С.В. Конягин - Вариационное исчисление и оптимальное управление, страница 5

Îáîçíà÷èì1+ẏ 2√. Òîãäà çàäà÷à î áðàõèñòîõðîíå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ýêñòðåìàëüíîéyçàäà÷è (ìíîæèòåëüJ(y(∗)) =1√2gZ x1x0îòáðàñûâàåòñÿ):L(y, ẏ)dx → min;y(x0 ) = y0 ,y èìååò âèä1ẏd,√ z = Ly , z = pdxy1 + ẏ 2Óðàâíåíèå Ýéëåðà äëÿ ýêñòðåìàëèîòêóäàz(·) ∈ C 1 [x0 , x1 ].y(x1 ) = y1Òàê êàêẏ = √z,1 − z227(1)òîẏ(·) ∈ C 1 [x0 , x1 ],èëèy(·) ∈ C 2 [x0 , x1 ].LÏîñêîëüêó èíòåãðàíòâ çàäà÷å (1) íå ñîäåðæèò ÿâíîóðàâíåíèå Ýéëåðà èìååò ïåðâûé èíòåãðàëH = L − ẏLẏ = C ,p1 + ẏ 2ẏ 2p−= C,√yy(1 + ẏ 2 )îòêóäà ïîñëå óïðîùåíèé áóäåì èìåòüÏîñêîëüêó1p=Cy(1 + ẏ 2 )d0=H = ẏdxxdLẏ − Lydxèëèèy(·) ∈ C 2 [x0 , x1 ],òîèëè â äàííîì ñëó÷àåy(1 + ẏ 2 ) = C1 .= 0,y(1 + ẏ 2 ) = C1 óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ Ýéëåðàäëÿ òåõ x, äëÿ êîòîðûõ ẏ(x) 6= 0.

Îäíàêî, åñëè y = const íà íåêîòîðîì èíòåðâàëådLẏ = 0, Ly 6= 0 íà (x′ , x′′ ), è y íå ÿâëÿåòñÿ ýêñòðåìàëüþ.(x′ , x′′ ), òî dxñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿÑäåëàåì çàìåíóóíêöèÿ îòx;ẏ = ctg t,òîãäà ïîëó÷èì:xâûáðàíî òàê, ÷òî(0, π) ∋ t = t(x) íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìàÿC1C1= C1 sin2 t =(1 − cos 2t);21 + ctg t2y=Åñëèãäåy(x) < C1 ,òîẏ 6= 0,ñëåäîâàòåëüíît 6= π/2,dxdy 1C1 sin t cos t=== 2C1 sin2 t = 2y.dtdt ẏctg tÅñëè æåy(x) = C1 ,y(xn ) < C1 .Çíà÷èò,òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòüÒîãäàdx= 2ydtòàêàÿ, ÷òîxn → x,dtdt11|x = lim|xn = lim=.n→∞ dxn→∞ 2y(xn )dx2y(x)ïðè âñåõt.Ïîýòîìóx = C1 t −Ñäåëàåì ïîäñòàíîâêóïðèìåò âèä{xn }τ = 2t.sin 2t C1+ C2 =(2t − sin 2t) + C2 .22Òîãäà â ïàðàìåòðè÷åñêîé îðìå óðàâíåíèå ýêñòðåìàëèC1x=(τ − sin τ ) + C2 ,2y = C1 (1 − cos τ ),228(0 ≤ τ ≤ 2π).(2)y ✻γ✲C2xC2 + 2πC1èñ. 6: Àðêà öèêëîèäû.Êðèâàÿ, ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ êîòîðîé èìåþò âèä (2) íàçûâàåòñÿöèêëîèäû.ÄîèññëåäîâàíèÿÈ.Áåðíóëëèäîêàçàâøåãî, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿöèêëîèäàïîÿâèëàñüâðàáîòàõàðêîéþéãåíñà,èçîõðîííîé, ò.å.

