П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 2

е. ТАБлнцА 2. Название величины Символ Формула размерности Т МТ з М1 — в Ь Период холебзиня Поверхностное натяжение . Плотность жидкости.... Радиус капли ... , ... где функция 1в на основании только приведенных рассуждений еще не подлежит дальнейшему ограничению. Фактически из элементарной механики нам известно, что для малых значений 68 почти постоянна, не зависит от 6 и равна приближенно 2и.

В связи с размерностью 8 может возникнуть следующий вопрос. Мы сказали, что 8 не имеет размерности, и что ее числовая величина не меняется при изменении основных единиц массы, длины и времени. Несомненно это верно, но отсюда еще не следует, что числовая величина 6 определена однозначно, как легко видеть хотя бы нэ того, что 8 может измеряться в градусах или радианах, Имеем ли мы право поэтому считать 6 постоянной величиной, которая может входить' в функциональное соотношение любым способомг Рассмотрим теперь тем же методом вопрос о периоде малых колебаний капелек жилкости под влиянием их поверхностногц натяжения.

Пусть капелька находится вне гравитационного поля и колебания относятся только к изменению формы, например от сферической к зллипсоидальной и обратно. Период колебания очевидно будет зависеть от поверхностного натяжения жидкости, ее плотности и ралнуса незозмущенной жилкой сферы. Составим таблицу. анализ влэмзвноствй вввдвнив Нам нужно найти такую функцию у, чтобы г = г (з, сг, г), где г такова, что соотношение остается численно неизменным при любом выборе основных единиц, которыми измеряются Г,з,Ф, и г. Метод решения тот же, как и в аалаче о маятнике. Ясно', что М должно сокращаться в правой части уравнения. Зто может произойти только в том случае, если з и Ы входят в уравнение в виде отношения. Отсюда г=у ( —, г). Далее, Ь не входит в размерность Г, поэтому 1 не может вхолить и в функцию у, т.

е. -„- и г должны нахолиться в таком сочетании, чтобы Ь сокращалось. Но Ь фигурирует в отношении — „в третьей степени, поэтому для освобождения от Ь необхолимо разделить — на гз, т. е. = Ф) Размерность — равна Т вЂ” '. Функция у должна стало быть Ф"" иметь такую форму, чтобы эта размерность превратилась в Т, т. е. в размерность левой части уравнения.

Отсюда окончательный резуль'гат: ч Гшч г= сопзг Результат полтверждается опытом и был указан Р э л е е м, как задача гй 7 в его статье в Ха1пге, т. 95 стр. 66, 1915 г. Рассмотрим теперь, что мы подразумевали, говоря вначале, что период колебания будет „зависеть" только от поверхностного натяжения, плотности и радиуса. Имели лн мы при этом в виду, что результаты независимы например от молекулярной структуры жндкосгиг Разумеется лля всякого ясно, что поверхностное натяжение определяется силами между молекулами поверхностного слоя жидкости и будят зависеть очень сложным образом, не поддающимся еше точному расчету, от сорта и строения атомов и от сил межлу ними.

Если это так, то почему же факторы, определяющие межлу-молекулярные силы, не могут входить в наш перечень основных величннг Онн несомненно нг- рают первостепенную роль' в определении физических свойств. Наш выбор можно пытаться оправдать рассуждением вроде еле. дующего: „Верно, что свойства жидкости определяются чрезвычайно сложной системой атомных сил, однако, эти силы влияют на результат лишь постольку, поскольку это сказывается на олпом свойстве — поверхностном натяжении'. Это значилобы что, при измерении периода колебаний капель различных жидкостей, сколь угодно отличающихся по атомным свойствам, мы получали бы одну и ту же величину, если только радиус, плотность и поверхностное натяжение были теми же самыми. Можно при этом добавить, что справедливость такого ответа подтвержлается опытом.

Но наш критик может не удовлетвориться и этим. Он может спросить, почему мы прежде всего уверены, что среди различных свойств жидкостей, из которых составлена капля, именно поверхностное натяжение одно влияет на период колебанияг Ему может казаться весьма возможным, что период зависит от вязкости нли сжимаемости, и если нам придется аппелировать к опыту, то какую же цену имеет наш анализ раэмерностейг На это придется ответить, что конечномы имеем ббльшие сведения об эксперименте, чем наш критик, и что при некоторых условиях действительно период колебания зависит от вязкости и сжимаемости помимо поверхностного иа.

