М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 30

Однако вращение плоскости поляризации света, распространяющегося вдоль оптической оси, допустимо только в двух последних из этих групп при условии, чтооптические оси не лежат в плоскости симметрии. В этом случаввдоль обеих осей величина вращения одинакова, а его направлениепротивоположно.1Принципы и результаты такого анализа описаны в книге Ю. И. Сиротинаи М. П. Шаскольской (см. список рекомендованной литературы).Глава 5ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ СИММЕТРИИ5.1. ОТКРЫТЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ С И М М Е Т Р И ИИ ИХ И З О Б Р А Ж Е Н И ЕДля описания симметрии бесконечных периодических фигур,какими являются, в частности, модели кристаллических структур,кроме закрытых элементов симметрии приходится использовать и.открытые.

Особенность последних заключается в том, что соответствующие им симметрические операции содержат в себе поступательное движение. В этом разделе мы дадим лишь общее описаниеоткрытых элементов симметрии; более глубокий (теоретико-групповой) подход к вопросу представлен в разделе 5.7.Существует три типа открытых элементов симметрии: оси трансляций, винтовые оси и плоскости скользящего отражения.Оси трансляций фактически уже были рассмотрены в главе 3.Им в точности соответствуют узловые ряды. Наличие такого рядаозначает, что фигура совмещается сама с собой при сдвиге на величину вектора, соединяющего соседние узлы.Винтовые оси п-го порядка, обозначаемые nq,— это прямые, которые обладают следующим свойством: фигура совмещается самас собой при повороте на угол ср = 360°/я вокруг такой прямой с последующим сдвигом вдоль нее на величину t = tq/n, где t — кратчайшая трансляция по данному направлению, q — целое число.

Нарис. 5.1.1—5.1.4 показаны примеры фигур, обладающих различными винтовыми осями. В конкретных задачах, связанных оиспользованием открытыхэлементовсимметрии,обычно достаточно иметьв виду оси nQ, для которых 0<Q<n, т. е. оси 20,2i; 30, Зь 32; 40, 4Ь 42,43; ... (оси nQ — в сущноРис. 5 1 2. Фигуры с винтовыми осями третьего порядкаа — ось 3i; б — ось 32; в —для сравнения показано действие поворотной оси 3 (или Зо)при наличии трансляции t, направленной вдоль оси1Г.4сти уже не винтовые, а поворотные оси, которые, таким образом,предстают как частный случай винтовых осей) (см.

рис. 5.1.2,в).Фигуры с осями nQ, показанные на рис. 5.1.1—5.1.3, хиральны.Важно обратить внимание на то, что если отразить фигуру сим-г(метрии nQ в плоскости, то полученная фигура будет иметь симметрию nn-Q. Следовательно, оси п$ и /z n _ Q составляют энантиомернуюРис. 5 1 3. Фигуры с винтовыми осями четвертого порядкаа, б — оси 4i и 4з энантиомерны; в, г — ось 4 2 авюэнашиомерпапару (см. раздел 1.8). Такими парами являются оси 3i и 32(рис. 5.1.2), 4! и 43 (рис. 5.1.3), 5i и 54, 52 и 53 и т. д. Оси 2 Ь 42, 63и т. п. автоэнантиомерны, т. е.

каждая из них энантиомерна самапо себе. Например, если отразить в плоскости хиральную фигурусимметрии 42, то получим зеркально равную фигуру той же самойсимметрии (см. рис. 5.1.3, в, г ] .Энантиоморфизм кристаллов очень часто связан именно с тем,что в структуре одной из форм присутствует ось nQ, а в структурезеркально равной формы — ось nn-Q. Именно так дело обстоит вслучае кварца (см. рис. 4.3.6), энантиоморфные кристаллы которого имеют структуры с осями 3i и 32 соответственно.Плоскость скользящего отражения, часто обозначаемая в обтцем случае буквой g,— элемент симметрии, действующий следующим образом: фигура самосовмещается после отражения в этойплоскости и сдвига (скольжения) б или —6 на половину кратчайшей трансляции в некотором направлении, параллельном плоскости (рис. 5.1.5).