òàêîé êðèâîé, äëÿ êîòîðîé ïåðèîäêîëåáàíèÿ ñêîëüçÿùåé âäîëü íåå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íå çàâèñèò îò íà÷àëüíîãîïîëîæåíèÿ òî÷êè.Ýòî äàëî ïîâîä È. Áåðíóëëèâîñõèòèòüñÿ:Ïðèðîäà âñåãäàäåéñòâóåò ïðîñòåéøèì îáðàçîì, êàê è â äàííîì ñëó÷àå îíà ñ ïîìîùüþ îäíîé è òîéæå ëèíèè îêàçûâàåò äâå ðàçëè÷íûå óñëóãè.Òåïåðü ìû ïîêàæåì, ÷òî äîïóñòèìàÿ ýêñòðåìàëü â çàäà÷å (1) ñóùåñòâóåò èåäèíñòâåííà.Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî, î÷åâèäíî, ïîêàçàòü, ÷òî ÷åðåç òî÷êèAèBïðîõîäèòåäèíñòâåííàÿ àðêà öèêëîèäû âèäà (2).y0 6= y1 . Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè y0 > y1 . Ïðîâåäåìl è îáîçíà÷èì ÷åðåç D òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé l ñ îñüþβ = |AB|/|BD|.àññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà÷åðåç òî÷êèOx.AèBïðÿìóþÂâåäåì ïàðàìåòðÎáîçíà÷èì ÷åðåçγàðêó öèêëîèäû, ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ êîòîðîé1y = (1 − cos τ ).21x = (τ − sin τ ),2y ✻′A =B′A(x0 , y0 )γ0lB(x1 , y1 )π2πD29D′✲xlèñ. 7:′′′Ïðîâåäåì êàñàòåëüíóþ l ê êðèâîé γ ïàðàëëåëüíî l è îáîçíà÷èì ÷åðåç D′′′′òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ l ñ îñüþ Ox. Ïóñòü A = B òî÷êà êàñàíèÿ.

Òîãäà β =′ ′′ ′′|A B |/|B D | = 0. Áóäåì ïàðàëëåëüíî ïåðåíîñèòü ïðÿìóþ l òàê, ÷òîáû òî÷êà′ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ Ox íåïðåðûâíî ïðèáëèæàëàñü ê òî÷êå (π/2, 0). Òîãäà, åñëè A′′′′è B òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ l Ox, òî àáñöèññà A ìîíîòîííî óáûâàåò, àáñöèññà B′ ′′ ′ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, |B D | ìîíîòîííî óáûâàåò ê íóëþ, |A B | ìîíîòîííî âîçðàñòàåò′è îãðàíè÷åíà.

Ïîýòîìó âåëè÷èíà β áóäåò íåïðåðûâíî è ìîíîòîííî ñòðåìèòüñÿ ê′0áåñêîíå÷íîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íåêîòîðûõ îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûõ A = A ,B ′ = B 0 , D′ = D0 ïðèìåò çíà÷åíèå β .Ïðåîáðàçîâàíèåì êîîðäèíàòS1âèäàx = c 1 x′ + c 2 ,(c1 > 0)(3)A. Ïðè ýòîì òî÷êà B ′ ïåðåéäåò â òî÷êó B (â ñèëóïîñòðîåíèÿ), à àðêà öèêëîèäû γ ïåðåéäåò â àðêó öèêëîèäû, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êèA è B . Îáðàòíî, ïóñòü ÷åðåç òî÷êè A è B ïðîõîäèò àðêà öèêëîèäû. Ïðåîáðàçîâàíèåìêîîðäèíàò S2 âèäà (3) ïåðåâåäåì åå â ñòàíäàðòíóþ àðêó γ . Ïðåîáðàçîâàíèå S2 ◦S1 ïåðåâîäèò òî÷êè A′ , B ′ è D′ ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êè A′′ , B ′′ è D′′ , êîòîðûåïðèíàäëåæàò öèêëîèäå, ëåæàò íà ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé ïðÿìîé l è ïðè ýòîì|A′′ B ′′ |/|B ′′ D′′ | = β .

Èç äîêàçàííîãî âûøå âûòåêàåò, ÷òî A′ = A′′ , B ′ = B ′′ , D′ = D′′è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåîáðàçîâàíèå S2 åñòü îáðàòíîå ê S1 .ïåðåâåäåì òî÷êóA′y = c1 y ′â òî÷êóÈòàê, äîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àåïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êèAèB.y0 6= y1ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà àðêà öèêëîèäû,y0 = y1 âûïóñòèì èç òî÷êè D((x0 +x1 )/2) ëó÷è l1 è l2 , ïðîõîäÿùèåA è B ñîîòâåòñòâåííî. Èç òî÷êè D′ (π/2, 0) âûïóñòèì ëó÷è l1′ è l2′ , êîëèíåàðíûå′′′′ëó÷àì l1 è l2 . Ïóñòü A è B òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé l1 è l2 ñ êðèâîé γ . Òîãäà′ ′ïîëîæèì c1 = |A D |/|AD|, c2 = π/2 − D è áóäåì äàëåå ðàññóæäàòü êàê ïðè ðàçáîðåñëó÷àÿ y0 6= y1 . ñëó÷àå, êîãäà÷åðåçÒàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáûõ òî÷åêy1 > 0,(x0 , y0 )è(x1 , y1 )x0 < x1 , y0 > 0,ýêñòðåìàëü ŷ(·).

