П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 3

е. квадрат периода обращения пропорционален кубу расстояния между массамн и обратно пропорционален постоянной тяготения, если все прочее остается неизменным. Соображения другого рола позволяют для частных случаев определить внд неизвестной функции о, Пусть одно из тел облалает очень большой массой, второе же является легким спутником; в этом случае с достаточным приближением можно считать, что центром вращения является центр массивного тела. Ясно, что при этих условиях время обращения не зависит от массы спутника.

Если масса спутника удвоитса, то удвоится и сила притяжения, следовательно ускорение, определяемое отношением силы к массе, останется неизменным, т. е. время обращения останется тем же самым. При зтих специальных условиях неизвестная функция ? обращается в постоянную величину, и мы найдем в, г'в 1 = сопят — „—, ° 0 вав ~в Это соотношение, как известно, согласуется с астрономиче- скими фактами. Таким образом наш критик оказался, повидимому, правым, настаивая на включении постоянной тяготения в таблицу.

У нас остается однако, неприятное ощущение, поскольку мы не пони- маем ясно ошибочности первоначального нашего рассуждения. Нас начинает тревожить предчувствие, что в будущем обнару- жится еще какая-нибудь размернаа постоянная, которой теперь мы еще не знаем и в отношении которой не будет столь оче* видной невозможность пренебрежения, как это было в случае постоянной тяготения. Мы опасаемся, что цри таком положении дела, получится неверный ответ, и не внаем, не рухнет ли вообще все строение, Помимо недоумения с равмернымн постоянными, последняя Тьвл иц* 4. Формула раемерносвни НТ ' Е 1.т-' 9 Название величины Символ Скорость переноса тепла . .. Линейные размеры тепла ...

Скорость потока .. Разность температур, . Теплоемкость жидкости иа единицу объема . Теплипроволность жидкости Н -Зэ — в Н1. ~Т ~0 Это — первая задача из области теплоты, с которой мы встречаемся, и мы ввели две новых основных единицы, единицу количества тепла (Н) и единицу температуры (6). Заметим, что масса не входит в формулы размерностей ни одной из переменных втой задачи. Если бы мы захотели, ее можно было бы ввести, откааавшись одновременно от Н. Так же, как и в последнем примере предполагаем, что интересующая нас скорость переноса тепла выражается как сумма проивведений аргументов в некоторых степенях. Общий вид члена такой суммы имеет вид: сопз1 а'бэ ттс' йв задача естественно вывывает и другой вопрос На каком основании можно предполагать, что неизвестная функция должна быть представлена как сумма произведений независимых переменных в некоторых степенях? Разумеется в математике существуют функции, которые нельзя выразить зтим способом.

Неужели природа ограничила вид действительно существующих функций только той небольшой частью, которая легко усваивается человеком? Рассмотрим четвертую задачу, разобранную Р зле ем в том же номере Ыа1иге. Это — знаменитая задача о переносе тепла, которой до Рэлея занимался Буссинек. Твердое тело определенной геометрической формы, но переменных абсолютных размеров, находится в неподвижном состоянии в потоке жидкости и поддерживается при постоянной температуре, превышающей температуру жидкости на некотором расстоянии от тела, Требуется найти скорость переноса тепла от тела к жидкости. Как н прежде, составляем таблицу 4 различных входящих в задачу ве.

личин н их размерностей. 17 АнАлиэ Рлзмзрностий ввздзний Налагая условие равенства размерности этого произведения размерности «, как н в прежней задаче, получаем четыре урав. пения, соответственно четырем основным единицам: 3 + е =. 1 (условие для показателя при Н) Р— 3 — е = О (условие для показателя при 8) а + т — 33 — з = О (условие д |я показателя при 1.) — Т вЂ” а = 1 (условие для показателя при Т) Для пяти неизвестных мы имеем только четыре уравнения; таким образом одно из неизвестных останется произвольным. Пусть это будет 1. Разрешая уравнения относительно т, имеем: и = 1 + Т;,'З = 1; 3 = П е = 1 — т, откуда вышенаписанный общий член суммы принимает зид: сопзга 8 «( — ) . Полное решение есть сумма членов такого типа. Как и раньше значения константы и т ничем не ограничены,.поэтому все члены суммы могут быть слиты в единую произвольную функцию, н результат можно записать в таком виде: «=«абР( — ).

Следовательно, скорость переноса тепла пропорциональна разности температур, но отдругих переменныч зависит не вполне определенным образом. Хотя форма функции Р неизвестна, однако вид аргумента втой функции дает очень ценные сведения. Например, мы видим, что изменение скорости потока жидкости приводит к такому же точно изменению, как изменение тепло- емкости: удвоение скорости жидкости прн неизменности прочих' переменных оказывает такое же влияние на скорость переноса тепла, как и удвоение теплоемкости жидкости. Эта задача может также вызвать ряд вопросов.

