены (Я< — — О(>) 7. Наконец, форнулнруется попятве полной свстены топдесть. Свстене тоздестз (О(< -- О(>) вавнъеетов полной, ясла два япбня двух вквнвелевтвых формул (<( а (П.

суаестъует вкваъепептыое преобряяовепве прв вотан тоядеств сзстемн (й<ый>~, преъодпяее формулу ()( в формулу Я . Очеяядяо, что дла деаяого объеатя травзяльвея полная састеме тоядес ъ имеет счетпув моавость. Воэваквет вопрос о том, мозно лв постропть сувестъевно более простую волнуя спетому тоздесть.

Окаянъаетсн, что внеет место следупцай факт: Теоденне. Ллз сметены форыуз яагебры логнкм ъ беввсе - , 1 в (» супестъует аонечвяв полнея свстеые тоадесть. йокяяетельстъо. Эостроевве састенн тоадесть ° дозввателъство ее полноты делаетсп одяовреневво. Дпа етого ъ пяядон классе акъазалевтзых формул выбзравт некоторое поднаозество формул, кнепазх простое строеазе (формулы нявонзческого и>дя). Лелея подбаряпт овечему токдеств, которая поеъоляет 1) "праводять" промэъолънув формулу а кяновачесзому паду а 2) дъе любые экъввелептяне формулы, нвещзе кавояаческнй вад - переводать друг в друге.

Этот подход,няз мы увядая янае,ояяэньеетса весще плодотяорвмы я фяктвческз яффектввво работает я в случае другая классов У.С. Пусть ~ - фувпцня, соотзетатвущея фореуле О(, . Определан капоаачесзай ъад формулы О(. следуыаам обреэоя а) еслв (ы О < то ыянонмчвскмя ъздон формулы (я зканетсв формуле ваде Х у Х ((м~,2,...) б) оспа(РО в елфеват Х,»...х„содернпт все суаествеявые переменные фунщан ~, то аязовзчесяны задом формулм О(, яъ- лпетса соперыепняз д.в.ф. Ч х.'ьх,"п...ух'. (б„..., б,) ((сг„,:.,б.) =1 (Рваунеетсн с какой-то рвсотавощой саобок). Эвмети, что завоввчесвзй вад форнувы й - неоднозначен з вв- ваоат от фазсацва аесуцествепвык перененпык, порядка следом- взя слагаемых а порядков саедовянзй мповытелей з слагаеннх. а тезке от расстановка скобок.

1. Првведепае форнулм Й. к пвзовачесзону ввлу. Этот агап распядветса вв рвд нагов е) Спуск отрвпяязй вглубь формулм. Лостагаегса о аспольвозяпаен следущах тоадеств хмх,ы х,ЬХ, (1) Х< ЬХ< = Х<'<>Х< (1') (2) Х<я Х, Я) (5) В результате формуле преобреяуетсз к паду, где отрацепнп могут быть только яад снмъолямв перемеввых, а щерецва ~ ' в ~; че- Редуптса хеотачесаз б) Праведеаве к паду ~ д, Прн поповн тоздеств (Х<~УХ,)ЬХь=~Х<ЬХ,)Ч(Х,ЬХ) ~а)(„) ,Х<АХ = Х<ЬХ< !Я>)(5) форнуае далее прзводятсп к вязу, в котором свачела пмполяаптся оперецав о< , а пятен в) 1)>уппвровкя нвоаателей, вяяаскя<ах от одного а того ае пере- менного.

дсполъяуя ессоцаетвъяыд аяпон (тоздестъо (6)) для унзопеввя, (х,ьх,)ьхь- х<ь(х,ьх>) М) (й е теззе нонмутетяъяыз яеаоп (5) в проаяведевзв, мокко добвть- св, чтобы хяя явозвтезв вадя Л,.'я Х<, была рядов, внутри й, скобок< т е осу<я>стънтъ преобраяоъапке ...Ьх,'ь...ьх ... Ф .....(х„'ьх,*)..... г) уввчтозевае повторевзй одаваковнх мпоаателей. Осуаестяпвет- ся пра поповн тондестъе .<.,з,х = х< (8,) (7) 9 д) Преобравовавае членов, содервацал Х<)<Х Тоядества (х,у,х)йх,= х,й,х, (чн) (В) (х< Р х<)Чх, = х, (® (ВЭ х,~х,=.х,Чх, (10) юовлоляют нреобравовать выраневае к выду Х<)<Х< влв унвчтоаать акоядеаве ",с,б,ОС< Тенерь аслодяав формула нреобрааовава а валу )/Д<, а в каялом слагаеноы кандое неремеввое встречается ве более одного рава, н монет окааатьса, что в отдельвыт слагаемая встречаютсв ве все снмваам неремеввыл ав алфавате <Х< Х< ...,СС„ <> <>" < (отсутствие однородности) е) Введение одвородноств.

