Некоторые задачи (решённые) к экзамену

îÅËÏÔÏÒÙÅ ÚÁÄÁÞÉ (Ó ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ)Ë ÜËÚÁÍÅÎÕ ÐÏ ËÕÒÓÕ åîó€çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ × Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËŁ(ÌÅËÔÏÒ á. é. ûÁÆÁÒÅ×ÉÞ, ÏÓÅÎØ 2004 Ç.)ïÐÅÒÁÔÏÒÙ ìÁÐÌÁÓÁ{âÅÌØÔÒÁÍÉ É ÷ÉÔÔÅÎÁ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ìÁÐÌÁÓÁ{âÅÌØÔÒÁÍÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ D = d d + dd ,ÇÄÅ d = ( 1)nk+n+1 d (k | ÓÔÅÐÅÎØ ÆÏÒÍÙ, Ë ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÎ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ). ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ ÷ÉÔÔÅÎÁ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ËÁË ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ Dh = dh dh + dh dh (dh = e f=hdef=h ), ÔÁË É ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅh2 Dh = h2 D + (df; df ) + hR, ÇÄÅ R = kf d + d kf + kf d + dkf (kf (!) = df ^ !).

õÄÏÂÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒ R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ (ÚÁ×ÉÓÉÔ ÌÉÛØ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÏÒÍÙ × ÔÏÞËÅ:R(g(x)!) = g(x)R(!)), ÐÏÜÔÏÍÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ PÅÇÏ ÎÁ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ÆÏÒÍÁÈ (1, dx, dy, dx ^ dy). ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÏÐÅÒÁÔÏÒÁ kf ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ kf = (@f=@xj )kj , ÇÄÅXk (dxi ^ : : : ^ dxi ) = ( 1)s+1 gjis dxi ^ : : : ^ dxi ^ dxi ^ : : : ^ dxi :j1k1ss1s+1kúÁÍÅÞÕÔÁËÖÅ, ÞÔÏ × ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ (ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÅÓÌÉ G ÎÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁ) ÂÕÄÅÔ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏ ÐÏÑ×ÌÑÔØÓÑpdet G | ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ × ÆÏÒÍÅ ÏÂߣÍÁ. åÇÏ ÐÏÌÅÚÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÏÄÎÏÊ ÂÕË×ÏÊ (ÎÏ ÐÏÍÎÉÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÎÅËÏÎÓÔÁÎÔÁ, É ÅÇÏ ÎÕÖÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÔØ).æÕÎËÃÉÉ íÏÒÓÁîÁÐÏÍÎÀ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ íÏÒÓÁ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞÅË(ÔÏÞÅË, ÇÄÅ df = 0), ÐÒÉÞ£Í ×ÓÅ ÏÎÉ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÙ : ÍÁÔÒÉÃÁ Q = (@ 2 f=@xi @xj ) ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ. þÉÓÌÏÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× × Q ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÄÅËÓÏÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ.úÁÄÁÞÁ.

òÉÓÕÅÔÓÑ ËÁËÁÑ-ÔÏ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÂÅÚ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ ((t); z (t)) × ÏÂÌÁÓÔÉ > 0. ÷ÒÁÝÁÑÅ£ ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ Oz , ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ × Oxyz . óÐÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ, ÂÕÄÕÔ ÌÉ ÎÁ ÜÔÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÑÍÉíÏÒÓÁ f = y É f = z .òÅÛÅÎÉÅ. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÚÕÅÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ t É ':x = (t) cos ';y = (t) sin ';z = z (t):æÕÎËÃÉÑ f = z ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÆÕÎËÃÉÅÊ íÏÒÓÁ.

