С.В. Конягин - Вариационное исчисление и оптимальное управление, страница 2

Ïîëó÷èì íåîáõîäèìîå óñëîâèåýêñòðåìóìà:Òåîðåìà 3.1 Ïóñòü- íåïðåðûâíûå, l - íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà.Ïóñòü x̂(·) - ñëàáûé ýêñòðåìóì â (ÇÁ). Òîãäà• ∀t ∈ [t0 , t1 ]•L, Lx , LẋdL̂ (t)dt ẋ= L̂x (t)óñëîâèÿ òðàíñâåðñàëüíîñòè: L̂ẋ(t0) = ˆlx(t ), L̂ẋ(t1) = −ˆlx(t )01( âåêòîðíîì ñëó÷àå: ∀i L̂x˙ (t0) = ˆlx (t ), L̂x˙ (t1) = −ˆlx (t ))iin = 1.Äîêàçûâàåì òîëüêî äëÿ0iÏóñòüi1x0 = x̂(t0 ), x1 = x̂(t1 ), x̂(·)äîñòàâëÿåòñëàáûé ìèíèìóì â (ÇÁ). àññìîòðèì ñíîâà çàäà÷ó (Ç):J(x(·)) =Zt1t0L(t, x(t), ẋ(t))dt → extr, x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1x̂(·) äîñòàâëÿåò ñëàáûé ìèíèìóì. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòükx(·)− x̂(·)kC 1 < ǫ, x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 .

Òîãäà J(x(·))−J(x̂(·)) = (B(x(·))−l(x0 , x1 ))−(B(x̂(·)) − l(x0 , x1 )) = B(x(·)) − B(x̂(·)) ≥ 0.Çàìåòèì, ÷òî è â ýòîé çàäà÷åÒàêèìîáðàçîìóðàâíåíèåòðàíñâåðñàëüíîñòè. Ïóñòüh(·)Ýéëåðà âûïîëíåíî.∈ C 1 [t0 , t1 ].1δB(x̂(·), h(·)) = limα→0 αZt1=ïðîâåðèòü˙ + αḣ(t) dt+L(t, x̂(t) + αh(t), x̂(t)t0+l(x̂(t0 ) + αh(t0 ), x̂(t1 ) + αh(t1 )) −ZÎñòàëîñüZt1t0L̂(t)dt − l(x̂(t0 ), x̂(t1 )) =t1(L̂x (t)h(t) + L̂ẋ (t)ḣ(t))dt+t07óñëîâèÿ1(l(x̂(t0 ) + αh(t0 ), x̂(t1 ) + αh(t1 )) − l(x̂(t0 ), x̂(t1 ))) =α→0 α+ lim=Zt1(L̂x (t)h(t) + L̂ẋ (t)ḣ(t))dt + ˆlx(t0 ) h(t0 ) + ˆlx(t1 ) h(t1 ) = 0t0∈ C 1 [t0 , t1 ]).ïî òåîðåìå Ôåðìà (∀h(·){L̂ẋ (t) íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà â ñèëó îðìóëû ÝéëåðàR t1 dL̂ (t)h(t)dt. Ïîäñòàâëÿÿ â ðàâåíñòâî âûøå, ïîëó÷àåì:t0 dt ẋR t1L̂ẋ (t)ḣ(t)dt =} = L̂ẋ (t)h(t)|tt10 −Ïðîèíòåãðèðóåì ïî ÷àñòÿì:t0L̂ẋ (t)h(t)|tt10 + ˆlx(t0 ) h(t0 ) + ˆlx(t1 ) h(t1 ) = 0.−L̂ẋ (t0 )h(t0 ) + L̂ẋ (t1 )h(t1 ) + ˆlx(t0 ) h(t0 ) + ˆlx(t1 ) h(t1 ) = 0 ⇔⇔ (ˆlx(t ) − L̂ẋ (t0 ))h(t0 ) + (L̂ẋ (t1 ) + ˆlx(t ) )h(t1 ) = 001Âîçüìåì òåïåðü ïðîèçâîëüíóþh,óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì1.h(t1 ) = 0; h(t0 ) = 1.ÒîãäàL̂ẋ (t0 ) = ˆlx(t0 ) ;2.h(t0 ) = 0; h(t1 ) = 1.ÒîãäàL̂ẋ (t1 ) = −ˆlx(t1 ) .Íà ýòîì ìû çàêàí÷èâàåì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.4ÏóñòüÈíòåãðàëû èìïóëüñà è ýíåðãèè.L(t, x, ẋ) = L(t, ẋ) ⇒óðàâíåíèå Ýéëåðà ïðèîáðåòàåò âèä:dL̂ẋ (t) = 0 ⇔ L̂ẋ (t) ≡ const.dtèíòåãðàë èìïóëüñà.Òåïåðüp = L̂ẋ (t).