Волн ковъюякцня ве содервнт переыенвого Х< , то пра помона товдества Х,=(Х,ЧХ,)),х, (11) н после>СюкЕГО Раскрытая снобов данкен коньюяяцня ааыеалтся ва две, во уяе содераацве неремеввсе Х< . Полученное нз етом етеое внралевве монет содераать повтораюнвесв слагаемые. Лла вк устревеввя ясвсвьэуютса а) ()>упваролка одввевовыл слагаемая. Ванов ассоцватаввоств Х,Ч(Х,ЧОС,)еРМСС*И~Ь (1В) а ванов коымутатвввоста (тоадество(10)) возволяют осунествыть преобраеовавве Чт,'Ч....Ях,Ч...

~ .... (хФх,)...... з) Праведевае аодобныл. Осувествлнется пра номоця товдества хднф<= х (1З) После всея атал нреобрааоваввй мы преобраауем, очевндао, колодную формулу в вааояяческому виМу П. Перевод от одного навовкческого вада в любону ену еквавалевтвому каноническому ваду вад тен ае елфаввтоы Х,,х,»,.Х„ а) если ~ы() , то добавляем тоадество Х<1<У< = Х>йОС> (1$) (равеыство нулей). Ово ноеволнет перелодать от одного кавонвческого вяла в другому, еау аззавалеатному 10 б) если ~ ф() , то аавоваческам видом авлнетса совераеынея д.а.ф., определнемея с точностью до порядка слегаемыл, порядка мновятелей внутра слагаеымл к расстановни скобок.

Ассоцватанные а коымутатаввые ааяоны воаволяют'осуаестввть перевод от одной соверяеввой д.н.ф. к другой. Ц й. Вавсрвеаае доказатнаьства. Пусть ()) а (.)(, - яровэводьные эавнвалентвые фоРвглм. Воаьмеы в качестве ~ХоХ<г.чХ 3 - алфавит, содераамдй все переменные аз О(. и Ж". Обоаначам че< реа )" а,)- каноавческве формулы, к воторым онн прнводнтся ф, .,г> н (П.

>- С другой стороны аа (П'=О("следует, что )-'=,г-он в силу П суаествует эквивалентное яреобреаованне ,Г ,)- . Тогда ()(.'=у у - <>(» н дает анвавалеатвое преобрааовевие Й в (>(, ярк памоан построенной скстеыы тоадеств(<)-(«<) . Теорема доказана. Построевван снстеме токдеств иабыточна и соврааается до састемы аз тотдеств (г)-(ч) ( в другой аумераваа -(1)-Я<)). Иавестяо ( Ч <, что наклей замкнутый класс )> из Р навет конечный сеанс а фувкцни иа Я~ мозно задавать ЧоРмулвмн в етом конечном базисе.

Воевнкает вопрос о мсакостн нонной системы товдеств дла увааааяыл классов формул. Ответ ва это дает . теореме Линдона (праводвтся беа докааательства). Теорема. (Лындон ( 5 )). Для калдого занвнутого класса ~ из Г' састема форнул в его снецаальврм банное имеет нонечвую полную оастему толдеств. 3. Зквавалевтвне п об еревана м л в Сначала рассмотрим мноаестно формул Рй в базисе ~> нв О,( г..,($-ч),>с(х),><(х)г..,">ь,Мх~у= оьн(х,ч),ха<<= ' (х,ч) Основные понятна, свааакные с эввавалевтнымн преобразовенанмн, Даа Рь ВЫГЛЯДат ПОЧТИ тал ЯЕ, Как и ЛЛЯ С> Теооеме, для мновестве всея формул, в базисе ~ , существует коаечвая полная састеыа тондеств.

Покааательство. Основано на той ве идее, что н для случая формул в Р . В нечестна нановнческого вида для формулы ()((Х, Х„) берем аналог соверюенной д.н.ф. , ~Н,[Х<)Д:.)б,(Х<)А...А Зб„(Х.)А~(0;г.ча.) 1. Преоорааованне фораули Я, к каноннческому нкду а) спуск функ>ю<й ч>н вглубь формулы. пу~~~ Д ($)) - подфб,в»уип форыупы О(. » где Й-векоторек подфорыуаи. Воэыоавп сведущие сэучаа ь=с (повставав) Ь= Д (Е ) , где,С векотораа псы(юрмуиа(г=б~ )(.») 3= у (Е„.Г,) Ь = м»п»е(.Г„,с,»), где.(с ~,- ыекоторме подформувы.

