П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 7

352: „Кажется бессмысленным, что могут быть две различные сливины электричества'. Р. Фессенден. (Рпуз. кет. 10, 8, 1900):,Различие между формулой размерности н качественной формулой или качеством некоторой веши состоит согласно определениям выше цнтярованных авторов в том, что размерности, произвольны',,являются только результатом определенна и полностью зависят от прняятой системы единиц . Между тем начество есть выражение абсолютной природы, ово никогда не меняется прн любой системе едвниш для того, чтобы это было так, иы ие должны пренебрегать нн одним качеством', ГЛАВА ТРЕТЬЯ.

О ПРИМЕНЕНИИ ФОРМУЛ РАЗМЕРНОСТИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ЕДИНИЦ. Мы видели в последней главе, как получаются формулы раз- мерности неко~прод величины при помощи величин, избранных по определению первичнымн. Наш метод анализа показал также связь между числовым значением производной величины и величин первичных. Если например длина входит в формулу размерности в первой степени, то мы знаем, что число, измеряющее эту вели- чину, удваивается, если единица длиныумсньшается твое; иначе говоря, числовые меры находятся в обратном отношении к раз- меру единицы, возведенной в степень, указанную в формуле размерности. Рассмотрим конкретный пример, Каково будет' численноезна.

чение скорости 88 футов в секунду, если ее выразить через мили в час. Формула размерности скорости — ЬТ вЂ '. Если еди- ница длины увеличивается в отношении мили к футу, т. е. 1 5280:1, то скорость надо умножить на —, так как длина входит в формулу размерности в первой степени. Точно также, если единица времени увеличена в отношении часа к секунде, т. е. как 8600:1, то скорость должна быть умножена на 8600, ибо время входит в формулу размерности в степени — 1.

Для перехода от футов в секунду к милям в час мы должны следо- 3600 вательно умножить числовую величину скорости на —,, в на- 88 Х 3600 шем случае скорость выразится как — = 60 миль в час. 5280 Результат зтих лействий может быть значительно концентри- рован и упрощен по виду следующей записью: футы 1 фут 1/5280 мили 3600 мили = 60 —, юг~и часы ' вркю О ПРммВВВнин ФОРмул РлВИВРностн 84 лнллиэ РлзмВРВООТВй Несколько вдумываясь в связь формулы размерности с действиямн, посредством которых получаются числа, измеряющие любую физическую величину, мы сразу видим, что указанный прием является общим. Можно получить любое новое значение в новых единицах нз прежних значений, применяя формулу размерности точно тем же способом.

Этот метод применения формул размерности часто весьма удобен и является простейшим и наиболее належным способом изменения единиц из тех, которые мне известны. Оперируя таким образом с формулами раамерности, мы приписываем им некоторую вещественность, подставляя вместо сим. вола первичной единицы конкретную применяемую единицу н заменяя ее другой, ей физически эквивалентной. Иначе говоря, мы обращаемся с формулой размерности так, как будтд бы она изображает операции, действительно произведенные над физическими предметами, как будто бы мы взяли определенное число футов н поделили его на определенное число секунд.

Разумеется на самом деле все это не делается, Не имеет смысла говорить о делении длины на время; в действительности мы оперируем с числами, являющимися мерою этих величин. Этот условный способ выражения поззолителен, однако, в том случае, если он дает ! значительные преимущества; не следует впрочем думать, что при этом мы оперируем с физическими предметами не символически, а как-нибудь иначе1). Это свойство формул раамерностей указывать изменение числового значения в каждом конкретном случае, когда изменяется размер первичных единиц, позволяет формулировать следующую точку зрения на природу формулы размерности, высказанную наиболее пространно Джемсом Томсоном в Трудах Британской ассоциации за 1878 г.

стр. 451. Его взгляд согласуется с формулированным выше в следующем;не имеет смысла говорить буквально, что, например, скорость равна длине, деленной на время. Мы не можем производить алгебраические операции над фиаическими длинами, точно также как мы никогда не можем разделить что-нибудь на физическое время. Джемс длина Т о м с о н предпочитает заменить выражение: скорость =— время более пространнымутверждением: изменение отношения Влив изменение отношения скоростей— нзмеиенве отношения времен 1 О.

1..% е Ьг1ег, Яс1епсе 46 187,1917: О. 1.о 48 е, 1Ча1вге 38,281, 1888. Разумеется Томсон не стал бы настаивать на применении этого длинного и неуклюжего выражения на практике, но договорившись олин раз навсегда, разрешил бы нам писать формулы размерности привычным способом. Такая точка зрения кажется вполне возможной, а в отноше. нии результатов ее нельзя отличить от взглядов, изложенных мною, Однако, мне кажется, что рассматривать символы формул размерньстн, как напоминание о правилах операций, физически примененных при цолученни числовой меры величины — это значнт удерживать несколько более тесную связь с дейсгвнтельной физикой положения.