Òîãäà p(t) ≡ const ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ âèäà: L(t, x, ẋ) = L(x, ẋ) ò.å íåò çàâèñèìîñòè îòx̂(·) ∈ C 2 [t0 , t1 ]. ÒîãäàH(t) = L̂ẋ x̂˙ − L ≡ const. ÏîêàæåìÂâåäåì îáîçíà÷åíèå:èíòåãðàë ýíåðãèèÓðàâíåíèåâðåìåíè,ýòî:d ˙d˙ =H(t) =L̂ẋ x̂ − L(x̂, x̂)dtdtdd˙¨˙¨=L̂ẋ x̂ + L̂ẋ x̂ − L̂x x̂ − L̂ẋ x̂ =L̂ẋ − L̂x x̂˙ = 0dtdtH(t) ≡ constðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ Ýéëåðà, åñëè òîëüêî˙x̂(t)6= 0.Âåêòîðíûé ñëó÷àé àíàëîãè÷åí ðàññìîòðåííîìó âûøå, òîëüêî òåïåðüx̂˙ 1 L̂ẋ x̂˙ = L̂ẋ1 , .

. . , L̂ẋn  ... x̂˙ nÇàìåòèì, ÷òî â âåêòîðíîì ñëó÷àå óñëîâèåH(t) ≡ constäàåò îäíî ñêàëÿðíîåäèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, â òî âðåìÿ êàê âåêòîðíîå óðàâíåíèå Ýéëåðà åñòüñèñòåìà n ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé.8Çàäà÷à 2 Ïîëîæèâ n = 1 è x̂ ∈ C [t , t ], ïðèâåñòè ïðèìåð L(x, ẋ) òàêîé, ÷òî,H(t) = const x̂(·)2- íå ýêñòðåìàëü.012àññìàòðèâàÿ èíòåãðàë ýíåðãèè, ìû ïîëàãàåì, ÷òî x̂(·) ∈ C [t0 , t1 ], òîãäà êàê1ýêñòðåìàëè èùóòñÿ â áîëåå øèðîêîì êëàññå C [t0 , t1 ].

Ïîêàæåì îáîñíîâàííîñòüòàêîãî äîïóùåíèÿ:Òåîðåìà 4.1 Ïóñòü L = L(x, ẋ) ∈ C , ∀t L̂ > 0 èëè ∀t L̂óñëîâèå Ëåæàíäðà) è x̂(·) - ýêñòðåìàëü. Òîãäà x̂(·) ∈ C2ẋẋẋẋ<02( ýòî óñèëåííîå p := Lẋ , p = F (x, ẋ), p(·) ∈ C 1 . Äàëåå èìååì: ∀t F̂ẋ (t) = L̂ẋẋ > 0 èëè F̂ẋ (t) =L̂ẋẋ < 0. Ñëåäîâàòåëüíî ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿòåîðåìîé î íåÿâíîé óíêöèè1 ˙= G x̂(t), L̂ẋ (t) . Çàìåòèì, ÷òî x̂(t) ∈è ïîëó÷èòü, ÷òî ẋ = G(x, p), G ∈ C , x̂(t)1C 1, L̂ẋ (t) ∈ C , ïîñëåäíåå èìååò ìåñòî â ñèëóˆ L̂ẋ (t) ∈ C 1 ⇒ x̂(·)˙ ∈ C 1 è x̂(·) ∈ C 2 .

