С.В. Конягин - Вариационное исчисление и оптимальное управление, страница 9

Íà÷íåì ñ âñïîìîãàòåëüíûõóòâåðæäåíèé èç óíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà.Òåîðåìà 19.1 (îòäåëèìîñòè) Ïóñòü X ËÍÏ, Aâûïóêëûå, A ∩ B = ⊘,⊂ X, B ⊂ X íåïóñòûå. Òîãäà ñóùåñòâóåò óíêöèîíàë x∗ ∈ X ∗, kx∗k = 1 :intB 6= ⊘(supx∈A hx∗ , xi) ≤ (infx∈B hx∗ , xi)áåç äîêàçàòåëüñòâà53Ñëåäñòâèå 19.1 Ïóñòü A∗∗∗∃x ∈ X , kx k = 1 :⊂ X íåïóñòî, âûïóêëî, çàìêíóòî, x0∈/ A. Òîãäà(supx∈A hx∗ , xi) < (hx∗ , x0 i)(ò.å.

èìååò ìåñòî ñòðîãàÿ îòäåëèìîñòü). Ïîëîæèì B = {x ∈ X : kx−x0 k ≤ ε}, ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ε A∩B = ⊘. B øàðè, çíà÷èò, âûïóêëîå ìíîæåñòâî, èìååò âíóòðåííþþ òî÷êó (íàïðèìåð, x0 ). Çíà÷èò, ïî∗∗∗∗∗òåîðåìå îòäåëèìîñòè ∃ x ∈ X , kx k = 1 : (supx∈A hx , xi) ≤ (infx∈B hx , xi).Ò.ê.kx∗ k = 1, ∃y ∈ X : kyk ≤ 1, hx∗ , yi >1. àññìîòðèì2x1 = x0 − εy ∈ B . Èìååì:εhx∗ , x1 i = (hx∗ , x0 i − εhx∗ , yi) < (hx∗ , x0 i − ),2à(infx∈B hx∗ , xi) ≤ (hx∗ , x1 i).Ò.î. ñëåäñòâèå äîêàçàíî.Ñëåäñòâèå 19.2 (ñëåäñòâèÿ 19.1) Ïóñòüçàìêíóòî, t0 < t1, y(·) : íåïóñòî, âûïóêëî,[t0 , t1 ] → A èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ëåáåãó óíêöèÿ.

Òîãäà1t1 − t0ZA⊂Rnt1t0y(t)dt ∈ AR t11 Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü t1 −ty(t)dt = x0 ∈/ A. Òîãäà ât00∃x∗ ∈ X ∗ , kx∗ k = 1, ∃u ∈ R : ∀x ∈ A (hx∗ , xi) ≤ u, (hx∗ , x0 i) > u.ñèëó ñëåäñòâèÿ 19.1Èìååì:1hx∗ ,u < (hx , x0 i) =t1 − t0∗Zt1t01y(t)dti =t1 − t01≤ {y(t) ∈ A} ≤t1 − t0Ïðîòèâîðå÷èå.Ïóñòü äàëååZZt1t0hx∗ , y(t)idt ≤t1udt = ut0u : [t0 , t1 ] → Rr èçìåðèìà, x : [t0 , t1 ] → Rn àáñîëþòíî íåïðåðûâíà.Òåîðåìà 19.2 (Ôèëèïïîâà) àññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî áûñòðîäåéñòâèÿT → min, x(0) = x0 , x(T ) = x1ẋ(t) = ϕ(x(t), u(t)) â òî÷êàõ ñóùåñòâîâàíèÿ ẋ(t), u(t) ∈ UÏóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ1) ϕ, ϕ̇x(·) íåïðåðûâíû;2) ∃c > 0 ∀x, ∀u ∈ U (hx, ϕ(x, u)i) ≤ c(kxk2 + 1);3) ∀x ϕ(x, U ) := S {ϕ(x, u)} âûïóêëî, U çàìêíóòî, îãðàíè÷åíî;u∈U4) ∃(x̃(·), ũ(·), T̃ ) äîïóñòèìûé ïðîöåññ.Òîãäà ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíûé ïðîöåññ.54Ëåììà 19.1 Ïóñòü àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ, è.x(·) : [0, T ] → Rn(hx(t), ẋ(t)i) ≤ c(kxk2 + 1)∀ t ∈ [0, T ] kx(t)k ≤ ect (kx(0)k + 1).