Èçòàêèõ, ÷òîäëÿ çàäà÷è (1) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ äîïóñòèìàÿŷ(·) äîñòàâëÿåò àáñîëþòíûé ìèíèìóì â çàäà÷å (1). Äåéñòâèòåëüíî,ýêñòðåìàëü ŷ(·) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ; ïóñòü y(x∗ ) = y∗äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè x∗ < x0 ; òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè (τ, λ), ãäå x0 ≤ τ ≤ x1 ,λ > 0, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ýêñòðåìàëü y(·), ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè (x∗ , y∗ )′è (τ, λ) è îðìóëà u(τ, λ) = y (τ ) îïðåäåëÿåò óíêöèþ íàêëîíà öåíòðàëüíîãî ïîëÿ,îêðóæàþùåãî ýêñòðåìàëü ŷ(·). Åñëè y(·) ëþáàÿ äîïóñòèìàÿ óíêöèÿ äëÿ çàäà÷è1(1) (ò.å. y(·) ∈ C [x0 , x1 ], y(x0 ) = y0 è y(x1 ) = y1 ), òî â ñèëó îñíîâíîé îðìóëûýòîãî ñëåäóåò, ÷òîÂåéåðøòðàññàJ(y(·)) − J(ŷ(·)) =Zx1x0E(x, y(x), u(x, y(x)), ẏ)dx ≥ 0,èáî âñëåäñòâèå âûïóêëîñòè èíòåãðàíòàLíåîòðèöàòåëüíà.30ïîẏóíêöèÿ ÂåéåðøòðàññàEâñþäó11ëàäêàÿ çàäà÷à ñ îãðàíè÷åíèÿìè òèïàðàâåíñòâ.Òåîðåìà 11.1 (Ïðàâèëî Ëàãðàíæà äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà îãðàíè÷åíèé òèïàðàâåíñòâ) Ïóñòü X - ËÍÏ, U = intU ⊂ X , fi : U → R, (i = 1, .

. . , m) - íåïðåðûâíûåóíêöèè. f0(x) → extr, fi(x) = 0 (i = 1, . . . , m); x̂ - lomin, ∃fi (x̂), (i = 0,m . . . , m).Òîãäà ∃λ̄ = (λ0, . . . , λm) 6= 0 è óíêöèÿ (óíêöèÿ Ëàãðàíæà) L(x, λ) = P λifi(x)′òàêàÿ, ÷òî Lx(x̂, λ̄) = 0 ⇔mPi=0i=0λi fi (x̂) = 0′Äëÿ äàëüíåéøåãî äîêàçàòåëüñòâà áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó:Òåîðåìà 11.2(Òåîðåìà Áðàóýðàèëè òåîðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êå) ÏóñòüB(0, r) =- øàð ðàäèóñà .x ∈ Rd : kxk ≤ rr F : B(0, r) → B(0, r)∃y ∈ B(0, r) : F (y) = y.îòîáðàæåíèå.

Òîãäà- íåïðåâíîåÑëåäñòâèå 11.1 (Ñëåäñòâèå îá ε - ñäâèãå) Ïóñòü 0 < ε < r è G : B(0, r) → R- íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå; ∀y∃y ∈ B(0, r) : G(y) = ỹ .,∈ B(0, r) kG(y) − yk ≤ ε ỹ ∈ B(0, r − ε).dÒîãäààññìîòðèì îòîáðàæåíèå âèäà:F (y) = y − G(y) + ỹçàìå÷àåì, ÷òîF (y)- íåïðåðûâíîå, òàê êàê îòîáðàæåíèåG(y)- íåïðåðûâíîå ïîóñëîâèþ. Êðîìå òîãî,kF (y)k ≤ ky − G(y)k + kỹk ≤ ε + (r − ε) = rF : B(0, r) → B(0, r) ⇒∃y ∈ B(0, r) : F (y) = y ⇔ G(y) = ỹ. Ñëåäîâàòåëüíîìîæíî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Áðàóýðà.⇒Òåïåðü ìîæíî ïåðåéòè ê äîêàçàòåëüñòâó ïðàâèëà Ëàãðàíæà: áåç îãðàíè÷åíèÿx̂ - locmin (çàìåòèì, ÷òî äîñòàòî÷íî ïðîâîäèòü äîêàçàòåëüñòâîlocmin, ò.ê óñëîâèå f0 (x) → locmax ⇔ −f0 (x) → locmin.) Ïîëîæèìòàêæå, ÷òî f0 (x̂) = 0 (îïÿòü æå, çàìåòèì, ÷òî ìîæíî ïîëîæèòü f˜0 (x) = f0 (x) − f0 (x̂)è äàëåå ðàññìîòðåòü çàäà÷ó: f0 → min, fi = 0 (i = 1, .

