М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 90

состоянияс < 0.Мы знаем асимптотики φ при малых и при больших ρφ(ρ) ∼ ρl+1 , ρ → 0,φ(ρ) ∼ e−ρ/n , ρ → ∞,√1= −2.nВыделим асимптотики из φ:φ(ρ) = ρl+1 · e−ρ/n · u(ρ).Здесь u(ρ) — новая неизвестная функция, она должна при малых ρ вестисебя так, чтобы не испортить асимптотику ρl+1 , а при больших — чтобы неиспортить e−ρ/n :!l(l + 1) 2(l + 1)1l+1 1−+u+φ (ρ) = ρl+1 · e−ρ/n · u + 2u.−ρnρ2nρn2Радиальное уравнение принимает следующий вид:u1u n−l−1l+1+u−+= 0,2ρnρnn−l−1ρρu + 2u l + 1 −+ 2u= 0.nnБудем искать функцию u(ρ) в виде ряда по степеням ρ:u(ρ) =∞k=0C k ρk ,(16.16)500ГЛАВА 16u (ρ) =∞(k + 1)Ck+1 ρk ,u (ρ) =k=0∞(k + 2)(k + 1)Ck+2 ρk ,k=0∞)(k + 2)(k + 1)Ck+2 ρk+1 + 2(l + 1)(k + 1)Ck+1 ρk −k=0−∞k=0!2(n − l − 1)2(k + 1)Ck+1 ρk+1 +Ck ρk = 0,nn!2k2(n − l − 1)Ck ρk = 0,(k + 1)kCk+1 + 2(l + 1)(k + 1)Ck+1 − Ck +nn!∞2(n − l − 1 − k)Ck ρk = 0.(2l + k + 2)(k + 1)Ck+1 +nk=0Отсюда получаем рекуррентную формулу для коэффициентов разложения:Ck+1 = −Ck2(n − l − 1 − k).n(2l + k + 2)(k + 1)(16.17)При больших kCk+1 ≈ Ck( 2 )k2≈ const nnkk!⇒u(ρ) ≈ const · e2ρ/n , ρ → ∞.Это превращает правильную асимптотику φ ∼ e−ρ/n при ρ → ∞ в неправильную асимптотику φ ∼ e+ρ/n , которая тоже удовлетворяет уравнениюШрёдингера, но была откинута, т.

к. такая волновая функция ненормируема.Чтобы сохранить правильную асимптотику на больших расстоянияхнеобходимо потребовать, чтобы ряд по степеням ρ обрывался, т. е. должнобыть такое значение K = 0, 1, 2, . . . , что CK = 0, но2(n − l − 1 − K)=0CK+1 = − CK n(2l + K + 2)(K + 1)⇒n = l + 1 + K ∈ N.=0Таким образом, параметр n, с помощью которого мы параметризовали энергию, должен быть натуральным числом:kK (2l + 1)!(n − l − 1)!2ρu(ρ) = C0.−n(2l + 2 + k)!(n − l − 2 − k)!k!k=016.4.

АТОМВОДОРОДА501С точностью до нормировочного множителя 2ρ kK−nu(ρ) = const ·(2l + 2 + k)!(K − 1 − k)!k!k=0Это полином степени K = n − l − 1.16.4.3. Атом водорода в «старой квантовой механике»*Каждый школьник знает, что атом Бора — это не атом бора, а атом водорода.П. Л. Капица во время посещения Н. Бором Москвы в 1961 г.** Цитируется по книге Белонучкин В. Е., Заикин Д. А., Ципенюк Ю.

М. Основы физики. Курс общей физики: Учебн. В 2 т. Т. 2. Квантовая и статистическая физика / Подред. Ю. М. Ципенюка. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.Интересно, что точный спектр для частицы в кулоновском поле можетбыть получен из квазиклассических соображений. Впервые это было сделано Бором в 1913 году исходя из того, что на классической круговой орбитедолжно умещаться целое число волн де Бройля, это условие соответствуетусловию квантования классического момента импульса при круговом движении: L = pR = nh̄.Отметим, что при этом использовалась не современная квазиклассика, а старая квантовая теория2 . С современным квазиклассическим приближением такой вывод согласуется не полностью, а при последовательном использовании современной квазиклассики результат уже не совпадётс точным решением.Для круговой орбиты радиуса R3&e2 mp2Ue2e2K==− =⇒p=,U =− ,R2m22RR&e2 mnh̄=⇒p 2πR = n2πh̄ ⇒ p =RR1e2 me4 mU==−⇒E=.R2n2 h̄22n2 h̄22 М.

Джеммер. «Эволюция понятий квантовой механики». М.: «Наука», Главная редакцияфизико-математической литературы, 1985. Глава 3. «Старая квантовая теория», стр. 96.3 Для упрощения выкладок мы пользуемся теоремой вириала из теоретической механики,которая для финитного движения в кулоновском поле даёт следующее соотношение междусредними значениями кинетической и потенциальной энергией K = − 12 U , т.

е. E = U.2502ГЛАВА 16Как мы видим, значение энергии в точности соответствует строгомурешению квантовой задачи, однако соответствующий размерный моментимпульсаL = pR = nh̄выходит из диапазона 0, . . . , (n − 1)h̄, который получается в квантовомслучае.В последствии Зоммерфельд обобщил результат Бора на эллиптические орбиты4 с 0 < L nh̄.