Òîãäààññìîòðèì óíêöèþy(t) = kx(t)k2 + 1 = hx(t), x(t)i + 1;ẏ(t) = 2 hx(t), ẋ(t)i + 1;Ñëåäîâàòåëüíî ìîæíî çàïèñàòü, ÷òîẏ(t) ≤ 2cy(t).Òåïåðü ðàññìîòðèì óíêöèþz(t) = e−2ct y(t);ż(t) = e−2ct ẏ(t) − 2ce−2ct y(t) ≤ 0;Çàìåòèì, ÷òîz(t)àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ, åå ïðîèçâîäíàÿ ìåíüøå èëèðàâíà íóëÿ, ïîýòîìó ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ýòî íåâîçðàñòàþùàÿ óíêöèÿ.2ctÑëåäîâàòåëüíî ∀ t ∈ [0, T ] z(t) ≤ z(0) ⇒ y(t) ≤ e y(0) ⇒kx(t)k2 + 1 ≤ e2ct (kx(0)k2 + 1)Ïîýòîìó1kx(t)k ≤ ect (kx(0)k2 + 1) 2 .Ìîæíîçàìåòèòü,÷òîϕ(x(t), u(t)) (0 ≤ t ≤ τ ).ïðè t ≥ τ . Òîãäà çäåñüåñëè∃ ẋ(t),òîãäàìîæíîàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîåẋ(t) =ẋ(t) = ϕ(x(t), ũ)ïîëîæèòü,ũ ∈ U ,è ïóñòü÷òîáóäóò âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ èåäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ äàííîãî îáûêíîâåííîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ , ò.êèìååò ìåñòî ïóíêò 1) òåîðåìû Ôèëëèïîâà.

Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ëîêàëüíàÿ òåîðåìà, ò.å ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðåøåíèå ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî âíåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè, íî â óñëîâèÿõ òåîðåìû Ôèëëèïîâà â ñèëó ëåììû 10.1kx(t)kíå ìîæåò âîçðàñòàòü íåîãðàíè÷åííî ïðè îãðàíè÷åííîìt,ïîýòîìó ðåøåíèåïðîäîëæàåòñÿ íåîãðàíè÷åííî.Òåïåðü äîêàæåì òåîðåìó Ôèëëèïîâà:àññìîòðèì âñå äîïóñòèìûå ïðîöåññû(x(·), u(·), T )òàêèå, ÷òîìíîæåñòâî íå ïóñòî, òàê êàê èìååò ìåñòî ïóíêò 4) óñëîâèÿ òåîðåìû.T̂ = inf T .1T̃j ≤ T̂ + è T̃j ≤ T̃ .jÏóñòüÄàëåå∀ j ≥ 1Ïðîäîëæèìñóùåñòâóåò ïðîöåññx̃j (·), ũj (·)íà[0, T̃ ].T ≤ T̃ .(x̃j (t), ũj (t), T̃ )Ýòîòàêîé, ÷òîÇàìåòèì, ÷òî∀ t kx̃j (t)k ≤ ect̃ (kx(0)k + 1);kx̃˙ j (t)k = kϕ(x̃j (t), ũj (t))k ≤ M ;Ò.åèìååòìåñòîðàâíîìåðíàÿîãðàíè÷åííîñòüíîðìû.Çàìåòèì,÷òîòàêêàêàáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò ñâîåé ïðîèçâîäíîé, òîèìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî:kx̃j (t1 ) − x̃j (t2 )k ≤ M |t1 − t2 |, t1 , t2 ∈ [0, T̃ ];55ïîýòîìó ïî òåîðåìå Àðöåëà ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüx̃jm (·) ⇒ x̂(·)Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:xm := x̃jm ;um := ũjm ;Tm := T̃jm ;Òîãäà â íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõxm (·) ⇒ x̂(·)íàÄàëåå[0, T̃ ], Tm → T̂ , x̂(0) = lim xm (0) = x0 .m→∞kxm (T̂ ) − x1 k = kxm (T̂ ) − xm (Tm )k ≤ M |T̂ − Tm | → 0 (m → ∞);Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè,x̂(T̂ ) = lim xm (T̂ ) = x1 ;m→∞Ïóñòüt0 ∈ [0, T̂ ]è ñóùåñòâóåò˙ 0 ).x̂(tàññìîòðèì ìíîæåñòâîV = ϕ(x̂(t0 ), U ) = {ϕ(x̂(t0 ), u) : u ∈ U };ïî óñëîâèþ òåîðåìû ýòî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì, îãðàíè÷åííûì, âûïóêëûì.ÑëåäîâàòåëüíîεV âûïóêëîå êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî.

