М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 89

Решение обычного одномерного уравнения Шрёдингера16.3. С ВЕДЕНИЕ493К ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИпри нулевом потенциале даёт плоскую волну, амплитуда которой постоянна, а решение радиального уравнения Шрёдингера должно давать сферическую волну, квадрат амплитуды которой (плотность вероятности) спадаеткак r12 , а амплитуда как 1r .Попробуем ввести другую параметризацию волновой функции:R(r) =1φ(r),rψ1 (r, θ, ϕ) =1φ(r) Yl (θ, ϕ).rВероятность dP попадания в заданные интервалы dr, dθ, dϕ:dP = |ψ1 |2 d3 r = |R(r)Yl (θ, ϕ)|2 r 2 sin θ dr dθ dϕ =элемент объёма= |φ(r)Yl (θ, ϕ)|2 sin θ dr dθ dϕ.При переписывании dP через φ(r) исчезает вес r2 , и интегрирование по rидёт точно так же как по обычной декартовой координате, если движениеограничено положительной полуосью.Теперь действие радиальной части лапласиана упрощается:1 ∂ 2 ∂ φ(r)1 ∂ 2 φφ1 ∂φr=r−(rφ.=−φ)=r 2 ∂r∂r rr 2 ∂rrr2r 2 ∂rrПодставляя R = φr в уравнение (16.4) и сокращая во всех членах общиймножитель 1r , получаем уравнение, которое выглядит в точности как обычное стационарное одномерное уравнение Шрёдингера для волновой функции φ:!h̄2 ∂ 2h̄2 l(l + 1)−++ U (r) φ(r) = E1 φ(r).(16.5)2μ ∂r 22μr 2Ĥr(ф) Эффективный одномерный гамильтониан Ĥr содержит совершен22h̄ ∂но обычный одномерный оператор кинетической энергии K̂ = − 2μ∂r 2 ,а потенциальная энергия состоит из собственно потенциальной энер272l(l+1)Lгии U (r) и центробежной энергии h̄ 2μr= 2μr22 .

Мы переписали числитель как среднее значение оператора квадрата размерного момента импульса, чтобы продемонстрировать, что центробежная энергия с точностьюдо шляпок совпадает с классическим случаем.494ГЛАВА 16Получившаяся одномерная задача отличается от стандартной тем, чтокоордината r определена на положительной полуоси 0 r < ∞, причёмиз непрерывности R = φr следует граничное условие на φ, которое можнотрактовать как наличие в нуле бесконечновысокой стенкиφ(0) = 0.(16.6)16.3.1. Асимптотика r → 0Исследуем асимптотику радиального уравнения Шрёдингера (16.5)при r → 0:!h̄2 h̄2 l(l + 1)φ (r) +−φ(0) = 0.

(16.7)+U(r)−E1 φ(r) = 0,2μ2μr 2Главный член при r → 0 в квадратных скобках зависит от того, как ведётсебя при в этом пределе потенциальная энергия U (r).Предположим, что при r → 0 потенциал U (r) ограничен, либо растётне слишком быстро:r→0r 2 U (r) −−−→ 0.Тогда при малых r получаем−h̄2 l(l + 1)h̄2 φ (r) +φ(r) 0,2μ2μr 2r2 φ (r) = l(l + 1) φ(r),r → 0,φ(0) = 0,φ(0) = 0.Линейное однородное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых решения, которые легко подбираются в виде степенных функцийот r:1r l+1 ,.rlГраничному условию φ(0) = 0 удовлетворяет только первое решение, такчто для не слишком быстро растущего в нуле потенциала получаем асимптотикуφ(r) ∼ r l+1 , r → 0⇒ψ1 (r, θ, ϕ) ∼ r l Yl (θ, ϕ), r → 0.(16.8)Если потенциал содержит член, пропорциональный r12 , то его надо будет учитывать наравне с центробежным потенциалом и в результате асимптотика (16.8) собьётся: изменится степень и вместо r l получится r l , где l —некоторый «эффективный момент» (как правило, дробный).16.3.