L = 0 было исключено, чтобы получить соответствующую эксперименту кратность вырождения. Исключение L = 0мотивировалось тем, что электрон в этом случае сталкивался бы с ядром.Тут чувствуется влияние классической интуиции, в классике случай L = 0имеет нулевую вероятность, и его обычно исключают из рассмотрения.

Насамом деле, как мы знаем, следовало исключить случай L = nh̄, отвечающий боровской круговой орбите, поскольку для круговой орбиты (дажепосле усреднения по периоду!) оказываются одновременно определены радиальная координата и радиальный импульс.(*) Может показаться, что для квазиклассических траекторий координата и импульс всегда определены одновременно, но следует помнить, что встационарном состоянии точно определена энергия, а потому фаза колебания не определена абсолютно, таким образом оценивая неопределённостинадо усреднять по периоду и по симметриям (в данном случае по возможным ориентациям орбиты).В чём было расхождение между выводом Зоммерфельда и современной квазиклассикой? Зоммерфельд исходил из следующих условий квантования, которые не учитывали фазы волновой функции вблизи точек поворота (13.39)11pr dr = 2πh̄(nr + δr ),L dϕ = 2πh̄(nϕ + δϕ ),δr = δϕ = 0.Это соответствует квазиклассике для интеграла по углу, где налагаются периодические граничные условия, но не соответствуют для интеграла по r,где следовало положить δr = 12 .

Также Зоммерфельд при вычислении раL2диального импульса pr исходил из центробежного потенциала 2mr2 , тогдакак правильное квантование момента импульса даёт L(L+h̄).2mr 24 А. Зоммерфельд, «Строение атома и спектры», том. 1, М.: Государственное издательствотехнико-теоретической литературы, 1956.

стр. 102, § 7 «Эллиптические орбиты для атомаводорода».ГЛАВА 17Квантовая и классическая история.Вместо послесловия (ффф)Рассказывают, что один студент проквантовал классическуюмарксистско-ленинскую теорию, а потом пытался изложить результатыпреподавателю на экзамене по научному коммунизму . . .Физтеховский студенческий фольклор17.1. Предварительные извиненияЭту главу не следует воспринимать слишком серьёзно — это всего лишьпопытка применить физическую интуицию к гуманитарным вопросам.

Физика при этом может выступать как образец по-настоящему хорошо работающей теории, а также как метафора. Впрочем, нельзя исключать, чтонекоторые обсуждаемые вопросы окажутся физически осмысленными.17.2. Сослагательное наклонение в истории17.2.1. Классическая неустойчивая динамикаРасхожая фраза «история не имеет сослагательного наклонения» неявно подразумеваетисторический детерминизм в духе лапласовского детерминизма. Более того, неявно подразумевается, что историческая динамика устойчивак малым возмущениям, что противоречит дажеопыту классической механики.Также этот взгляд явно противоречит смыс- Рис.

17.1. Георгий Геннадилу применения теории управления к челове- евич Малинецкий. [фото автора]ческому обществу: задача построения управления — построение системы, чья динамика будет существенно зависеть от504ГЛАВА 17управляющего воздействия, т. е. динамика управляемой системы должнабыть неустойчива по управляющему воздействию. В данном случаеуправляемость⇒неустойчивость по управляющему воздействию(обратное не верно).Самоорганизация общества, при котором оно само приходит в управляемый режим, т. е. получает возможность реагировать на внешнее воздействие как целое, аналогично известному в синергетике явлению самоорганизованной критичности, когда система сама приходит к состоянию, в котором характерный размер флуктуаций (откликов на внешние воздействия)становится сравнимым с масштабом системы.Для построения теоретической истории какнауки, имеющей реальную предсказательную силу не только по отношению к прошлому, но и поотношению к будущему, необходимо, по крайнеймере, использовать наработки кибернетики (теории управления) и синергетики (теории самоорганизации сложных систем).Классическая теоретическая история моглабы предсказывать вероятности тех или иных событий, выявлять периоды бифуркаций (развилок)Рис.

17.2. Исаак Юдович и устойчивого (неуправляемого) развития. ДляОзимов (Айзек Азимов) бифуркаций можно было бы предсказывать харак1965 г. (1920–1992). Wтер и величину управляющего воздействия, повышающего вероятность выбора того или иного пути.В настоящее время в России теоретическая история с точки зрения синергетики развивается в ИПМ им.

М. В. Келдыша РАН группой Г. Г. Малинецкого (проект «Математическая история»). По всей видимости аналогичные разработки (преимущественно закрытого характера) в России и миреведутся, по крайней мере, с середины XX века. В частности, С. Б. Переслегин предполагает, что в САСШ у истоков разработок по теоретической истории мог стоять биохимик (и писатель–фантаст) А.

Азимов. Гипотеза о ролиАзимова основывается на его несомненном интересе к проблеме, проявленном в таких НФ-произведениях, как цикл «Основание» (1951–1988 гг.),«Конец Вечности» (1955 г.), «Непреднамеренная победа» (1964 г.).17.2.2. Квантовая многомировая историяС точки зрения многомировой интерпретации квантовой механики следует считать, что состояние Земли и Человечества описывается суперпози-17.2.