Один из них был поставлен Д. Рябушинским в письме в 1ча1пге 98, 591, 1918 г, Он писал: „В Хатнге от 18 марта лорд Рэлей дает формулу « = «а 8Р(-„-), рассматривая количество тепла, температуру, длину и время как четыре „независимых' величины. Если предположить, что только три из этих' величин „дей. стзительно независимы", мы получим другой результат. Например, если температура определена через среднюю кинетическую энергию молекул, то анализ размерностей позволяет утвер. ждать только то, что «= «абр(,— "„газ ), т.

е. вместо неи.вестной функции от одного аргумента получается функция от двух аргументов. Конечно такая функция значительно менее ограничена чем функция только одного аргумента. Например, в данном случае уже нельзя сделать вывода, что изменение скорости влияет так же, как изменение тепло. емкости. Таким образом замечание Рябушинского сушественно.

Рэлей ответил Рябушинскому в том же томе Нзгпге (стр. 644) следуюшим образом: „Вопрос, поднятый Рябушинским, относится скорее к логике, чем к способу применения анализа размерностей, интересовавшему меня. Вопрос очень заслуживает дальнейшего рассмотрения. Мое заключение получено на основе обычных уравнений Фурье для теплопроводности, в которых температура и количество тепла принимаются, как величины зп! Кепег1з. Мы имели бы дело с парадоксом, если бы углубление наших знаний о природе тепла в молекулярной теории, приводило бы нас' к худшему положению чем раньше при рассмотрении частной задачи. Решение парадокса состоит повидимому в том, что в уравнениях Фурье содержится такое предположение о природе тепла и температуры, которого нет в аргументации Рябушинского".

Я думаю, что этот ответ Рэлея едва-лн кого удовлетворит. Разумеется нет никаких сомнений в искусстве Рэлея в деле получения правильного результата применением анализа размерностей, но найдется лн у нас навык и физическая интуиция Рэлея, чтобы самим также получать правильный результат"г Не даст ли некоторое рассмотрение логики метода надежный способ решения вопроса, являются ли температура и количество тепла „дей- ствительно" независимыми единицами или нет, и как следует выбирать наши основные величины1 Помимо первого вопроса о надлежащем выборе числа единиц при составлении формул размерностей, эта задача о теплопроводности вызывает и другие вопросы также физического характера.

Например, имеем ли мы основание пренебрегать Бриджмэн. 2 лнллиз РлзмзРностай звзлйний Тлвли цл 5. Формула размерности М" 1.л Т Название величины Символ Заряд Радиус сферы .. . Электро -магнитная масса Напишем ш=Де,г) и найлем вил функции у', основываясь на том, что соотношение должно быть независимым от размера основных елнняц. Ясно, что Т не может входивь в правую часть равенства, так как оно не входит в левую. Но Т вхолит в правую часть только через е, поэтому и е не может входить в правую часть.

Однако, если в правой части нет е, то там не может быть и М, так как М входит только через е, Мы встречаемся таким образом с противоположнымн требованиями, делающими решение за. лачи невозможным. Но снова наш критик. Мефистофель полсказывает, что мы забыли какую.то размерную постоянную, Мы нелоумеваем; наша система расположена в пустом пространстве, какой размерной постоянной может характеризоваться пустое пространство? Критик настаивает, однако на том, что у пустого пространства имеются свойства, и при некоторой на- плотностью, вязкостью, сжимаемостью, тепловым расширением 'жилкости или абсолютной температурой? Вероятно многие скажут, что такое пренебрежение оправдано, но зто утверждение булет основываться на конкретных аргументах и основательных физических сведениях о рассматриваемой физической системе. Проблема не может быть разрешена философом на кафелре, необхолимые знания достигнуты кем-то, когда-то, запачкавшим свои руки прямым опытом.

В заключение остановимся на пятой задаче несколько от. личного характера. Попробуем найти, как зависит электрома. гнитная масса электрического заряда, равномерно распределенного по сфере, от радиуса сферы и величины заряда. Полагаем, что заряд расположен в пустом пространстве, и, следовательно, единственнымн переменными являются зарял и ралиус сферы. Применяем прежний метод. Размерность заряда (выраженного в электростатических единицах) получаем из закона Кулона. Таким образом имеем таблицу 5: стойчивости с нашей стороны подсказывает, что свет распространяется с определенной, характеристической скоростью.

Мы снова возвращаемся к задаче, включив в таблицу скорость света с с размерностью 1.Т , имеем: ш =у (е„г„с). Прежние затруднения сразу исчезают, и на основе опыта решения предыдущих более сложных примеров мы получаем сразу: ш = сопз1 — —, ев гсв ' Эту формулу мы найдем в любом курсе электродинамики, и, следовательно, наш критик снова оказался правым. Мы. чувствуем себя смущенными, не ясно понимая роль размерных постоянных, и несколько успокаиваемся, вспомнив, что с опрелеляет одновременно отношение влектростатических единиц к электромагнитным, Однако, нам еще не очень ясно, каким образом вхолит это отношение. Размышляя о решениях рассмотренных аадач, мы встречаемся н с другим вопросом.