. . , m))îáùíîñòè ïîëîæèìòîëüêî äëÿÂñïîìíèì îïðåäåëåíèå:0, . . . , m), ò.å x̂f0 (x) ≥ 0.x̂- äîïóñòèìà, è⇔ fi (x̂) = 0, (i =∃ε > 0 : ∀x : (kx − x̂k ≤ δ , fi (x) = 0 (i = 1, . . . , m)) ⇒- äîñòàâëÿåò ëîêàëüíûé ìèíèìóì ′′Y =f0 (x̂)[h], . . . , fm (x̂)[h] ∈ Rm+1 , h ∈ Xm + 1. Äàëåå çàìå÷àåì, ÷òî Y - ïîäïðîñòðàíñòâîÒåïåðü ðàññìîòðèìâåêòîðîâ äëèííû- ìíîæåñòâîm+1â R.

Äëÿäîêàçàòåëüñòâà ïîñëåäíåãî íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå àêòû:1.y 1 , y2 ∈ Y ⇒ y 1 + y2 ∈ Y2.y ∈ Y ⇒ αy ∈ Y, α ∈ R31àññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:1) Y 6= Rm+1 ⇒ ∃λ̄ ∈ Rm+1 : ∀y ∈ Y < λ̄, y >= 0ýëåìåíòàì ïîäïðîñòðàíñòâà Y ) ⇔(ò.å âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé âñåì′′< (λ0 , . . . , λm ), (f0 (x̂)[h], . . . , fm (x̂)[h]) >= 0Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â ýêâèâàëåíòíîì âèäå:mXi=0′λi fi (x̂)[h] = 0, ∀h ⇔mX′λi fi (x̂) = 0i=0À ïîñëåäíåå îçíà÷àåò ðàâåíñòâî íóëþ ïðîèçâîäíîé óíêöèè Ëàãðàíæà â òî÷êåm+12) Y = Rx̂.⇒ ∀j = 0, . . .

, m ∃hj ∈ X : ′′f0 (x̂)[hj ], . . . , fm (x̂)[hj ] = (0, . . . , 1, . . . , 0)(1, i = jfi (x̂)[hj ] = δij =0, i =6 j′Ïîëîæèìky = (y0 , . . . , y1 ).mXj=0yj hj k ≤mXj=0fi (x̂ +Îöåíèì âåëè÷èíó|yj |khj k ≤mPyj hj )mXj=0khj k max |yj | ≤j=0,...,mè ïîëîæèìj=0fi (x̂ +mX′yj hj ) = fi (x̂) + fi (x̂)j=0=0+mXj=0ÑëåäîâàòåëüíîG(y) :=f0 (x̂ +mXrmPj=0Èòàê, åñëèmXj=0j=0khj kkykkyk → 0.#yj hj + ō¯ kmXj=0!yj hj k=′yj fi (x̂)[hj ] +ō¯(kyk) = yi + ō¯(kyk)| {z }δijyj hj ), . . .

, fm (x̂ +j=0Ïóñòü"mXmX!yj hj )j=0khj k < δ , kG(y) − yk ≤kyk(kyk < r)2rkyk≤ := ε22ỹ = (−ε, 0, . . . , 0) ⇒ ∃y ∈ B(0, r): G(y) = ỹ ⇔!mXyj hj = −εx̂ +y ∈ B(0, r) ⇒ kG(y) − yk ≤Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîðf0= (y0 , . . . , ym ) + ō¯(kyk) = y + ō¯(kyk)j=032fix̂ +mXyj hjj=0Êðîìå òîãî,k x̂ +mXyj hjj=0{z|!−x̂k ≤ r}x̄!Òåïåðü ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî íàëè÷èå âåêòîðà=0mXx̄j=0khj k < δïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òîïîýòîìó ïóíêò 2) íå èìååò ìåñòà. Òåîðåìà äîêàçàíà ïîëíîñòüþ.12x̂ − locminÈçîïåðèìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à.U = intU ⊂ R2n+1 ; fi : U → R(i = 0, .