àññìîòðèì ε > 0, è ïóñòü Vε V , ò.åîêðåñòíîñòü ìíîæåñòâàVε = {y ∈ Rn : ∃ z ∈ V, ky − zk ≤ ε}Ïî ýòîìóε>0ïîäáåðåì òàêîåδ,÷òî0 < δ,èkx̃1 k ≤ ect̃ (kx(0)k + 1);kx̃2 k ≤ ect̃ (kx(0)k + 1);âëåêóòkx̃1 − x̃2 k ≤ δ∀u∈Ukϕ(x̃1 , u) − ϕ(x̃2 , u)k ≤ ε ñèëó ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè óíêöèèmϕíà êîìïàêòå, òàêîåìîæíî âûáðàòü òàêèì, ÷òîδkxm (·) − x̂(·)k ≤ ;2Ââåäåì îáîçíà÷åíèåη=δ,2Mòîãäà åñëè|t − t0 | ≤ η ,kxm (t) − xm (t0 )k ≤|t − t0 | ≤ η ⇒ kxm (t) − x̂(t0 )k ≤ δòîδ2àññìîòðèìkϕ(xm (t), um (t)) − ϕ(x̂(t0 ), um (t))k ≤ εϕ(x̂(t0 ), um (t)) ∈ V56δñóùåñòâóåò, èÑëåäîâàòåëüíî, èç ïîñëåäíèõ äâóõ âûðàæåíèé âûòåêàåò, ÷òîϕ(xm (t), um (t)) ∈ VεÇàïèøåì ñîîòíîøåíèå:1xm (t) − xm (t0 )=t − t0t − t0Ztẋm (s)dst0Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäñòâèåì 19.2 è ïîëó÷èì, ÷òîxm (t) − xm (t0 )∈ Vεt − t0Ñëåäîâàòåëüíîx̂(t) − x̂(t0 )∈ Vε ïðè |t − t0 | ≤ η;t − t0˙ 0 ) = lim x̂(t) − x̂(t0 ) ∈ Vε ;x̂(tt→t0t − t0Òàê êàê ïîñëåäíåå âåðíî äëÿ ëþáîãîñëîâàìèû(t0 ) := u˙ 0 ) ∈ V , äðóãèìèε > 0, òî èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî x̂(t˙ 0 ) = ϕ(x̂(t0 ), u)x̂(tu ∈ U; òàêîå óïðàâëåíèå, ÷òî âî âñåõ òî÷êàõ äèåðåíöèðóåìîñòèx̂(·)èìååòìåñòî óñëîâèå äèåðåíöèàëüíîé ñâÿçè.

Âî âñåõ ýòèõ òî÷êàõ òàêóþ óíêöèþ ìîæíîâûáðàòü èçìåðèìîé. Ýòîò àêò îáóñëîâëåí ëåììîé îá èçìåðèìîñòè, êîòîðóþ ìûäîêàçûâàòü íå áóäåì. Ïîýòîìó ïî ìîäóëþ ýòîé ëåììû òåîðåìà Ôèëëèïîâà äîêàçàíà.Çàäà÷à 12 Äîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå âûïóêëîñòè â òåîðåìå Ôèëëèïîâàñóùåñòâåííî.Óêàçàíèå: ðàññìîòðåòü çàäà÷óT → min;x(0) = −1; x(T ) = 0;y(0) = y(T ) = 0;ẋ = −y 2 + u2 ; ẏ = u; |u| ≤ 1.20Òåîðåìà ÊóíàÒàêêåðàÊàðóøà.Òåîðåìà 20.1 (ÊóíàÒàêêåðàÊàðóøà) Ïóñòü X ËÍÏ, A ⊂ X âûïóêëî, âûïóêëûå óíêöèè;f0 , . . .

