С.В. Конягин - Вариационное исчисление и оптимальное управление, страница 6

. . , m)J (·) =Zt1L(t, x(t), ẋ(t))dt + ψ0 (t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 )) → extrt0ψi (t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 )) = 0, (i = (1, . . . , m))34t0 , t1 ∈ int△, △- îòðåçîê,t0 < t1 , x(·) ∈ C 1 (△, Rn )(x(·), t0 , t1 ) - äîïóñòèìà, åñëè ∀t ∈ [t0 , t1 ] (t, x(t), ẋ(t))(t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 )) ∈ V , ψi (t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 )) = 0 (i = 0, .

. . , m)Òðîéêà∈U,(x̂(·), t̂0 , t̂1 ) − locmin, åñëè ∃ε > 0 : ∀ äîïóñòèìîé òðîéêèkx(·) − x̂(·)kC 1 (△,Rn ) < ε, |t0 − t̂0 | < ε, |t1 − t̂1 | < ε âûïîëíåíîÄîïóñòèìàÿ òðîéêà(x(·), t0 , t1 )òàêîé, ÷òîJ (x(·), t0 , t1 ) ≥ J (x̂(·), t̂0 , t̂1 ).Òåîðåìà 13.1 (x̂(·), t̂ , t̂ ) ñëàáûé ýêñòðåìóì â çàäà÷å01J (x(·), t0 , t1 ) =Zt1t0L(t, x(t), ẋ(t))dt + ψ0 (t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 )) → extrψi (t0 , x(t0 , t1 , x(t1 )) = 0 (i = 1, . . .

, m) íåïðåðûâíû íà U, ψi ∈ C 1(V ). Òîãäà1) âûïîëíåíî óðàâíåíèå Ýéëåðà dtd L̂ẋ(t) = L̂x(t)2) ∃λ = (λ0, . . . , λm) 6= 0 :L, Lx , LẋL(x(·), t0 , t1 , λ) = λ0 J (x(·), t0 , t1 ) +=ZmXλi ψi (t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 )) =i=1t1λ0 L(t, x(t), ẋ(t))dt + ψ(t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 ))t0Ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:à) òðàíñâåðñàëüíîñòèλ0 L̂ẋ (t0 ) = ψ̂x(t0 )λ0 L̂ẋ (t1 ) = −ψ̂x(t1 )á) ñòàöèîíàðíîñòè ïî t0, t1: L̂t0,. Áîëåå ïîäðîáíî:= 0 L̂t1 = 0dL(x̂(·), t0 , t̂1 , λ)|t0 =t̂0 = 0dt0dL(x̂(·), t̂0 , t1 , λ)|t1 =t̂1 = 0dt1Çàäà÷à 6 Äîêàçàòü òåîðåìó (n=1).Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî ïðîâåäåííîìó äëÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêîé çàäà÷è. Îòëè÷èåëèøüâ1òîì,÷òî2X = C (∆) × Râäàííîéñ íîðìîéçàäà÷åóíêöèîíàëäåéñòâóåòâïðîñòðàíñòâåk(x(·), t0 , t1 )k = max(kx(·)kC 1 (∆) , |t0 |, |t1 |).Çàìåòèì òàêæå, ÷òî â ðàññìîòðåííîé çàäà÷åt0èt1ìîãóò áûòü èêñèðîâàíû.Òîãäà ïðîñòî íóæíî íå áðàòü ïðîèçâîäíóþ ïî èêñèðîâàííûì êîíöàì.Çàäà÷à 7 Ïðèâåñòè ïðèìåð çàäà÷è ñ ïîäâèæíûìè êîíöàìè, â êîòîðîéîáÿçàòåëüíî λ0 = 0.3514Çàäà÷à ñ îãðàíè÷åíèÿìè òèïà ðàâåíñòâ èíåðàâåíñòâ.Òåîðåìà 14.1 Ïóñòü X ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî (ËÍÏ), U,′intU ⊂ X fi ∈ C(U, R) (i = 1, .

. . , m ) íåêîòîðûé íàáîð óíêöèèé,=A = {x ∈ U : fi (x) ≤ 0 (i = 1, . . . , m′ )}x̂ ∈ A, ∃fi′ (x̂) = x∗i (i = 1, . . . m′ )Ïóñòü òàêæå îïðåäåëåíû óíêöèè f0, fm +1, . . . , fmóñëîâèå "äèåðåíöèðóåìîñòè" â òî÷êå x̂ :′∈ C(A, R)è âûïîëíåíî∃x∗i ∈ X ∗ , fi (x) = fi (x̂) + hx∗i , x − x̂i + o(kx − x̂k)ïðè x ∈ A, x → x̂ (i = 0, m′ + 1, . . . , m)Çàìåòèì, ÷òî x∗i êàê áû ïðîèçâîäíàÿ fi â òî÷êå x̂ (i = 0, m′ + 1, . .