îÕÖÎÏ ×ÚÑÔØ t0 , ÇÄÅ dz=dt = 0 (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÔÏÞËÕ ÍÁËÓÉÍÕÍÁz (t)), ÔÏÇÄÁ df (t0 ; ') = 0 ÐÒÉ ×ÓÅÈ ', Ô. Å. ÔÏÞÅË df = 0 ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ.æÕÎËÃÉÑ f = y ÂÕÄÅÔ ÆÕÎËÃÉÅÊ íÏÒÓÁ ÐÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÎÁ ËÒÉ×ÕÀ, ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÎÉÖÅ. þÔÏÂÙdy = 0, ÎÕÖÎÏ, ÞÔÏÂÙ cos ' = 0 É 0 (t) sin ' = 0. sin ' 6= 0, ÐÏÜÔÏÍÕ 0 (t) = 0. éÔÁË, dy = 0 × ÔÏÞËÁÈ, ÇÄÅcos ' = 0 É 0 (t) = 0. ÷ÙÐÉÛÅÍ ÍÁÔÒÉÃÕ ×ÔÏÒÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ:(t) sin ' 0 (t) cos ' = (t)00 (t) cos ' 00 (t) sin '000 (t) :óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÜÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ íÏÒÓÁ ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ (1) × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÞÉÓÌÅ ÔÏÞÅË 0 = 0 É (2) ×Ï ×ÓÅÈÜÔÉÈ ÔÏÞËÁÈ 00 6= 0 (ÏÂÙÞÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÜÔÏ ×ÉÄÎÏ).çÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÙ. þÉÓÌÁ âÅÔÔÉæÏÒÍÁ ! ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ, ÅÓÌÉ D! = 0. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅÇÁÒÍÏÎÉÞÎÏÓÔÉ | ÜÔÏ d! = 0 É d ! = 0 (×ÔÏÒÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÕÄÏÂÎÅÅ ÐÒÏ×ÅÒÑÔØ × ×ÉÄÅ d(!) = 0). ñÓÎÏ,ÞÔÏ ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÏÓÔØ ! É ! ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ.

òÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á k ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈk-ÆÏÒÍ ÒÁ×ÎÁ bk = dim H k | k-ÍÕ ÞÉÓÌÕ âÅÔÔÉ (ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á k-ÍÅÒÎÙÈ ËÏÇÏÍÏÌÏÇÉÊ). éÚÐÏÓÌÅÄÎÉÈ Ä×ÕÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ÍÇÎÏ×ÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ bk = bn k .äÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ íÏÒÓÁ f ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ mk ÞÉÓÌÏ ÔÏÞÅË ÉÎÄÅËÓÁ k. ôÏÇÄÁ ×ÅÒÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á(ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔÁ íÏÒÓÁ):mk > bk ;kXkj =0j =0X( 1)k j mj > ( 1)k j bj1É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ÔÅÏÒÅÍÁ íÏÒÓÁ Ï ÉÎÄÅËÓÅ)nXnj =0j =0X( 1)n j mj = ( 1)n j bj :÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ 0-ÆÏÒÍ ! = f (x) ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÐÒÏÓÔÏ: ÕÓÌÏ×ÉÅ d ! = 0 ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ×ÓÅÇÄÁ,ÐÏÓËÏÌØËÕ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ | ÜÔÏ ( 1)-ÆÏÒÍÁ. õÓÌÏ×ÉÅ df = 0 ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ f Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ ÎÁ ËÏÍÐÏÎÅÎÔÁÈ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. éÔÁË, ÄÌÑ Ó×ÑÚÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ b0 = 1 É 0 = h1i.÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ n ÔÏÖÅ ÐÒÏÓÔÏ, ÐÏÓËÏÌØËÕ n = 0 . ìÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ 1 = (ÆÏÒÍÁ ÏÂߣÍÁ).

ôÏÇÄÁn = hi (× ÓÌÕÞÁÅ Ó×ÑÚÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ).Pn+1 2 2úÁÄÁÞÁ. îÁÊÔÉ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁ n-ÍÅÒÎÏÍ ÜÌÌÉÐÓÏÉÄÅi=1 xi =ai = 1.òÅÛÅÎÉÅ.0 É n ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ËÁË ÕËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ. çÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÏÒÍ ÄÒÕÇÉÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÎÅÔ:ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ f = xn+1 . ïÎÁ ÉÍÅÅÔ ÏÄÉÎ ÍÉÎÉÍÕÍ (ÉÎÄÅËÓ ÒÁ×ÅÎ 0) É ÏÄÉÎ ÍÁËÓÉÍÕÍ (ÉÎÄÅËÓ n),ÄÒÕÇÉÈ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞÅË ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÓÌÉ 1 6 k 6 n 1, ÔÏ bk 6 mk = 0, Ô. Å. bk = 0.n c ÍÅÔÒÉËÏÊ ds2 = dx2 + : : : + dx2 .