G x(t),óðàâíåíèÿ Ýéëåðà. Òàêèì îáðàçîì âåêòîðíîì ñëó÷àå óñèëåííîå óñëîâèå Ëåæàíäðàîçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãîDE[t0 , t1 ]îïåðàòîðt ∈ [t0 , t1 ]LẋẋL̂ẋẋ u, u > 0 ∀u 6= 0) èëè äëÿDE< 0 ∀u 6= 0).îïðåäåëåí ( L̂ẋẋ u, uïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí (îïåðàòîðLẋẋîòðèöàòåëüíît∈ëþáîãîÏåðâîåíåðàâåíñòâî â âåêòîðíîì âèäå çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Èââåêòîðíîì   * L̂ẋ ẋ . . .

L̂ẋ ẋu1u1 +1 11 n ..... . .  ..  ,  ..  > 0.ununL̂ẋn ẋ1 . . . L̂ẋn ẋnñëó÷àååñëè5âûïîëíåíîóñèëåííîåóñëîâèåËåæàíäðà,òîC 2.ýêñòðåìàëü åñòü óíêöèÿ êëàññàÂàðèàöèÿ èíòåãðàëüíîãî óíêöèîíàëà ñïîäâèæíûìè êîíöàìè.åêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà:Ì.È.Çåëèêèí"Îïòèìàëüíîåóïðàâëåíèåèâàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå."{x(t, α) : t ∈ △, α ∈ [−α0 , α0 ]}, ãäå △ ∂x ∂x∂2x∃ è íåïðåðûâíû.ïîëîæèì, ÷òî x,,,∂t∂α ∂t∂αàññìîòðèì ñåìåéñòâî óíêöèé âèäà:îòðåçîê íà äåéñòâèòåëüíîé îñè, èt0 (α), t1 (α) ∈ C 1 ([−α0 , α0 ], △).Òåïåðü ìîæíî îïðåäåëèòü èíòåãðàëüíûé óíêöèîíàë, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðàα:J(α) =tZ1 (α)L (t, x(t, α), ẋ(t, α)) dtt0 (α)Ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå, ÷òîL, Lx , Lẋ - íåïðåðûâíû è îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ L òàêàÿ,α.÷òî ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå îïðåäåëåíî äëÿ ëþáîãî9Ââåäåì íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå îáîçíà÷åíèÿ:x̂(t) := x(t, 0); t̂0 := t0 (0); t̂1 := t1 (0); x0 (α) := x(t0 (α), α); x1 (α) := x(t1 (α), α);∂x(t, α) x̂0 := x0 (0); x̂1 := x1 (0); h(t) =∂α α=0Ìû èìååì∂ 2 x(t, α) ∂ ẋ(t, α) ∂ 2 x(t, α) ==ḣ(t) =∂α∂t α=0∂t∂α α=0∂α α=0Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òîx̂- ýêñòðåìàëü.

Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì òàê æå, êàê ìûäåëàëè ïðè ðàññìîòðåíèè çàäà÷è Áîëüöà, ïîëó÷àåìZt̂1 ′′J (0) =L̂x (t)h(t) + L̂ẋ (t)ḣ(t) dt + L̂(t̂1 )t1 (0) − L̂(t̂0 )t0 (0) =′t̂0′′= L̂ẋ (t̂1 )h(t̂1 ) − L̂ẋ (t̂0 )h(t̂0 ) + L̂(t̂1 )t1 (0) − L̂(t̂0 )t0 (0)Çàìåòèì, ÷òî′xi (0) =Ñëåäîâàòåëüíî˙ t̂i )t′ (0) + h(t̂i ),(x(ti (α), α))|α=0 = x̂(iddαãäåi = 0, 1˙ t̂i )t (0) ⇒h(t̂i ) = xi (0) − x̂(i′′′′˙ t̂1 )t′ (0)−L̂ẋ (t̂0 )x′ (0)+L̂ẋ (t̂0 )x̂(˙ t̂0 )t′ (0)+L̂(t̂1 )t′ (0)−L̂(t̂0 )t′ (0) =J (0) = L̂ẋ (t̂1 )x1 (0)−L̂ẋ (t̂1 )x̂(10010′′˙ t̂1 ) − L̂(t̂1 ) t′ (0) + L̂ẋ (t̂0 )x̂(˙ t̂0 ) − L̂(t̂0 ) t′ (0) == L̂ẋ (t̂1 )x1 (0) − L̂ẋ (t̂0 )x0 (0) − L̂ẋ (t̂1 )x̂(1011′′= p(t̂i )xi (0) − H(t̂i )ti (0)i=0i=0Òåì ñàìûì äîêàçàíà òåîðåìà î âàðèàöèè èíòåãðàëüíîãî óíêöèîíàëà, ÷òî â áîëååêîðîòêîé çàïèñè èìååò âèä:dJ = pdx|t̂t̂10 − Hdt|t̂t̂10 .6Ñèëüíûé ýêñòðåìóì â ïðîñòåéøåé çàäà÷åêëàññè÷åñêîãî âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà-Ýðäìàíà.Îïðåäåëåíèå 6.1 P C÷òî1([t0 , t1 ], Rn )- ìíîæåñòâî óíêöèé x : [t0, t1] → Rn òàêèõ,1.