. , m). Íîãîâîðèòü, ÷òî ýòî ïðîèçâîäíàÿ, íåëüçÿ, ò.ê. îáëàñòü A ìîæåò è íå ñîäåðæàòüíèêàêóþ îêðåñòíîñòü x̂, êàê, íàïðèìåð, íà ñëåäóþùåì ðèñóíêå:f1 > 0Ax̂f2 > 0✣îêðåñòíîñòü x̂èñ. 8: îáëàñòüAçàêëþ÷åíà ìåæäó äâóìÿ êðèâûìè, êîòîðûå êàñàþòñÿ â òî÷êåx̂Äàëåå ðàññìàòðèâàåì ýêñòðåìàëüíóþ çàäà÷ó (∗) :f0 (x) → min,fi (x) ≤ 0 (i = 1, . . . , m′ ),fi (x) = 0 (i = m′ + 1, . . . , m)Ïóñòü x̂ lomin äëÿ (∗). Òîãäà ∃λ = (λ0, .

. . , λm) 6= 0 : âûïîëíåíû ñëåäóþùèåóñëîâèÿ:1) ñòàöèîíàðíîñòè Pmi=0 λix∗i = 0;2) íåîòðèöàòåëüíîñòè λi ≥ 0 (i = 0, . . . , m′);3) äîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè λifi(x̂) = 0 (i = 1, . . . , m′)Çàìåòèì, ÷òî çäåñü, êîíå÷íî, ìîæíî áûëî íàïèñàòü è (i = 1 . . . , m), íî ýòî èòàê âûïîëíÿåòñÿ äëÿ îãðàíè÷åíèé òèïà ðàâåíñòâ.Äîêàçûâàòü äàííóþ òåîðåìó íå áóäåì.Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ëèøü ÷àñòíûé ñëó÷àé ýòîé òåîðåìû, à èìåííî êîãäàâñå óíêöèèfiîïðåäåëåíû â îêðåñòíîñòèñëó÷àÿ:36x̂.Ïåðåîðìóëèðóåì òåîðåìó äëÿ ýòîãîÒåîðåìà 14.2 Ïóñòü X ËÍÏ, U = intU ⊂ X , f; òàêàÿ, ÷òî=(i = 0, . .

. , m) (çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå âñåóæå ïîëíîïðàâíûå ïðîèçâîäíûå óíêöèè fi), x̂ lomin â .Òîãäà ∃λ = (λ0, . . . , λm) 6= 0: äëÿ óíêöèè Ëàãðàíæàâûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1) ñòàöèîíàðíîñòè Lx(x̂; λ) = 0 (⇔ Pmi=0 λifi′(x̂) = 0);2) íåîòðèöàòåëüíîñòè λi ≥ 0 (i = 0, . . . , m′);3) äîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè λifi(x̂) = 0 (i = 1, . . . , m′)i∃fi′ (x̂)x∗i∈ C(U, R) (i = 0, .

. . , m) x̂ ∈ Ux∗i(∗)PmL(x; λ) =i=0 λi fi (x) òàêîì âèäå äàííàÿ òåîðåìà î÷åíü ïîëåçíà. Íî è åå äîêàçûâàòü ìû íå áóäåì.Âìåñòî ýòîãî ñîðìóëèðóåì îäíî ïîëåçíîå ñëåäñòâèå, êîòîðîå íàì ïîíàäîáèòñÿ âñêîðîì áóäóùåì.àññìîòðèì ïðîñòðàíñòâîX = Rd = {x = (x1 , . . . , xd )}.ÏóñòüK = {x : x ≥ 0 ⇔ x1 ≥ 0, . . .