С ВЕДЕНИЕК ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ495При рассмотрении быстро растущих в нуле притягивающих (отрицательных) потенциалов следует проверить, попадает ли φ в пространствоквадратично-интегрируемых функций L2 (R+ ), т. е. φ(r) должно расти прималых r не быстрее, чем √1r .

Также следует проверить ограничен ли энергетический спектр снизу, т. к. неограниченный снизу энергетический спектрозначает падение частицы на центр с выделением бесконечной энергии.Потенциал − constr 2 оказывается пограничным по обоим критериям.16.3.2. Асимптотика r → ∞При r → ∞ центробежный потенциал стремится к нулю, и главнымчленом оказывается либо U (r), либо E1 .В реальных (не модельных) случаях потенциал на бесконечности стремится к константе, которую можно положить равной нулю, переопределивнулевой уровень энергии.В этом случае получаем на бесконечности уравнение для свободнойчастицы:−h̄2 φ (r) E1 φ(r),2μr → ∞,φ(0) = 0.(16.9)Может показаться, что условие φ(0) = 0 (бесконечновысокая стенкав нуле) в данном случае не важно, но на самом деле оно допускает адекватную переформулировку. Условие φ(0) = 0 означает равенство нулю потокавероятности jr (0) в нуле.

При этом выполняется уравнение непрерывностидля одномерной радиальной задачи:∂(r) ∂jr (r)+= 0.∂t∂rДля стационарного состояния плотность вероятности не зависит от времени, а значит ∂(r)= 0 и уравнение непрерывности даёт нам условие∂tотсутствия радиального потока вероятности:∂jr (r)= 0, jr (0) = 0⇒jr (r) ≡ 0.(16.10)∂rУсловие отсутствия потока можно переформулировать ещё одним способом. Для всякого решения уравнения (16.7) φ(r) его вещественная и мнимая части также являются решениями с тем же значением E1 . Однако граничное условие φ(0) = 0 из двух линейно независимых решений линейного однородного уравнения второго порядка (16.7) при данном E1 оставляет496ГЛАВА 16только одно, а значит решения φ(r), Reφ(r), Imφ(r) совпадают с точностьюдо постоянного множителя.Таким образом, условие отсутствия потока может формулироваться какусловие вещественности φ(r), т. е. для уравнения (16.7) мы можем искатьтолько вещественные решения.Асимптотика (16.10) при отрицательных E1 < 0 (состояния дискретного спектра)√−2μE1−κrφ(r) ∼ e, r → ∞.(16.11), κ=h̄При положительных энергиях (состояния непрерывного спектра)√2μE1φ(r) ∼ sin(kr + α), k =, α ∈ R, r → ∞.(16.12)h̄Фаза α не может быть зафиксирована исследованием потенциала при больших r.

Например, если U (r) — непроницаемый шарик радиуса a, что соответствует φ(a) = 0, то при l = 0 точное решение имеет видφ(r) = C sin(k r −ka),r a.αНа этом примере мы видим, что при одинаковом поведении U (r → ∞)фаза α может быть любой.Случай неограниченного потенциалаСлучай неограниченного потенциалаr→∞U (r) −−−→ ∞— это модельный случай, т. к. в реальной физике подобных потенциалов,неограниченно нарастающих на больших расстояниях, мы не наблюдаем.Для неограниченных потенциалов нам не надо специально оговариватьусловие отсутствия потока, т. к. это условие диктуется с обоих концов: нетолько условием φ(0) = 0, но и неограниченным ростом потенциала набесконечности.Конкретный вид асимптотики зависит от поведения U (r → ∞).

