14-16 лекции (Лекции А.В. Дмитрука), страница 2

(11)Ω(w̄) = (lpp p̄, p̄) −0Подпространство K = ker g 0 (w0 ) состоит из всех w̄ = (x̄, ū), удовлетворяющихравенствам(12)x̄˙ = fx x̄ + fu ū,ηx0 x̄(0) + ηxT x̄(T ) = 0.Теорема 1 в этом случае дает следующий результат.Теорема 2.а) Пусть w0 − точка слабого минимума в задаче (10). ТогдаΩ(w̄) ≥ 0∀ w̄ ∈ K.(13)б) Пусть для некоторого c > 0Ω(w̄) ≥ c γ(w̄)∀ w̄ ∈ K.(14)Тогда w0 − точка строгого слабого минимума в задаче (10).Таким образом, мы приходим к вопросу о знакоопределенности квадратичногофункционала Ω(w̄) вида (11) на подпространстве K вида (12) относительно введенного квадратичного порядка γ(w̄). Для упрощения изложения мы далее ограничимся рассмотрением случая, когда в задаче (10) правый конец траектории закреплен:x(T ) = x0T , а равенство η(x(0)) = 0 относится только к левому концу.

В подпространстве K мы тогда имеем равенства x̄(T ) = 0,η 0 (x0 (0)) x̄(0) = 0. общейпостановке, к чему мы сейчас и перейдем.5Задача о знакоопределенности квадратичного функционалаИтак, мы пришли к изучению квадратичного функционала видаZ TΩ(ū) = (S x̄(0), x̄(0)) +((Qx̄, x̄) + 2(P x̄, ū) + (Rū, ū)) dt,(16)0на подпространстве (обозначим его временно) N ⊂ L∞ (∆), состоящем из всех функций ū(t), для которых решение уравненияx̄˙ = Ax̄ + B ū,x̄(T ) = 0,(17)удовлетворяет левому граничному условиюC x̄(0) = 0.(18)(Мы перешли к независимому переменному ū, так как x̄ можно выразить через ūв силу (17).)Здесь S − симметричная n × n -матрица, C − m × n -матрица, матрицыA, B, Q, P, R соответствующих размерностей имеют измеримые ограниченные коэффициенты, из них Q, R симметричны.

Конкретная связь этих матриц с соответствующими коэффициентами функционала (11, 12) нам с этого момента уже не важна.Более того, поскольку теперь мы все время будем работать только с вариациями x̄, ū,далее черту над ними писать не будем.Нас интересует знакоопределенность функционала Ω(u) на на подпространствеN относительно порядкаZ T2γ(u) = |x(0)| +(|x|2 + |u|2 ) dt,0т.е. выяснение того, будет ли выполняться неравенствоΩ(u) ≥ c γ(u)∀u ∈ N(19)при c = 0 или некотором c > 0.Первое что мы заметим, это то, что в силу уравнения (17) ||x||C ≤ const ||u||1 ,откудаZ TZ T22|x(0)| +|x| dt ≤ const|u|2 dt,00RTи поэтому γ(u) можно заменить на 0 |u|2 dt (т.е.

выбросить первые два члена изγ(u) ), при этом качественный характер оценки (19) не изменится. Таким образом,вместо неравенства (19) мы будем изучать выполнение неравенстваΩ(u) ≥ c ||u||22∀ u ∈ N.(20)Далее обратим внимание на следующее обстоятельство. Пространство L∞ (∆) всюду плотно в L2 (∆) относительно нормы последнего, а функционал Ω непрерывенотносительно нормы ||u||2 . Справа в (20) также стоит квадрат этой нормы.

Поэтому естественно было бы рассматривать неравенство (20) не в пространстве L∞ (∆),6а в пространстве L2 (∆) − это его естественная область определения. Надо лишьпроверить, что подпространство N ⊂ L∞ (∆) будет также всюду плотно в соответствующем подпространстве K ⊂ L2 (∆). Это вытекает из следующей леммы.Лемма о плотности. Пусть в локально выпуклом топологическом векторномпространстве H имеется всюду плотное линейное многообразие D и подпространство K, заданное равенствами (ai , u) = 0, i = 1, . . . , m, где ai ∈ H ∗ .