, fm : A → Rf0 (x) → min;fi (x) ≤ 0 (i = 1, . . . , m)Ïóñòü x̂ ∈ A ðåøåíèå (ç). Òîãäà57(ç)1) ñóùåñòâóåò λ̄ = (λ0, . . . , λm) 6= 0̄;à) minL(x, λ̄) = L(x̂, λ̄), ãäåx∈AL=mXλi fi (x);i=0á) λi ≥ 0 (i = 0, . . . , m);â) λifi(x̂) = 0 (i = 1, . . . , m);2) åñëè λ0 > 0, òî óñëîâèÿ à)â)äîñòàòî÷íû;3) åñëè ∃ x̄ ∈ A, fi(x̄) < 0 (i = 1, . . . , m) (ýòî óñëîâèå Ñëåéòåðà), òî λ0 > 0. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî f0 (x̂) = 0. Òîãäà â îáùåì ñëó÷àå ïîëîæèì:f˜0 (x) = f0 (x) − f0 (x̂)è ðàññìîòðèì çàäà÷óf˜0 → min;fi ≤ 0 (i = 1, . . . , m).àññìîòðèì ïðîñòðàíñòâîY = {(y0 , . . . , ym )} = Rm+1B = {(y0 , . .

. , ym ) < 0 : ∀ i yi < 0}Çàìåòèì, ÷òîBâûïóêëî,intB 6= ∅ÏóñòüC = {(y0 , . . . , ym ) : ∃ x ∈ A f0 (x) ≤ y0 ; . . . ; fm (x) ≤ ym }′C . àññìîòðèì y, y ∈ C , α ≥ 0, β ≥ 0 : α+β =ìíîæåñòâà C ðàâíîñèëüíî óñëîâèþÈññëåäóåì íà âûïóêëîñòü ìíîæåñòâî1Òîãäà óñëîâèå âûïóêëîñòè′αy + βy ∈ CÏðîâåðèì óñëîâèå (*): èìååì, ñóùåñòâóþò(*)′′′x, x : ∀ i fi (x) ≤ yi , fi (x ) ≤ yi′′Òîãäà′fi (αx + βx ) ≤ αfi (x) + βfi (x ) ≤ αyi + βy ⇒ (∗)C âûïóêëî.

Ýàìåòèì, ÷òî B ∩ C = ∅, òàê êàê ây ∈ B ∩ C , òî ñóùåñòâóåò x : fi (x) ≤ yi < 0, è ìû ïîëó÷àåìýêñòðåìàëüíîñòüþ óíêöèè x̂(·).Èòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òîïðîòèâíîì ñëó÷àå, åñëèïðîòèâîðå÷èå ñÏî òåîðåìå îá îòäåëèìîñòè ñóùåñòâóåòìåñòî íåðàâåíñòâî:èëè, äðóãèìè ñëîâàìè,λ̄ ∈ Y \ {0} : ∀ y ∈ B, ∀ z ∈ C( λ̄, y ) ≤ ( λ̄, z )∀ y ∈ B, ∀ z ∈ CmXi=058λi yi ≤mXi=0λi zièìååòãäåλi òåÏóñòüñàìûå ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà, êîòîðûå ìû èùåì.zi = fi (x) (x ∈ A),òîãäà∀y∈BmXi=0Çàèêñèðóåìi0 , x,λ i yi ≤yi0 →∞λi0 < 0,òîlim = ∞⇒P≤ 0.Íî,i=0mXi=0λi fi (x) −Xλi yii6=i0 ,0≤i≤mïðîòèâîðå÷èå. Ïîýòîìó ñ÷èòàåì, ÷òî0=Ñëåäîâàòåëüíîλi fi (x)òîãäàlim λi0 yi0 ≤ÅñëèmXlimy→0, y∈BmXi=0λ i yi ≤mX∀ i λi ≥ 0λi fi (x)i=0mPPλi fi (x) ≥ 0 Âîçüìåì x = x̂. àññìîòðèì mi=0 λi fi (x̂). λi ≥ 0, fi ≤ 0i=0PPêàê ìû çíàåì,≥ 0.