Считать символы формул раэмерноститолько представителями множителей, применяемых при изменении одних единиц на другие, естьв большей или меньшей степени софизм У непосредственно не интересующий нас при первом ознакомлении с явлением. Помимо класса изменения единиц, рассмотренного выше, где изменяются только размеры первичных единиц, нужно рассмотреть н другой класс изменения, в котором первичные единицы меняются не только по размеру, но и по характеру'). Например, в нашей обычной системе единиц ныотоновой механики мы считаем первичными единицами массу, длину и время, между тем хорошо известно, что мы с равным правом можем считать первичными силу, длину и время.

Таким образом можно встретиться, например, с задачей такого рода: как выразить кинетическую энергию в 10 г смг сеи.-г в системе, в которой единицами являются: дина, см н сеи7 Здесь очевидно переплетаются две задачи. Одна состоит в том, чтобы найти формулу размерности кинетической энергии огносительно силы, длины и времени, другая заключается в нахождении нового значения числового коэффициента для той частной системы, в которой единица силы есть лина, единица лляны — сантиметр и единица времени — секунда. П реобразованная формула размерности получается легко, если рассмотреть последовательные стадии перехода отодной системы к лругой. Переход разумеется должен производиться таким образом, чтобы две системы были совместны одна с другой. Так, если сила равна массе, умноженной на ускорение в одн й но сне, она лолжна равняться тому же произведению и в другой системе, Если бы это было не так, мы имели бы дело только сформальным изменением, ивелнчнна, называемая силой в олной Э А.

Вяси'по!г. 'ппа1еп лег Рнугйн 51, 678, 191'. анализ Рлзмавноствй . системе, не соответствовала бы тому же самому физическому комплексу в другой системе. Эта связь силы и массы в двух системах выполняется применением простой алгебры. В первой системе мы определяем силу как массу, умноженную на ускорение, во второй — масса определяется как сила, деленная на ускорение. Таким образом втормчная величина в каждой системе выражается через первичные величины системы и обе системы совместны.

Правильное соотношение между формулами размерности двух систем можно просто установить следующим образом: составляется формула размерности в первой системе н разрешается относительно величины, которая во второй системе считается вторичной. В нашем частном случае в первой системе: сила =М(.Т-ь, во второй системе: масса =р). ' Ть.

Преобравование числового значения происходит точно так же как и в рассмотренном примере, если считать символы размерности названия истинных величин и величину, подлежащую исключению, заменить ее аначением в новых единицах. Полное решение имеет следовательно такой вид: 10 (1 еек )' Нам нужно прежде всего знать размерность 1 г в единицах дина, ем и сек Имеем: 1 дика = 1г!ем (! сек)ь т. е.

1 дина (! еек.)ь 1 г= Откуда: 0 1 е (1 см) 1< 1 дика (1 сек,)ь., (1 см)' 10 = 10 дик. см. (1 сек.,е 1 см ' ' (1 еек.)ь Результат — в правильности которого мы убеждаемся непосредственно. Рассмотрим теперь общий случай, когда нам нужно от системы с основными единицами Х„ Х„ Х, перейти к системе с основными единицами у„ у„ у,. Прежде всего нужно найти формулы размерности уп у„ у а единицах Х„Хм Х.

О пРнмананин ФОРмул РазмвРиости зу Пусть размерность У, будет ам а., а,; Уь — дп д„дь! Уев сп см сь относительно Хм Х„ Х,. В каждом определенном случае можно написать: С! У; =Х1" Хь"' Хь ', С Уз=Х,'Х "Х,', Сь !'ь=Х," Хз Хь'~ тле С вЂ” числовые множители. Эти уравнения необходимо раз- решать относительно Х: Логарифмнруем: а, !3 Х,+аз !3 Х,+а, !К Х =!3 С, У„ Ь !и Х1+Ьа !и Х ~ д !и Х =!д С У, е| !й Х1+ сз !й Ля+аз !й Ль= !з Сь 1ь Это — легко разрешимые, линейные уравнения относительно логарифмов.

Лля Х, получаем: ьэ ью! О О! )а. а, 'О О;. А '~а ,,ь, ьч Х =(С, У,) (С,У) (С У) В атом решении Ь обозначает детерминант. :аз аь аь Ь='51 дь Ьа с1 с, сь, Значенна Хя и Х, получаются круговой подстановкой. Рассмотрим пример. Какое значение примет количество лвимнлю ження в 15 тонн (масса), умноженных на в системе, основчас ными единицами которой являются 2 НР (лошадиных силы), 3 фута в сек. и 5 зрг. Это †достаточ сложный случай. Обозначим: У!=2 НР; уз=3 ! у|=2Н Р =2 3 3000 се к 1 мин, У =5 эрг.