, xd ≥ 0}Ïóñòü òàêæåÎïðåäåëèìx̂ = 0, x̂ ∈ U = intU ;îäíîñòîðîííþþðàññìîòðèìïðîèçâîäíóþâf : U ∩ K → R.íóëå(îáîçíà÷àòüååáóäåìêàêîáû÷íóþ, íî ïîäðàçóìåâàòü îäíîñòîðîííþþ): ïóñòüf (x) = f (0) + hx∗ , xi + o(kxk)(x ∈ K, x → 0)Òîãäàf ′ (0) = x∗áóäåì íàçûâàòü îäíîñòîðîííåé ïðîèçâîäíîé â íóëå.àññìîòðèì áàçèñíûå âåêòîðàej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0),ãäå 1 ñòîèò íàj -ììåñòå.Òîãäà∗hx , xi =dXi=1xi x∗i , x∗j = hx∗ , ej iÑîðìóëèðóåì òåïåðü óïîìÿíóòîå âûøå ñëåäñòâèå:Ñëåäñòâèå 14.1 Ïóñòü fi.

àññìîòðèì çàäà÷ó (∗) :∈ C(U ∩ K, R) (i = 0, . . . , m)f0 (x) → minfi (x) = 0 (i = 1, . . . , m), x ∈ U ∩ KÏóñòü x̂ locmin â (∗) è ñóùåñòâóåò îäíîñòîðîííÿÿ ïðîèçâîäíàÿ fi′(x̂).Òîãäà ∃λ = (λ0, . . . , λm) 6= 0 :1) äëÿ L(x, λ) = Pmi=0 λifi(x) âûïîëíåíî Lx(x̂, λ) ≥ 0 (⇔ Pmi=0 λifi′(x̂) ≥ 0, ýòîïîêîìïîíåíòíîå íåðàâåíñòâî)2) λ0 ≥ 037Îïðåäåëèì óíêöèèϕi (x) = −xi (i = 1, . . . , d) îïðåäåëåíû âåçäåϕi (x) = fi−d (x) (i = d + 1, . . . , d + m), ϕ0 (x) = f0 (x) îïðåäåëåíû âU ∩KÒîãäà èñõîäíàÿ çàäà÷à çàïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:ϕ0 (x) → minϕi (x) ≤ 0 (i = 1, . . . , d)ϕi (x) = 0 (i = d + 1, . . .

, d + m)Ïîëîæèìx∗i = ϕ′i (0).Çàìåòèì,÷òîäëÿíåêîòîðûõiýòîîäíîñòîðîííÿÿíåñîäåðæàòåëüíî,ïðîèçâîäíàÿ, à äëÿ îñòàëüíûõ îáû÷íàÿ, à èìåííî:x∗0 = f0′ (0)′x∗i = fi−d(0) (i = d + 1, . . . , d + m)hx∗i , xi = −xi (i = 1, . . . , d)Òåïåðü ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèíöèïîì Ëàãðàíæà:∃µ = (µ0 , . . . , µd+m ) 6= 0 :Pd+m∗1)i=0 µi xi = 02)µi ≥ 0 (i = 0, . . . , d)Çàìåòèì,÷òîóñëîâèåäîïîëíÿþùåéíåæåñòêîñòèçäåñüïîýòîìó ìû åãî è íå ïèøåì.Äàëåå èìååì0=hm+dXi=0µi x∗i , ej i(0, i 6= j= {hx∗i , ej i =−1, i = j=hµ0 x∗0ò.ê. ýòî= hµ0 x∗0 +Îòñþäà, âñïîìèíàÿ, ÷òîµj ≥ 0,hµ0 x∗0m+dX+i=d+1i-ÿµi x∗i , ej i+i=d+1µi x∗i , ej i − µjïîëó÷àåì:+i=1µi hx∗i , ej i =êîîðäèíàòà âåêòîðàm+dXm+dXdXi=d+1µi x∗i , ej i ≥ 038ejñî çíàêîì−} =j -ÿêîîðäèíàòà âåêòîðà∗òîëüêî òîãäà, êîãäà µ0 x0Ïîëîæèì+µ x∗0 +P0 m+d∗i=d+1 µi xi íå ìåíüøå íóëÿ äëÿ ëþáîãî∗∗′i=d+1 µi xi ≥ 0.

Çäåñü, íàïîìíèì, xi = fi−d (0).µi = λi−d , λ0 = µ0 .µ0 x∗0 +Pm+dm+dXµi x∗i = λ0 f0′ (0) +λíàéäåí.Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèì,d+mXi=d+1λi−d fi−d (0) ≥ 0 ⇔mXλi fi′ (0) ≥ 0Îñòàëîñüïîêàçàòü,⇔èñêîìûéòîãäà èÒîãäài=d+1Ò.î.jλ = 0.i=1λ = (λ0 , . . . , λm ) 6= 0.∀j = 1, . . . , d µj = 0, ò.ê.Íî òîãäàhµ0 x∗0 +m+dXi=d+1Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå ñ óñëîâèåì÷òîµi x∗i , ej i = µj(µ0 , . . . , µm+d ) 6= 0.Çàäà÷à Ëàãðàíæà.15àññìîòðèì åùå îäíó ýêñòðåìàëüíóþ çàäà÷ó, çàäà÷ó Ëàãðàíæà.