Çíà÷èò,= 0 è ∀i 6= 0 λi fi (x̂) = 0 (óñëîâèåäîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè).Èòàê,Pmi=0II ÷àñòü:Ïóñòüλi fi (x) äîñòèãàåòåñëèx∈Aλ0 > 0,ìèíèìóìà â òî÷êåóñëîâèÿ äîñòàòî÷íû. äîïóñòèìàÿ òî÷êà. Òîãäàλ0 f0 (x) ≥mXi=0(èç óñëîâèÿ íåîòðèöàòåëüíîñòèòî÷êåx̂Ò.î.x̂ è ìû äîêàçàëè I ÷àñòü òåîðåìû.λi fi (x) ≥λi ,mXλi fi (x̂) = λ0 f0 (x̂)i=0äîñòèæåíèÿ ìèíèìóìà óíêöèè Ëàãðàíæà âè óñëîâèÿ äîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè).f0 (x) ≥ f0 (x̂),è ìû äîêàçàëè äîñòàòî÷íîñòü.III ÷àñòü: ∃x ∈ A :∀i = 1, . . . , m fi (x) < 0 ⇒ λ0 > 0PmÁóäåì äîêàçûâàòü îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü λ0 = 0.

Òîãäà ïî äîêàçàííîìói=1 λi fi (x) ≥ 0. Ïðè ýòîì λi ≥ 0, fi (x) < 0. Çíà÷èò, λi fi (x) ≤ 0. Íî ñðåäè λiåñòü õîòÿ áû îäíî 6= 0, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî λi fi (x) < 0. Ïðîòèâîðå÷èå. 21Äîêàçàòåëüñòâî ïðèíöèïà Ëàãðàíæà äëÿçàäà÷è ñ îãðàíè÷åíèÿìè òèïà ðàâåíñòâ èíåðàâåíñòâ â ÷àñòíîì ñëó÷àå.Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå áûëî íàìè ïîëó÷åíî â êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ èç ïðèíöèïàËàãðàíæà, êîòîðûé â îáùåì ñëó÷àå ìû íå äîêàçàëè.

Çäåñü ìû ïðèâåäåì íåçàâèñèìîåäîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ñëåäñòâèÿ.Ñëåäñòâèå 21.1 (ñëåäñòâèå 14.1 èç ïðèíöèïà Ëàãðàíæà) Ïóñòü f. àññìîòðèì çàäà÷ó (∗) :K, R) (i = 0, . . . , m)59i∈ C(U ∩f0 (x) → minfi (x) = 0 (i = 1, . . . , m), x ∈ U ∩ KÏóñòü x̂ locmin â (∗) è ñóùåñòâóåò îäíîñòîðîííÿÿ ïðîèçâîäíàÿ fi′(x̂).Òîãäà ∃λ = (λ0, . . . , λm) 6= 0 :1) äëÿ L(x, λ) = Pmi=0 λifi(x) âûïîëíåíî Lx(x̂, λ) ≥ 0 (⇔ Pmi=0 λifi′(x̂) ≥ 0, ýòîïîêîìïîíåíòíîå íåðàâåíñòâî)2) λ0 ≥ 0 Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïîëîæèì f0 (0) = 0.′Λh = (f1′ (0)[h], .

. . , fm(0)[h]), Λ : Rd = X → Rm .I ñëó÷àé:ΛX = YII ñëó÷àé:ΛX = Rm .àññìîòðèì ëèíåéíûé îïåðàòîð:6= Rm , òîãäà ñóùåñòâóåòâåêòîð (λ1 , . . . , λm ) 6= 0,Pm′îðòîãîíàëüíûé ïðîñòðàíñòâó Y . Çíà÷èò, ∀h ∈ Xλfi=1 i i (0)[h] = 0. Ïîëîæèâ λ0 = 0,Pm′ïîëó÷àåì îòñþäà, ÷òî ∀h ∈ Xi=0 λi fi (0)[h] = 0. Ò.î. ìû íàøëè λi : ïðîèçâîäíàÿLx = 0 è òåì ñàìûì òåîðåìà â ýòîì ñëó÷àå äîêàçàíà.àññìîòðèìÎïðåäåëèìh = (h1 , . . .