x(·) - íåïðåðûâíà.2. ẋ(·) - ñóùåñòâóåò è íåïðåðûâíà âåçäå çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò,êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê.3. òî÷êè ðàçðûâà ẋ(·) (âêëþ÷àÿ òî÷êè íåñóùåñòâîâàíèÿ ẋ(·)) òî÷êè ðàçðûâàïåðâîãî ðîäà.10Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òîC ⊂ P C1àññìîòðèì ïðîñòåéøóþ çàäà÷ó êëàññè÷åñêîãî âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ äëÿ1óíêöèé x(·) ∈ P C :J(x(·)) =Zt1L(t, x(t), ẋ(t))dt −→ extrt0x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 , L : U → R, U = intU ⊂ R2n+1Îïðåäåëåíèå 6.2 x(·)(t, x(t), ẋ(t)) ∈ U∈P C 1 ([t0 , t1 ], Rn )(Ç)- äîïóñòèìàÿ, åñëè∀t∈[t0 , t1 ]Îïðåäåëåíèå 6.3 x̂(·) - ñèëüíûé ìèíèìóì, åñëè x̂(·) - äîïóñòèìàÿ è ∃ε > 0 ∀äîïóñòèìîéòàêîé, ÷òîx(·) ∈ P C 1 ([t0 , t1 ], Rn )J(x(·)) ≥ J(x̂(·)).||x(·) − x̂(·)||C([t0 ,t1 ],Rn ) < εâåðíîÇàìå÷àíèå 6.1 Åñëè óíêöèÿ x̂(·) ∈ C [t , t ] äîñòàâëÿåò ñèëüíûé ýêñòðåìóì, òîîíà äîñòàâëÿåò è ñëàáûé ýêñòðåìóì. || · ||C 1 ≥ || · ||C ,ò.å101||x(·) − x̂(·)||C 1 < ε ⇒ ||x(·) − x̂(·)||C < ε Òåîðåìà 6.1 Ïóñòü t0≤ t̃0 < t̃1 ≤ t1˜J(x(·))=Zt̃1L(t, x(t), ẋ(t))dt → extrt̃0;(Ç2)Ïóñòü x̂(·) - ñèëüíûé ýêñòðåìóì â çàäà÷å (Ç) è x(t̃0) = x̃0; x(t̃1) = x̃1.