(éÍÅÅÔÓÑ ×úÁÄÁÞÁ. îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÔÏÒÅ T1nnnn×ÉÄÕ, ÞÔÏ T = R (x1 ; x2 ; : : : ; xn )=Z .)òÅÛÅÎÉÅ 1. ÷ÓÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÅÔÒÉËÁ ÐÌÏÓËÁÑ, ÔÏ D (f dxi1 ^ dxi2 ^ : : : ^ dxik ) = ( f )dxi1 ^ dxi2 ^: : : ^ dxik . úÎÁÞÉÔ, ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ × ÍÏÎÏÍÁÈ ÐÅÒÅÄ dxi1 ^ dxi2 ^ : : : ^ dxik Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÍÉ ÆÕÎËÃÉÑÍÉ. îÏ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ (ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÎÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ) ÄÏÓÔÉÇÁÀÔ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅËÏÍÐÁËÔÁ.

ôÏÒ ËÏÍÐÁËÔÅÎ, Á ÇÒÁÎÉÃÙ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. úÎÁÞÉÔ, ÔÁËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ | ËÏÎÓÔÁÎÔÙ. þÕÔØ ÂÏÌÅÅ ÐÏÄÒÏÂÎÏ: ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÌÑ ËÏÍÐÁËÔÁ × Rn ÄÏËÁÚÁÎÏ × ËÕÒÓÅ õÒþð, åÓÌÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊÔÏÞËÅ P 2 T n ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (x) ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ, ÔÏ, ÐÒÉÍÅÎÑÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÌÑ ÌÏËÁÌØÎÏÊ ËÁÒÔÙ, ÐÏÌÕÞÉÍ,ÞÔÏ × ÍÁÌÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ f ÒÁ×ÎÁ ÜÔÏÍÕ ÖÅ ÞÉÓÌÕ. äÁÌÅÅ ÐÒÏ×ÏÄÉÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ Ï ÏÔËÒÙÔÏÓÔÉ É ÚÁÍËÎÕÔÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á fx : f (x) = maxT n f ( )g: ÏÎÏ ÎÅÐÕÓÔÏ, ÚÁÍËÎÕÔÏ ÉÚ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ f , ÉÏÔËÒÙÔÏ ÐÏ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ. úÎÁÞÉÔ, ÜÔÏ ×ÅÓØ ÔÏÒ.

éÔÁË, ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÆÏÒÍÙ ÓÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ.òÅÛÅÎÉÅ 2. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ÆÏÒÍÁ ! Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÁÑ: d ÏÔ ÎÅ£,ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÎÏÌØ, Á d | ÎÏÌØ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ! ÔÏÖÅ ÉÍÅÅÔ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ. éÔÁË, ÎÁÊÄÅÎÏ CnkÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÏÒÍ ÓÔÅÐÅÎÉ k. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÂÏÌØÛÅ ÉÈ ÎÅÔ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍÆÕÎËÃÉÀ f (x) = cos(2x1 ) + : : : + cos(2xn ).

å£ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ | ÜÔÏ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ 0 É 1=2,ÐÒÉÞ£Í ÉÈ ÉÎÄÅËÓ ÒÁ×ÅÎ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÒÁ×ÎÙÈ 0 (ÓËÁÖÅÍ, ÉÎÄÅËÓ (0; 1=2; 1=2; 0; 1=2) ÂÕÄÅÔ 2).úÎÁÞÉÔ, dim k = bk 6 mk (f ) = Cnk .3úÁÄÁÞÁ. îÁÊÔÉ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÔÏÒÅ ×ÒÁÝÅÎÉÑ × R .3òÅÛÅÎÉÅ. éÔÁË, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÇÒÕÖ£ÎÎÙÊ × R ÔÏÒ:x = (R + r cos ) cos ';y = (R + r cos ) cos ';z = r sin 'Ó ÍÅÔÒÉËÏÊ, ÉÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÉÚ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÎÁ R3 . ìÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉÃÁ ÍÅÔÒÉËÉ × ÜÔÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÔÁËÏ×Á:89892(@;@)(@;@)(R+rcos)0>>>>'''>>>>G = :(@ ; @ ) (@ ; @ ); = :0r2 ; :'ðÅÒÅÈÏÄÉÍ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ Ë ÐÏÉÓËÕ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÏÒÍ.