Êàê ìû óâèäèì, âñåðàññìîòðåííûå ðàíåå çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè çàäà÷è Ëàãðàíæà.àçîâàÿóïðàâëåíèåì.∆ = [a, b] ⊂ R, a < b, x(·) ∈ C 1 (∆, Rn ) òàê íàçûâàåìàÿr. Ïóñòü çàäàíà óíêöèÿ u(·) ∈ C(∆, R ), êîòîðóþ íàçîâåìt0 < t1 , t0 , t1 ∈ int∆.Èòàê, ïóñòüïåðåìåííàÿÏóñòüàññìîòðèì ÷åòâåðêóξ = (x(·), u(·), t0 , t1 )óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ.x, íî íåïîñðåäñòâåííî âûáèðàòü åå ìû íå"óïðàâëåíèå" óíêöèåé u, êîòîðàÿ "êîñâåííîÍà ñàìîì äåëå íàñ èíòåðåñóåò óíêöèÿìîæåì. Âñå, ÷òî íàì äîñòóïíî ýòîâëèÿåò" íàx.Îòñþäà è ïîÿâèëîñü íàçâàíèåóïðàâëåíèå. Íàïðèìåð, òàêàÿ ñèòóàöèÿâîçíèêàåò ïðè äâèæåíèè ðàêåòû, êîãäà ìû ìîæåì óïðàâëÿòü óñêîðåíèåì, êîñâåííîâëèÿÿ íà ñêîðîñòü ðàêåòû.Äàëåå èìååìẋ = ϕ(t, x, u)äèåðåíöèàëüíàÿ ñâÿçü.Òàêæå çàäàíî ìíîæåñòâî óíêöèîíàëîâBi (ξ) =Zt1fi (t, x(t), u(t))dt + ψi (t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 ))t0àññìîòðèì ñëåäóþùóþ ýêñòðåìàëüíóþ çàäà÷ó:B0 (ξ) → minBi (ξ) ≤ 0 (i = 1, .

. . , m′ )Bi (ξ) = 0 (i = m′ + 1, . . . , m)39ẋ(t) = ϕ(t, x(t), u(t))Ïðè ýòîìfi , ψi , ϕíåïðåðûâíû.äîïóñòèìûé óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ,ξ ϕ(t, x(t), u(t)), t ∈ [t0 , t1 ]åñëèBi (ξ)îïðåäåëåíû,îïðåäåëåíàè âûïîëíåíû îãðàíè÷åíèÿ òèïà íåðàâåíñòâ, ðàâåíñòâ èäèåðåíöèàëüíàÿ ñâÿçü.Çàìåòèì, ÷òî â äàííîé çàäà÷å íåò îãðàíè÷åíèé íà óïðàâëåíèå â îòëè÷èå îòîïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, êîòîðóþ ðàññìîòðèì ïîçæå.Äîïóñòèìûé óïðàâëÿåìûé ïðîöåñññìûñëå, åñëè ∃ ε> 0:ξˆ íàçûâàåòñÿçàäà÷èîïòèìàëüíûì â ñëàáîìäëÿ ëþáîãî äîïóñòèìîãî óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññàξòàêîãî,÷òîkx(·) − x̂(·)kC 1 (△,Rn ) < ε;ku(·) − û(·)kC(△,Rr ) < ε;|t0 − t̂0 | < ε;|t1 − t̂1 | < ε;âûïîëíåíîˆ.B0 (ξ) ≥ B0 (ξ)Òåîðåìà 15.1 (íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè)Ïóñòü fi , ϕ íåïðåðûâíû âìåñòå ñ ïðîèçâîäíûìè ïî x, u, ïóñòü òàêæå; Ïóñòü ξˆ îïòèìàëüíûé óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ.