Например, для потенциала трёхмерного изотропного гармонического осциллятораω2 r2U (r) =2μ16.4. АТОМВОДОРОДА497асимптотика совпадает с асимптотикой обычного одномерного гармонического осциллятора (см. главу 12 «Гармонический осциллятор»),2− r2h̄2x0φ(r) ∼ e, r → ∞., x0 =μω16.4. Атом водородаГамильтониан для атома водорода соответствует потенциалу U (r) ==аналогично для водородоподобного иона (один электрон, обращаю2щийся вокруг ядра с зарядом Z) U (r) = − Zer . Таким образом, гамильтониан, описывающий движение электрона относительно центра масс (16.3),принимает видZe2p̂2Ĥ1 =−,(16.13)2μ|r|2− er ,а одномерное уравнение Шрёдингера для радиального движения (16.5),(16.6) становится таким!h̄2 h̄2 l(l + 1) Ze2−φ (r) +−Eφ(0) = 0.

(16.14)−1 φ(r) = 0,2μ2μr 2r16.4.1. Кулоновские и атомные единицыУравнение Шрёдингера для атома водорода или водородоподобногоиона удобно обезразмерить. В качестве атомной единицы массы используется масса электрона (приведённая). В качестве единицы действия, какобычно в квантовой механике,используется постоянная Планка. В каче√стве единицы заряда — Z e. То есть, чтобы ввести кулоновские единицы,мы полагаем три размерные константы (с несводимыми размерностями)равными единицеμ = 1,h̄ = 1,Ze2 = 1.Этого достаточно, чтобы однозначно фиксировать систему единиц.Поскольку ядра существенно тяжелее электрона (протон в 2 × 103 раз),приведённая масса μ для движения электрона в поле ядра близка к массесвободного электрона. В частности для водородаμ (1 − 0,5 × 10−3 ) · me .498ГЛАВА 16Атомные единицы получаются в случае μ = me , Z = 1me = 9,109 × 10−28 г = 1,h̄ = 1,055 × 10−27 эрг · с = 1,e = 4,803 × 10−10 ед.

СГС = 1.Размерности у этих констант следующие:[me ] = M,[h̄] = ET = M L2 T −1 ,[e2 ] = EL = M L3 T −2 .Выпишем следующие отсюда единицы некоторых физических величин. Это следует сделать хотя бы для того, чтобы представить себе порядокразличных величин, характерных для задачи.Характерная скорость оказывается порядка 1/100 от скорости света:e2= 2,187 × 108 см/с ∼ 10−2 c, c = 2,997 924 58 × 1010 см/с.h̄Это означает, что мы можем в первом приближении пренебречь релятивистскими эффектами, однако при умеренно точных измерениях релятивистские эффекты будут сказываться.

Из гамма-фактора11γ=≈≈ 1 + 2,5 × 10−51 − (v/c)21 − 0,5 × 10−4относительная точность нерелятивистского приближения оцениваетсякак ∼ 10−5 .Атомная единица длины — радиус Бора, как мы видим, ангстрем(1 Å = 10−10 м = 10−8 см) оказался удобной единицей длины на атомныхрасстоянияхh̄2a== 0,529 × 10−8 см = 0,529 Å.me2Атомная единица времени (длина разделить на скорость) позволяетпредварительно оценить, какие процессы, совершающиеся с атомами следует считать быстрыми, а какие медленными:h̄3= 2,419 × 10−17 с.me4Атомная единица энергии составляет два ридберга (Ry).

Мы видим,что 1 эВ оказался весьма удачной единицей для атомных процессов:ta =ε0 = 2Ry =me4e2= 27,1 эВ = 4,34 × 10−18 Дж = 4,34 × 10−11 эрг.=ah̄216.4. АТОМ499ВОДОРОДА16.4.2. Решение безразмерного уравненияПосле обезразмеривания получаем!11l(l + 1) 1+− φ (ρ) +φ(ρ) = 0,−22ρ2ρ 2n2φ(0) = 0.(16.15)−Здесь = Eε01 = − 2n1 2 — обезразмеренная энергия (n — обезразмереннаядлина затухания волновой функции при r → ∞), ρ = ar — обезразмеренныйрадиус.Мы будем искать состояния дискретного спектра, т. е.