ëÁË ÏÂÙÞÎÏ, ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ 0-ÆÏÒÍÙ |ÜÔÏ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, Á 2-ÆÏÒÍÙ | ÜÔÏ c, Ô. Å. cr(R + r cos )d' ^ d . ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, (ÓÍ. ÐÒÅÄÙÄÕÝÕÀ ÚÁÄÁÞÕ)dim 1 = 2, ÐÏÜÔÏÍÕ ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ Ä×Å ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ 1-ÆÏÒÍÙ.ðÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÂÕÄÅÔ d'. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, d(d') = ((@ 1=@')d' + (@ 1=@ )d ) ^ d' = 0.úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ d' = f ( )d . f ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ', ÐÏÓËÏÌØËÕ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÅÔÒÉËÉ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ '.ðÏÜÔÏÍÕ d (d') = f 0 ( )d ^ d = 0. úÎÁÞÉÔ, d' ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÁÑ.÷ÔÏÒÏÊ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ 1-ÆÏÒÍÏÊ ÂÕÄÅÔ d'.

îÁÊÄ£Í Å£. ðÕÓÔØ d' = ad' + bd . ôÏÇÄÁ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ^d' = (; d') ÎÁÈÏÄÉÍ ÐÒÉ = d': bd' ^ d = (R + rcos ) 2 r(R + rcos )' ^ d , Ô. Å. b = r=(R + r cos ),Á ÐÒÉ = d : ad' ^ d = 0. úÎÁÞÉÔ, d' = [r=(R + r cos )]d .ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÆÏÒÍÙ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ. úÎÁÞÉÔ, ×Ó£ 1 | ÜÔÏ ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÉ.1. ïÓÃÉÌÌÑÔÏÒÎÏÅ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅòÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÏÐÅÒÁÔÏÒ (ÏÐÅÒÁÔÏÒ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ, ÏÐÅÒÁÔÏÒ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ)h2 d2H^ =+ V (x ) :2 dx22(÷ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÍÅÓÔÏ 00 ÓÔÁ×ÉÔÓÑ .) óÐÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ, ËÁËÉÅ ÏÎ ÉÍÅÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ:ÔÁËÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ E , ÐÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ H^ = E ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. ïÓÏÂÅÎÎÏÉÎÔÅÒÅÓÎÏ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÓÐÅËÔÒÁ ÐÒÉ h ! 0.éÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ: ÐÕÓÔØ min V (x) = 0 É ×ÎÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ËÏÍÐÁËÔÁ V (x) > Æ.

ðÕÓÔØ ÔÏÞÅËxk ÇÌÏÂÁÌØÎÏÇÏ ÍÉÎÉÍÕÍÁ V (x) ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ÷ ÎÉÈ ÅÓÔØ ÍÁÔÒÉÃÙ 2 (xk ) ×ÔÏÒÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ1 ðÕÓÔØÏÎÉ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÙ,Á ÉÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ | (!j (xk ))2 . ôÏÇÄÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁÂÏÒ E = [E (xk ), ÇÄÅPE (xk ) = f j h!j (xk )(2mj +1)=2; mj 2 Z+g (€ÎÁÂÏҁ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ó ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ: ÅÓÌÉ ÐÒÉ ÒÁÚÎÙÈm~ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏ É ÔÏÖÅ, ÔÏ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÈÏÄÉÔ × Em Ä×ÁÖÄÙ, ÔÒÉÖÄÙ, É Ô. Ä.) ÷ÏÚØÍ£Í E1 ; : : : EM |M ÓÁÍÙÈ ÍÅÎØÛÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ E (Ó ÕÞ£ÔÏÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÅÊ).

ðÕÓÔØ E (h) | ÓÐÅËÔÒ H^ , õÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÓÑ, ÞÔÏÐÒÉ h < h0 (M ) ÎÁÂÏÒ E (h) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÏ ÍÅÎØÛÅÊ ÍÅÒÅ M ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ É M ÎÁÉÍÅÎØÛÉÈ ÉÚ ÎÉÈ:E1 (h); : : : EM (h) ÐÒÉÂÌÉÖÁÀÔ Ej : Ej (h) = Ej + o(h).ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ min V (x) = V0 , ÔÏ ÎÕÖÎÏ ËÏ ×ÓÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ E ÐÒÉÂÁ×ÉÔØ V0 .(úÁÍÅÞÕ × ÓËÏÂËÁÈ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× íÏÒÓÁ ÜÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÐÒÉÍÅÎÑÌÁÓØ (ÈÏÔÑ ÜÔÏ ÉÎÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ) × ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÓÓÌÏÅÎÉÑ ÎÁÄ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅÍ, ËÏÉÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÆÏÒÍ.)åÓÌÉ V (xP) = 1=2(x; 2x), ÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ Ó ÔÁËÉÍ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ (Ë×ÁÎÔÏ×ÙÍ) ÏÓÃÉÌÌÑÔÏÒÏÍ.