Òîãäà ñóùåñòâóåò íàáîðìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà, ò.å. ∃ (λ̄, p(·)) 6= 0, ãäå λ = (λ0, . . . , λm), p(·) ∈ C 1(△, Rn) :ψi ∈ C 1L(ξ, λ̄, p(·)) ==Zt1t0mXi=0λi Bi (ξ) +Zt1hp(·), ẋ(·) − ϕ(·, x, u)i dt =t0L(t, x(t), ẋ(t), u(t)) dt + l(t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 ))|{z}{z}|ëàãðàíæàíòåðìèíàíòè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1) óðàâíåíèå Ýéëåðà : dtd L̂ẋ(t) = L̂x(t) ∀ t ∈ [t̂0, t̂1];2) óñëîâèÿ òðàíñâåðñàëüíîñòè L̂ẋ(t̂i) = (−1)i · ˆlx(t ) (i = 0, 1);3) ñòàöèîíàðíîñòü ïî ïîäâèæíûì êîíöàì : L̂t = 0 (i = 0, 1);4) ñòàöèîíàðíîñòü ïî óïðàâëåíèþ : L̂u(t) = 0 ∀ t ∈ [t̂0, t̂1];5) íåîòðèöàòåëüíîñòü : λi ≥ 0 (i = 0, . . .

, m );6) äîïîëíÿþùàÿ íåæåñòêîñòü : λiBi(ξ)ˆ = 0 (i = 1, . . . , m );ii′′Áåç äîêàçàòåëüñòâà.Çàìåòèì, ÷òî åñëèt0èëèt1èêñèðîâàííû, òî ìû ïðîñòî íå ïèøåì óñëîâèåñòàöèîíàðíîñòè ïî ýòîìó êîíöó.40Ïîêàæåì, ÷òî ïðîñòåéøàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé Ëàãðàíæà:Zt1f (t, x(t), ẋ(t))dt → min;t0x(t0 ) = x0 ;x(t1 ) = x1 ;(åñëè íåò îãðàíè÷åíèé òèïà íåðàâåíñòâ, òî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ýòó çàäà÷ó íàýêñòðåìóì.)Òåïåðü ïîëîæèì:u := ẋ, ξ = (x(·), u(·));Zt1B0 (ξ) = f (t, x(t), u(t))dt → min;t0B1 (ξ) = x(t0 ) − x0 = 0;B2 (ξ) = x(t1 ) − x1 = 0;ẋ(t) − u(t) = 0;Ñëåäîâàòåëüíî ïðîèçîøëî ñâåäåíèå ê çàäà÷å Ëàãðàíæà.ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå èìååì:L=Zt1(λ0 f (t, x(t), u(t)) + p(t)(ẋ(t) − u(t)))dt+t0+λ1 (x(t0 ) − x0 ) + λ2 (x(t1 ) − x1 );1)ṗ(t) = λ0 fˆx (t);2)p(t0 ) = λ1 , p(t1 ) = −λ2 ;3) ýòî óñëîâèå ìû íå ïèøåì, òàê êàê ó íàñ íåò ïîäâèæíûõ êîíöîâ.4)λ0 fˆu (t) = p(t);Çàìåòèì, ÷òî åñëèλ0 = 0, òî p(·) = 0 è λ1 = λ2 = 0, ïîýòîìóλ0 = 1 (6= 0).

Âûâîä óðàâíåíèÿ Ýéëåðàîáùíîñòè ïîëîæèì, ÷òîáåç îãðàíè÷åíèÿäëÿ ïðîñòåéøåéçàäà÷è íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà.Çàäà÷à 8 Âûïèñàòü íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ çàäà÷è:Zt1L(t, x(t), ẋ(t), ẍ(t))dt → extrt0(è èìååò ìåñòî ïîëíûé íàáîð óñëîâèé ïåðâîãî ïîðÿäêà)Ïîäñêàçêà: L ∈ Cóïðàâëåíèÿ âçÿòü2, â êà÷åñòâå àçîâîé ïåðåìåííîé âçÿòü(x1 , x2 ) = (x, ẋ), â êà÷åñòâåu = ẍ è â êà÷åñòâå óðàâíåíèÿ äèåðåíöèàëüíîé ñâÿçè ïîëîæèòü:(ẋ1 − x2 = 0ẋ2 − u = 04116ÏóñòüÇàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.àçîâàÿ ïåðåìåííàÿ.óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ;△ = [a, b] ⊂ R, x(·) ∈ P C 1 (△, Rn ) u(·) ∈ P C(△, Rr )ξ = (x(·), u(·), t0 , t1 ) Zt1Bi (ξ) = fi (t, x(t), u(t))dt + ψi (t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 ));óïðàâëåíèå.t0B0 (ξ) → min;′Bi (ξ) ≤ 0 (i = 1, .