тяження. Однако, опыт показывает, что по мере уменьшения ра. януса капли достигается такой размер, ниже которого сжнмаемость перестает играть какую-либо ваметную роль. Точно также ниже определенной вязкости изменение последней заметно не влияет на периол колебания капли. Наш анализ применим именно к этим условиям.

Вместо апнеляцин к прямому опыту в подкрепление наших утвержлений мы можем, поскольку наш критик довольно сведущ, сослаться на то обобщение опыта, которое содержится в уравнениях гндродннамнкн. Применяя эти уравнения к нашей задаче, можно показать, что, начиная с некоторых предельных условий, позволительно пренебречь сжимаемостью и вязкостью. Таким образом нам удается наконец убедить критика в правильности нашего приема, но для этого понадобится использовать значительные экспериментальные рессурсы и кроме того потребуется навык н опытность для правильного суждения.

Необученный новичок едва.ли оказался бы способным применить метод анализа размерностей к нашей задаче и получить удовлетворительные результаты. Перейдем к третьей задаче. Даны два тела с массамн лг, и лгз АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ взявшие в пустом пространстве, вращающиеся вокруг общего центра тяжести по круговым орбитам под действием силы взаимного тяготения, Мы хотим знать, каким образом время обращения зависит от других переменных. Как и прежде составляем табляцу величин. ТАзлицА 3. Фир з' размерности М М Т Символ Название величины Масса первого тела . . . . Масса второго тела....

Расстояние между телами . Време обрашевня т, г Налагаем условие, чтобы это равенство выполнялось независимо от выоора основных единиц. Первый же взгляд на уравнение приводит нас в некоторое смущение, так как в левой части стоит только время, в правой же части времени нет совершенно. Критик за нашей спиной подсказывает: „Но вы включили не все величины, от которых зависит результат, ясно, что вами забыта постоянная тягогення".

— „Как это может быть, возражаете вы, постоянная тяготения должна появиться сама собою, об этом позаботится природа. Несомненно, что два тела с массами щ, и ща на расстоянии г одно от другого всегда вращаются с оди. иаковым периодом. Мы включили в таблицу все физические величины, которые могут изменяться. Критик, однако, настаивает на своем; уступая ему, мы вставляем постоянную тяготения в число переменных, чтобы попробовать, что из етого выйдет. Назовем эту постоянную О; очевидно, что ее размерность будет М-'Ь'Т-', так как она определяется законом тяготения Ньютона.

т,та Сила тяготения = О Очевидно этим и ограничиваются все физические величины, связанные с задачей, ибо когда бы и где бы мы ни заставили два тела с масс"ми щ, и ща на расстоянии г совершать круговое движение в пустом пространстве под действием их взаимного тяготения, мы всегда получим одно и то же время обращения независимо от материала, нз которого состоят тела, и от их предыдущей химической или динамической истории. Найдем функциональное соотношение Г=Г"1щн щ„г). ,Постоянную", имеющую размерность, т. е. меняющую числовую величину при переходе к другой системе основных единиц назовем „размерной" постоянной.

Наше функциональное соотношение принимает вид: 1=У" 1щ„ща, О, г). Это функциональное уравнение разрешаетсяуже не так просто непосредственным рассмотрением, как два предыдущие; придется немножко заняться алгеброй. Предположим, что функция выражается в форме суммы произведений аргументов в некоторых степенях. Мы знаем, что если обе стороны уравнения должны оставаться равными при любом изменении основных единиц, то размерность любого из произведений в правой части равенства должна быть такой же как и в левой части, т, е. Т. Пусть типичный член суммы произведений имеет вид: щ,.

щ,з От,а Размерность всего произведения должна быть Т, т. е. м'м'1М-'ьт-', ь' =т. Приравнивая показатели у 1., М и Т в правой и левой части, имеем: а — 'Р— Т= 0) 'ЗТ+й =01 откуда — 2Т=11 1 3, 1 т= — —; 3= —; ц= — 1+2 2' 2' Значения а и Р полностью не определяются, находится только их отношение, так как у нас только три уравнения при четырех неизвестных. Отношение ц к Р показывает, что щ, а 1 та 1 н та должны входить в форме щ, ~а( — ~, причем значе1т, ~ ' ние х ничем не ограничивается. Отсюда и= ~А„, а ( — '1, О ата где х и А могут иметь произвольные значения. ,.'Й Вынося — „—, за знак суммы, можем написать О',~аиа Ча 14 анализ элвмзгноотнй вввдзни Выражение под знаком суммы, если н и Ае ничем не ограничены, есть произвольная функция †, которую мы изобравим ивв вив ' в виде й ( — в), Отсюда т.