. . , m)J0 (x(·)) =Zt1f0 (t, x(t), ẋ(t))dt → extrt0Ji (x(·)) =Zt1fi (t, x(t), ẋ(t))dt = αi (i = 1, . . . , m)(1)t0(x(t0 ) = x0(2) =x(t1 ) = x1x̂(·)U- äîïóñòèìà,åñëèx̂(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ], Rn )è∀t ∈ [t0 , t1 ] (t, x(t), ẋ(t)) ∈(ïîñëåäíåå íåîáõîäèìî äëÿ òîãî, ÷òîáû èíòåãðàëû, çàïèñàííûå âûøå, áûëèîïðåäåëåíû è âûïîëíåíû óñëîâèÿ(1),(2))Òåïåðü ñîðìóëèðóåì íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà äëÿn = 1:Òåîðåìà 12.1 Ïóñòü x̂(·) − locextr, f , (f ) , (f ) - íåïðåðûâíû ∀i = (0, . .

. , m) Òîãäàii xi ẋòàêàÿ, ÷òî óíêöèÿ L(t, x, ẋ) = P λifi(t, x, ẋ) óäîâëåòâîðÿåòi=0dóðàâíåíèþ Ýéëåðà, ò.å ∀t ∈ [t0, t1] dt L̂ẋ(t) = L̂x(t)m∃λ̄ = (λ0 , . . . , λm ) 6= 0àññìîòðèì îòîáðàæåíèåFi : (îêðåñòíîñòü 0âC01 [t0 , t1 ]) → RF0 (h[·]) = J0 (x̂(·) + h(·))Fi (h[·]) = Ji (x̂(·) + h(·)) − αi , (α0 = 0; i = (0, . .

. , m))ĥ(·) = 0 − locextr (ĥ(·) - îáîçíà÷åíèå íóëåâîé óíêöèè.) F0 (h(·)) → extr Fi (h(·)) =0 (i = (1, . . . , m)); Îöåíèì Fi (h(·)) − Fi (0) ïðè h(·) ∈ C01 [t0 , t1 ] è khk1 → 0, èìååì:33Fi (h(·)) − Fi (0) =Zt1˙ + ḣ(t))dt − αi −fi (t, x̂(t) + h(t), x̂(t)=t0˙ +α =fi (t, x̂(t), t̂)dtit0t0Zt1 Zt1 ˙˙dt =fi (t, x̂(t), x̂(t))+ fˆi h(t) + fˆi ḣ(t) + ō¯(|h(t)| + |ḣ(t)|) − fi (t, x̂(t), x̂(t))ẋxZt1 =fˆi h + fˆi ḣ dt + ō¯khk1xẋt0Ñëåäîâàòåëüíî Rt1 ˆFi (0)[h(·)] =fi h + fˆi ḣ dt′xt0ÏóñòüL=L(h(·), λ̄) =mPλi fi ,mPλi Fi (h(·)),ẋòîãäà ïî ïðèíöèïó Ëàãðàíæài=0i=0mXL̂h(·) (0) =⇔∀h(·) ∈ C01 [t0 , t1 ]⇔∀h(·) ∈ C01 [t0 , t1 ]Zt1t0⇔∀h(·) ∈mXi=013∀t ∈ [t0 , t1 ]′λi Fi (0) = 0i=0Zt1 fˆi h + fˆi ḣ dt = 0λixẋt0mX!λi fˆii=0C01 [t0 , t1 ]h+xZt1 t0ÑëåäîâàòåëüíîL̂h(·) (0) = 0mXi=0λi fˆi!ẋ!ḣ dt = 0L̂x h + L̂ẋ ḣ dt = 0dL̂ẋ (t) = L̂x (t) dtÇàäà÷à ñ ïîäâèæíûìè êîíöàìè.U = intU ⊂ R2n+1 , V = intV ⊂ R2n+2 ; L ∈ C(U, R), ψi ∈ C 1 (V, R)(i = 0, .