Тогда K ∩ Dплотно в K.Доказательство. По соображениям индукции достаточно рассмотреть случайm = 1. Таким образом, K = {u ∈ H : (a, u) = 0}, a 6= 0. Возьмем любую точкуu0 ∈ K и любую ее окрестность O(u0 ), которую можно считать выпуклой. Намнадо найти û ∈ O(u0 ), такую что û ∈ K ∩ D. Так как D всюду плотно, в непустомоткрытом множестве {u : (a, u) > 0} ∩ O(u0 ) найдется точка u1 ∈ D, а в непустомоткрытом множестве {u : (a, u) < 0} ∩ O(u0 ) найдется точка u2 ∈ D. Так какO(u0 ) выпукло, а D есть линейное многообразие, весь отрезок [u1 , u2 ] содержитсяв O(u0 )∩D, и при этом для некоторой его промежуточной точки û будет выполненоравенство (a, û) = 0, т.е. получаем û ∈ O(u0 ) ∩ D и одновременно û ∈ K, ч.т.д. 2У нас H = L2 (∆), D = L∞ (∆). Согласно доказанной лемме, множество функций u ∈ L∞ (∆), для которых решение уравнения (17) удовлетворяет m− мерномуравенству (18), всюду плотно в множестве функций u ∈ L2 , удовлетворяющих этомуже условию.

Последнее множество есть подпространство в L2 (∆) , которое мы обозначим через K или даже KT , если надо указать отрезок ∆ = [0, T ], на которомрассматриваются функции x(t), u(t).Итак, нас интересует выполнение неравенстваΩ(u) ≥ c ||u||22∀ u ∈ KT(21)при c = 0 или некотором c > 0.Первое нетривиальное условие для выполнения (21) касается матрицы R(t) приквадрате управления в Ω и состоит в следующем.Теорема 3 (необходимое условие Лежандра).

Пусть Ω ≥ 0 на K.Тогда R(t) ≥ 0 для п.в. t ∈ ∆.Доказательство проведем здесь для случая, когда матрица R(t) непрерывна.Допустим, существует вектор v ∈ IRr и точка t0 ∈ ∆, такие что (R(t∗ ) v, v) < 0.Умножая v на некоторое положительное число, считаем, что (R(t∗ ) v, v) = −2.Тогда в некоторой окрестности O(t∗ ) будет (R(t) v, v) ≤ −1. Для каждого достаточно малого ε > 0 возьмем некоторый отрезок ∆ε длины ε, лежащий целиком вуказанной окрестности O(t∗ ).Пусть uε = v на ∆ε и 0 вне ∆ε , а xε есть соответствующее решение (17) .ТогдаZZ∆(R(t) uε , uε ) dt =(R(t) v, v) dt ≤ −ε.∆Оценим остальные члены в Ω(uε ).

Так какZ T||xε ||C ≤ const|uε | dt ≤ O(ε)07при ε → 0,то все остальные члены по модулю ≤ O(ε2 ), и поэтому Ω(uε ) ≤ O(ε2 ) − ε < 0 прималых ε > 0. Однако мы еще не получили противоречия с неотрицательностью Ωна K, так как может не выполняться требуемое равенство Cxε (0) = 0.Это равенство может нарушаться на величину порядка |xε (0)| = O(ε), и поэтому,согласно теореме Банаха об открытом отображении, существует ũε ∈ L2 (∆) с оценкой||uε ||2 ≤ O(ε), для которого решение (17) дает то же начальное значение: x̃ε (0) =xε (0).

Тогда для поправленного управления u0ε = uε − ũε получим x0ε = xε − x̃εс равенством Cx0ε (0) = 0, т.е. u0ε ∈ K.Нетрудно видеть, что Ω(u0ε ) = Ω(uε ) + o(ε). Проверим здесь лишь основной,лежандровый член:ZZZZ(R (uε − ũε ), (uε − ũε )) dt =(R uε , uε ) dt − 2 (R uε , ũε ) dt + (R ũε , ũε ) dt.∆∆∆∆Предпоследний член оценивается так:Z√|(R uε , ũε )| dt ≤ const ||uε ||2 ||ũε ||2 ≤ const ε · O(ε) = O(ε3/2 ),∆а последний член ≤ const ||ũε ||22 = O(ε2 ).

Таким образом, u0ε ∈ K и при этомΩ(u0ε ) = Ω(uε ) + o(ε) ≤ O(ε2 ) − ε + o(ε) < 0, противоречие.Итак, для случая, когда матрица R(t) непрерывна, теорема доказана. Общийслучай, когда R(t) измерима, отличается лишь небольшими техническими деталями,которые мы оставляем читателю2Следствие. Если выполнено (21), то R(t) ≥ cE для п.в. t ∈ ∆.RTeЭто вытекает из того, что функционал Ω(u)= Ω(u) − 0 c (u, u) dt ≥ 0 на K, а поe = R(t) − c E ≥ 0 для п.в. t ∈ ∆.