Дпя осупестваевая спуска пеобходяыы спедущпе тоадества д (б) ) О ярв аФС (1) при»У=О т Э.(х)( В,„()т,„()Иф ~сО (~ ( )) () приОсбс((-Э (2) ;) (х) при 0 сК-( Зб(»»»»»»(Ф д»)) с )е(х ) (чс(х»))(..ы)Ф.»(х))ч»~с(х»)()о(х)»(... У 4~.»(У»)~ ~ ( (,,И.( )й,)У-У4('))УЫа.( )У ЯЬ)) '"' Зэметаы, что в процессе спуска функций Д . вглубь, структура псходвой формулы покет эвачительво услопвптьса.

В дпухэвачвоы спучае пра спусве отрпцавай сумыарвое чпспо операций 2» п ~/ сохравветса. б) Првведевве к заду )( Л» Здесь вспоаьэувтся тоадества, вмрааепаие иаков двстрвбутиипости, коыиутатаввоста (х,Чх,) В У,= р, й:с,)Ч(х, й(г,) (5) л»ьх» = х»фх» (6) в) Группмроввз мвоаптеаей, эавпсяаих от одпого и того ае переыевпого, а павке попотеет. В катком проаэведеыап ппбые члены мокао сгруппировать вместе, пспоаьэуп закон пссоциэтивыоств ддя уыпоаеава (х,ьх )Ах»= х» Аф,йх») (7) в ээаоп воыыутетвввоста (6) г) Упичтоаепае вхоадевай перемеавых в проиэпедеяыах.

Осувестипяется ярк 'попоив тоэ»доспи .ь» Ь Х» =.с» (8) ~ =) ВЗ»(х>Ч2йд,(Х)Ч-.. Ж-")Аде- (~) (Р) 12 После итого аспопьэувт тоадествэ пуавта б). д) Уаичтокепае повторевий в провэведепю»х комставт и саввопов 3 и даа одного и того ве переыепвого Ж . Здесь испольэуптса тоадества (10) (11) С, 8,2, = »»»»» (2 2 ) О прп бэ'Г ~с(х)вас(х) ~ ч (х) прк»т='Г (Ло) (15) 15 е) Доствпевве одаородпости провэпедепий. Производится путем примепепиа топдеств ~,=(ф-~)ьх, (12) (4-»)еЭ,(Х,)Ч .. ЧЗЛ.,(Ф ) (15) э такие госледуввего раскрытия спобок а) Группировка слагаемых, Дпя этого берем тоадестьэ (х,чх,)(»х,= х,у(л,"х») = х,,»л э) уакчтопепие повторений слэгэемых.

Х»'»' ».» = ».» (16) Легко вадеть, что эти топдестэа поэвопяпт лпбуы фориуау привести к кэнопачеспоыу виду, и два экэаведеатю»х кэпопичес- квх эмда могут быть этими ве тоадествемп преобреаовевы друг э друга. Тыквы образом и в Р, и в Рй в повкретвых бааисэх суие- ствует аовечвые полыме састемы тоадестп. Здесь естествевпо эоэаакэет вопрос: что мовво скипеть об эквивэлептпых преобрэ- эоэаппях формуп, если взять другпе баэпсыт Венример, для Р»- баево ( 0 Б,хсх„х,»х,)или дпа ~ч -(х,.»(п о»( ч),»»»»о(х„х )) Е этому попросу примыкает эепссредстэеппо н другой вопрос: мокко ли построить полную систему токпеств для дивного баэпсэ, есэи ааэестае псааэя системе тоадеств для вевоторого беэисе того ке замкпутого классе фупкций. Ответи пэ эта вопросы дает теореме, которая спреиеддала даа прспэпольпых фуакцяопапьпых систем с оперецкей суперпоэицвв и мыеыавх повечамй баэис и тем самым покет быть првыеяеае к классам иэ Рэ в классам с ковечввм баэисом иэ Рй .

Пусть )-' класс фупкций поровдепяый мыовествоы г- фуввций . Будем рэссмэтриэать формулы в этом базисе 1 в обоэпачать их так: О(=б([(п-.11фнн кратко Ймй[Еь Расснотупн дРУгой банно~=[фг-ф)этого пзассакг . ФоРмрзы в этом банное будем обозначать череа )э=ЦФо — ф~=ЦЦ ° Пусть ср н 9 - мпозестэо Форпуд в базисах Е в 9 соответствеяяо. Теореаа.