В трехмерной фигуре, периодичной по трем измерениям, кристаллографические оси координат всегда можно выбрать так, что сдвиг будет направлен вдоль одной из осей коор155динат, или вдоль граневой, или вдоль объемной диагонали элементарной ячейки. При этом обозначение плоскости скользящегоотражения конкретизируется. Она обозначается буквой а, или Ь,илц с, если сдвиг направлен вдоль оси X, или У, или Z соответственно.

Если же скольжение направлено по диагонали, 1плоскость,параллельная примитивной узловой сетке, обозначается буквой п,а плоскость, параллельная центрированной узловой сетке,обозначается буквой d. Междуплоскостями п и d есть существенные различия. Первая изних допускает сдвиг б или —6вдоль любой из двух диагоналей данной узловой сетки, ивеличина сдвига равна половине длины диагонали. При действии трансляций, соответствующих этой узловой сетке,возникает система точек, изображенная на рис. 5.1.6, а (этуРис. 5.1.4. Бесконечные цепи, присутствующие в полиэтилене (а) и в одной из модификаций селена (б), содержат винтовые оси 2 4 и 3i соответственно.

В полиэтиленовой цепи есть,кроме того, плоскость скользящегоотражениясистемуможнополучить,взяв вкачествеисходнойлюбую из точек). В случае плоскости d сдвиг равен четверти диагонали (но и здесь он составляет половину трансляции,поскольку узловая сетка центрирована). При этом скольжение происходит в направлении лишь одной из двух диагоналей узловойсетки. Размножение некоторой исходной точки под действием такой симметрической операции и двумерной системы трансляцийдает систему точек, показанную на рис. 5.1.6, б.При изображении открытых элементов симметрии на чертежахиспользуют обозначения, приведенные на рис.

5.1.7. Для узловыхрядов нет стандартных обозначений — обычно их вообще не изображают на чертежах, считая, что наличие соответствующих групптрансляций подразумевается само собой. На рис. 5.1.7 показанытакже графические обозначения закрытых элементов симметрии,1К сожалению, общепринятые обозначения плоскостей скользящего отражения совпадают с обозначениями параметров решетки и оси симметрии /г-го порядка. Поэтому здесь приходится ориентироваться на контекст.156Рис. 5.1.5. Плоскость скользящего отражения:а — фигура с плоскостью скользящего отражения; б — для сравнения показано действие плоскости зеркального отражения при наличии трансляцииt, параллельной этой плоскостииспользуемые при изображении групп симметрии периодическихфигур; в некоторых случаях они отличаются от обозначений, принятых для точечных групп.5.2.

СОЧЕТАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИС ТРАНСЛЯЦИЯМИТрансляцию t направленную под произвольным углом по отношению к какому-либо элементу симметрии, можно разложить напараллельную и перпендикулярную составляющие t n и tj_. Поэтому достаточно последовательно рассмотреть ситуации, которые возникают при сочетаниях различных элементов симметрии с трансляциями 1ц И tj_-z+k <+k «if tt, t it* |- z*b^'2 '+A <^z*A-lz*A + ltJfРис.

5 1.6. Действие плоскостей скользящего отражения п и d. Указаны координаты точек по оси Z, лежащей вне плоскости чертежа (единица измерения —период с ) . Эти координаты включают в себя фиксированную координату z ипроизвольное целое число k:а — действие плоскости п, б — действие плоскости dЗакрытыеОткрытые элементы симметрииэлементы симметрииСимвол Ыражение на черт Символ Изображение на чертеже Символ Ыражение на чертежевертик \горизонт\намонвертик \ ?лризонп1( наклонвертцк \ горизонт наклонПлоскостиПоворотные оси1—— —234ff0-^- -*•—<&*А(КП 01 0 — —Инверсионные исио—/77—п М46Рис.—А — —И W -0—2,3,52***гЬз/5&инто8ые оси—&162$3е*е5§^- —Л—Т1& ~&ЛIIди-D0ОО—&40--&-&-кж————————————скользящего отражения\\\а\В——са~1 МПS—-*»- -*• *•М"71.—'- М"7N5.1.7. Графические изображения закрытых и открытых элементовсимметрииНа рис. 5.1.2, в, где в качестве примера фигурирует ось 3, показана картина, к которой приводит комбинация поворотной оси пс трансляцией t,,.