2теореме 3 его лежандровый коэффициент R(t)Далее мы будем предполагать, что ∃ a > 0 такое, что R(t) ≥ a E для п.в. t ∈ ∆.Это называется усиленным условием Лежандра. Как мы только что видели, без этогоусловия Ω не может быть положительно определенным на K. (Неотрицательнымон быть может, но без усиленного условия Лежандра проверка неотрицательности Ωпредставляет собой очень сложную задачу, для которой не существует эффективнойпроцедуры.)Теорема 4 (Лежандр). Пусть выполнено усиленное условие Лежандра.Тогда ∃ ε > 0 такое, что ∀ T ≤ ε функционал Ω положительно определен наL2 [0, T ], и в частности, на KT .Доказательство.

Пусть R(t) ≥ a E для п.в. t ∈ ∆ при некотором a > 0.RТогда ∆ (R u, u) dt ≥ a||u||22 . Оценим остальные члены в Ω(u). Так какZ T√||x||C ≤ const1 · |u| dt ≤ const ||1||2 · ||u||2 ≤ const T · ||u||2 ,0то все остальные члены в Ω(u) по модулю ≤ const T · ||u||22 , и тогда при малыхT > 0 имеем Ω(u) ≥ (−const T + a) · ||u||22 ≥ a2 ||u||22 , ч.т.д.2Итак, при достаточно малых T функционал Ω положительно определен на KT .Что будет при больших T ? Простые примеры показывают, что Ω может иметьотрицательные значения.8Пример 1.Z2TΩ(u) = −x (0) +u2 dt,ẋ = u,x(T ) = 0.0Положив u(t) = 1, получаем x(t) = t − T, x(0) = −T, поэтому Ω(u) = −T 2 + T < 0при T > 1.Таким образом, усиленное условие Лежандра обеспечивает положительную определенность функционала Ω на KT только при малых T > 0, но, вообще говоря, необеспечивает его положительную определенность при больших T.

Как найти множества соответствующих T ?Нижеследующая схема рассуждений предложена американским математиком Хестенсом в 1930-х годах. Читателю предоставляется возможность оценить ее естественность, красоту и общность.Теория сопряженных точекОсновная идея здесь следующая. Будем изменять T, т.е. будем двигать правыйконец отрезка [0, T ]. Заметим, что при увеличении T подпространство KT расширяется (в нестрогом смысле), т.е. если T < T 0 , то KT ⊂ KT0 , ибо любую функциюu ∈ KT ⊂ L2 [0, T ] можно, продолжив нулем на [T, T 0 ], рассматривать как элементL2 [0, T 0 ], при этом соответствующее "новое" решение x(t) уравнения (17) (с условием x(T 0 ) = 0) будет, очевидно, равняться нулю на [T, T 0 ] и совпадать со "старым"решением на [0, T ]; в частности, по-прежнему будет Cx(0) = 0, и следовательно,u ∈ KT0 . Поскольку "новая" пара x(t), u(t) равна нулю на [T, T 0 ], значение Ωне изменится.

Таким образом, множество значений Ω на KT содержится в множестве значений Ω на KT0 . Если среди значений Ω на KT были отрицательные, тоони сохранятся при любом T 0 > T, т.е. при возрастании T знакоопределенностьфункционала Ω на KT не может улучшиться, а может только ухудшиться. Эта монотонность "знака" Ω является ключевым фактом, на котором будет строиться всядальнейшая теория.Замечание. Если бы у нас не было условия x(T ) = 0, такие рассуждения ужене прошли бы, монотонности "знака" Ω не было бы, и вся нижеследующая схемануждалась бы в довольно громоздкой модификации (чтобы все-таки восстановитьэту монотонность!), которую мы здесь не рассматриваем, чтобы второстепенные технические конструкции не отвлекали нас от существа дела.Будем предполагать, что усиленное условие Лежандра выполнено на любом отрезке [0, T ], т.е.

что ∀ T > 0 ∃ a(T ) > 0, такое чтоR(t) ≥ a(T )Eдля п.в. t ∈ [0, T ].(22)Положим T0 = sup { T : Ω положительно определен на KT }.По теореме 4 T0 > 0 (и не исключен случай T0 = +∞ ).Нетрудно показать, что Ω ≥ 0 на KT0 . (Здесь надо использовать тот факт, чтоT <T0 KT плотно в KT0 , который вытекает из леммы о плотности.).S9Оказывается, при выполнении усиленного условия Лежандра существует ненулевая û ∈ KT0 , на которой Ω(û) = 0. Этот факт мы назовем "прохождением функционала Ω через ноль". Для его установления удобно ввести следующие понятия,которые представляют и самостоятельный интерес.Пусть в сепарабельном гильбертовом пространстве H задан квадратичный функционал Ω(u) = (G u, u), где G : H → H − симметричный линейный ограниченныйоператор.