Òîãäà x̂(·)- ñèëüíûé ýêñòðåìóì â (Ç2)x(t̃0 ) = x̃0 x(t̃1 ) = x̃1 Ïîëîæèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî x̂(·) - ñèëüíûé ìèíèìóì â çàäà÷å (Ç). Ïîêàæåì,˜˜÷òî ∃ε > 0 : J(x̃(·))≥ J(x̂(·))∀ äîïóñòèìîé x̃(·) ∈ P C 1 [t̃0 , t̃1 ], Rn òàêîé, ÷òî||x̃(·) − x̂(·)||C ([t̃0 ,t̃1 ],Rn ) < ε.Ïîëîæèì(x̂(t), t ∈ [t0 , t̃0 ] èëè t ∈ [t1 , t̃1 ];x(t) =x̃(t), t ∈ [t̃0 , t̃1 ].Ïðè ýòîì||x(·) − x̂(·)||C([t0 ,t1 ],Rn ) = maxt∈[t0 ,t1 ] |x(t) − x̂(t)| = maxt∈[t̃0 ,t̃1 ] |x(t) − x̂(t)| < εÑëåäîâàòåëüíîJ(x(·)) ≥ J(x̂(·))˜J(x̂(·))= J(x̂(·)) −Zt̃1˙L(t, x̂(t), x̂(t))dt−t0Zt1t̃111˙L(t, x̂(t), x̂(t))dt˜J(x̃(·))= J(x(·)) −Zt̃1˙L(t, x̂(t), x̂(t))dt−t0Çíà÷èò,˜˜J(x̃(·))≥ J(x̂(·))Zt1˙L(t, x̂(t), x̂(t))dtt̃1Ñëåäîâàòåëüíî,x̂(·)- ñèëüíûé ìèíèìóì â (Ç2).Èòàê, äîêàçàíû 2 ñâîéñòâà:′1.x̂ ∈ C [t0 , t1 ]2.x̂ ∈ P C [t0 , t1 ] - ñèëüíûé ýêñòðåìóì è t0 ≤ t̃0 < t̃1 ≤ t1 ⇒ x̂ - ñèëüíûé ýêñòðåìóìíà [t̃0 , t̃1 ].- ñèëüíûé ýêñòðåìóì⇒ x̂- ñëàáûé ýêñòðåìóì.′Òåîðåìà 6.2 Ïóñòü x̂ - ñèëüíûé ýêñòðåìóì ⇒ ∀t ∈ (t , t )01dL̂ẋ (t − 0) = L̂x (t − 0);dtdL̂ẋ (t + 0) = L̂x (t + 0);dt(Çäåñü èìååò ìåñòî ðàçäâîåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà.) x̂(·) ∈ P C 1 ⇒ ∃ t̃0 < täîñòàâëÿåò ñèëüíûé ýêñòðåìóì′x̂(·) ∈ C [t̃0 , t].

àññìîòðèì çàäà÷óâ ñèëó (2), ñëåäîâàòåëüíî, ïî (1) îí:íà[t̃0 , t]. x̂(·)äîñòàâëÿåò èñëàáûé ýêñòðåìóì, îòêóäà, êàê ìû çíàåì, ñëåäóåò óðàâíåíèå Ýéëåðà. Äëÿ ïðåäåëàñïðàâà ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû.àññìîòðèìP = L̂ẋèH = L̂ẋ x̂˙ − L.Òåîðåìà 6.3 (Âåéåðøòðàññà-Ýðäìàíà) Ïóñòü L, L ,′P C [t0 , t1 ]x Lẋ - íåïðåðûâíû è x̂(·)- äîñòàâëÿåò ñèëüíûé ýêñòðåìóì. ⇒ Ôóíêöèè P (·), H(·) ∈ C[t0, t1]Çàìåòèì, ÷òî â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòèäîêàçàòåëüñòâåH(·) ∈ C[t0 , t1 ]ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè.Ïîëîæèì∈˙x̂(·)ýòî óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Ïðè2áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî x̂(·) ∈ C ëåâåå è ïðàâåå îòx̂(·) ∈ C 1 [t0 , τ ], x̂(·) ∈ C 1 [τ, t1 ],ò.å.τ- åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ðàçðûâàïðîèçâîäíîé, è ðàññìîòðèì äâà ñåìåéñòâà óíêöèé: (l)x(r)(t, α) − ëeâîå ñåìåéñòâî óíêöèé (left).x (t, α) − ïðàâîå ñåìåéñòâî óíêöèé (right).(l)(l)(l)(l)t0 (α) = t0 ; t1 (α) = τ + α; x0 (α) = x0 ; x1 (α) = x̂(τ );(r)(r)(l)x (t, 0) = x̂(t), t ∈ [t0 , τ ].