Определение винтовой оси nQ уже подразумеваетсуществование некоторой трансляции, направленной вдоль этойоси. Ясно, что трансляция 1„ ею и является. Специфика инверсионных осей /7 заключается в том, что онинесут на себе особые точки. При сочетании оси п с трансляцией tn возникаетмножествоособыхточек,отстоящихдруг от друга на половину трансляции(этоутверждениебудет доказано вразделе 5.6). В итоге получаются расположения элемен-Рис. 5.2.1 Расположенияэлементовсимметрии,возникающие при сочетании инверсионных осейп с трансляцией t (справа указаны обозначения«дополненных инверснойных осей», о которых говорится в разделе 5.6)^— *-тов симметрии, показанные на рис. 5.2.1.

В случае центра инверсии (ось 1)ориентация трансляциинеиграетроли; сочетание t и 1 дает цепочку центров инверсии, где расстояниемежду ближайшими центрами равно t/2. Трансляция, параллельная оси 2, т. е. перпендикулярная к плоскости т, порождает систему плоскостей т, также отстоящих друг от друга на 1/2. Вполнеаналогичная картина получается и в случае плоскостей скользящего отражения (рис. 5.2.2).Теперь рассмотрим сочетания поворотной, инверсионной иливинтовой оси с перпендикулярной к ней трансляцией tj_. Здесь действует общая теорема (она доказана в разделе 5.6), которую удобно сформулировать, заменив инверсионные осп эквивалентнымизеркально-поворотными осями: при наличии поворотной, винтовойили зеркально-поворотной оси я-го порядка и перпендикулярной кней трансляции tj_ возникает еще одна такая же ось, ориентированная параллельно и проходящая через центр правильного пугольника, плоскость которого перпендикулярна к этой оси, а сторона равна tj_.159Посмотрим, как действует эта теорема применительно к разным осям.

Начнем с поворотной оси 3 (рис. 5.2.3, б). Такая осьобусловливает существование трех симметрически эквивалентныхтрансляций ti, t2, t3, а следовательно, и трансляций —ti, —12,—ts; все эти трансляции лежат в горизонтальной плоскости. СоотI1IIiаРис.5.2.2. Действие перпендикулярной трансляциискользящего отраженияна плоскостьРис.5.2.3. Действие перпендикулярной трансляции на поворотные оси:а — ось 2; б — ось 3; в — ось 4; г — ось 6.

Как будетпоказано ниже, рисунки б, в, г фактически представляютсобой изображение пространственных групп РЗ, Р4 и Р6ветственно наряду с исходной осью, проходящей через точку 00>возникают оси, проходящие через точки О ь 02, Оз, О/, CV, 03'.Кроме того, согласно сформулированной теореме присутствуют оси,которые проходят через центры треугольников, построенных натрансляциях. Ромб 0^0\0-^0^ (или другой из имеющихся здесьромбов) можно считать элементарной ячейкой.160аTH-iЬ|Рис.5 2 4 Действие перпендикулярной трансляции на винтовыеоси:а — ось 2г, б — ось Зг, в — ось 4 А ; г — ось 4 2 ; Э — ось 6г,е — ось 6о; ж — ось 6з. Рисунки б—ж представляют собой изображение пространственных групп P3i, /Mi, Р42, Р6Ь Р62, Р63В случае оси 2 (см.

рис. 5.2.3, а) наличие перпендикулярнойтрансляции tj_ вызывает присутствие аналогичной оси, отстоящейот исходной на t±/2. Специфика действия перпендикулярной трансляции на ось 4 (см. рис. 5.2.3, в) обусловлена тем, что эта осьсодержит в себе ось 2. Поэтому наряду с осями 4, проходящимичерез центры квадратных ячеек, возникают оси 2, проходящие через середины сторон квадрата. Еще более сложная ситуация имеет место для оси 6, которая содержит как ось 2, так и ось 3(рис.