М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 76

Это равенство частотыобращения частицы и частоты излучаемой электромагнитной волны естественно в классической электродинамике, но в квантовой механике частотафотона связана исключительно с его энергией. В квазиклассическом пределе эти частоты совпали, т. е. предсказания квантовой механики переходятв предсказания классической теории, как и должно быть согласно принципусоответствия.13.5.6. Квазистационарные состояния в квазиклассикеПрименяя правило квантования Бора – Зоммерфельда (13.38)или (13.39), мы можем получить «лишние» состояния дискретного спектра, которых с точки зрения квантовой механики быть не должно. Этисостояния соответствуют классическому периодическому движению с энергией, для которой возможно также убегание частицы на бесконечность (см.рис.

13.5).Эти «лишные» уровни — квазистационарные состояния. В соответствии с классической теорией помещённая в квазистационарное состояние система может на протяжении длительного времени оставаться в этомсостоянии, однако на больших временах проявляются квантовые свойства,и система может протуннелировать через потенциальный барьер и уйти набесконечность.Время жизни квазистационарного состояния мы можем оценить, знаявероятность туннелирования (D, мы оцениваем её в разделе 13.5.7 «Квазиклассическая вероятность туннелирования») и классический период колебаний системы (T ).

Если частица может убежать через обе стенки с вероятностями D1 1 и D2 1, то за период T вероятность убегания13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ411U(x), ExРис. 13.5. Стационарные (сплошные) и квазистационарные (пунктирные) уровни.составляет D = D1 + D2 . Таким образом, вероятность убегания в единицувремени (обратная времени жизни состояния τ0 )1D=τ0T⇒τ0 =T T.DБлагодаря соотношению неопределённости (7.9), квазистационарныйуровень имеет ширину (7.13)δE0 =h̄.2τ0Зависимость от времени квазистационарного состояния включает, помимообычной комплексной экспоненты, ещё и вещественную экспоненту, обеспечивающую экспоненциальное затухание (распад) уровня с характернымвременем τ0 :3ψ(t) = ψ0 e− h̄ E0 t e− 2τ0 = ψ0 e− h̄ (E0 −i 2τ0 )t .itih̄Мы видим, что для временной эволюции квазистационарного состоянияэнергия получает мнимую добавку:E = E0 − i 2τh̄0 = E0 − i δE0 .Встречающиеся в физике квазистационарные состояния могут иметьвремена жизни от исчезающемалых до очень больших (превышающих3 При вычислении вероятности амплитуда возводится в квадрат, так что показатели экспоненты для амплитуды и для вероятности отличаются в два раза.412ГЛАВА 13возраст Вселенной).

Все нестабильные частицы и радиоактивные ядра следует рассматривать как квазистационарные состояния. Современные физики не уверены даже в протоне: является ли протон стационарными илитолько квазистационарным состоянием с большим временем жизни. Такимобразом, нахождение квазистационарных состояний (хотя эта задача труднее формализуется математически) может быть не менее важно, чем нахождение настоящих стационарных состояний.

При распаде квазистационарных состояний продукты распада обычно вылетают с энергиями, недостаточными для преодоления потенциального барьера, т. е. они вылетаютблагодаря туннельному эффекту.Правило Бора – Зоммерфельда также требует поправок, если потенциальная яма разделена барьером, через который частица может туннелировать туда-сюда. Ниже такая ситуация упоминается в разделе 13.5.8 «Несколько слов об инстантонах**».13.5.7.

Квазиклассическая вероятность туннелированияРассмотрим в квазиклассическом приближении одномерную задачурассеяния. Прежде всего отметим, что в классически разрешённой областиквазиклассическая волновая функция (S(x) с точностью до второго членапо h̄) (13.23)Ciψ(x) ≈ p(x) dxexp ±h̄p(x)описывает частицу, которая по всей оси движется в одну сторону с постоянной плотностью потока вероятности.Таким образом, надбарьерное отражение (E > U (x)) квазиклассическим приближением (S(x) с точность до второго члена по h̄) не описывается.Если высота потенциального барьера больше E, то мы можем воспользоваться квазиклассическим приближением.Мы рассмотрим случай широкого потенциального барьера, с точкамивхода и выхода a и b (E = U (a) = U (b)). При этом естественный масштабширины барьера — длина затухания волновой функции внутри него:l(x) =h̄.|p(x)|Поскольку масштаб l(x) внутри барьера, как правило, переменный, критерий ширины записывается через набегающую внутри барьера фазу (мни-13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ413мую) волновой функции:bL=adX1=l(X)h̄ b|p(X)| dX 1.aмера dXL — интервал от a до b, измеренный линейкой переменной длины l(x)(в длинах затухания).Для широкого барьера мы имеем коэффициент отражения, близкий к 1,т.

е. суперпозиция падающей и отражённой волн приблизительно задаётсячерез sin, как у границы потенциальной ямы (13.33). При этом внутри барьера, как и ранее при рассмотрении потенциальной ямы, преобладает затухающая экспонента.Величина экспоненты внутри барьера снижается в e−L раз.

Посколькуэта величина связана с амплитудой вероятности, то соответствующий вкладв коэффициент прохождения составляетD0 = e−2L .Однако мы пока не учли вклад в коэффициент прохождения предэкспоненциального множителя √ 1 и условий сшивки в точках входа и выхода.p(x)Как мы уже обсуждали ранее (13.5.1 «Как угадать и запомнить квазиклассическую волновую функцию»), предэкспоненциальный множительучитывает переменную скорость частицы, летящей в переменном потенциале, тогда как экспонента задаёт поток частиц.

Таким образом, изменениепредэкспоненциального множителя не даёт вклада в поток и коэффициентпрохождения.Условия сшивки волновой функции в точках входа и выхода могут датьдополнительные множители порядка 1:D = D0 · Da · Db ,Da , Db ∼ 1.Если точки входа и выхода «устроены одинаково», и в окрестностяхобоих потенциал может быть приближен линейной функцией, то, в силусимметрии входа в барьер и выхода из него,Db =1.Da414ГЛАВА 13В этом случае⎛D = D0 = e−2L2= exp ⎝−h̄b⎞|p(X)| dX ⎠.(13.40)aЗаметим, что формулу (13.40) мы не столько вывели, сколько угадали.Строгий вывод требует более аккуратного рассмотрения условий сшивкив точках входа и выхода, и в частности доказательства возможности пренебречь внутри барьера возрастающим членом волновой функции.13.5.8.

Несколько слов об инстантонах**Внимательно рассмотрим показатель экспоненты в формуле для квазиклассического коэффициента прохождения через барьер:2h̄ba2|p(x)| dx = −ih̄b b 22m(E − U (x)) dx =2m(−E + U (x)) dx.h̄aaПоследнее выражение может быть переписано как h̄1 умножить на действиепо периоду для колебаниямежду точками a и b с зависимостью импульсаот координаты p− (x) = ± 2m(−E + U (x)):1h̄11p− (x) dx = 2h̄bp− (x) dx.aТакая зависимость p− (x) может быть получена из обычной изменениемзнака энергии:E → −E,U (x) → −U (x).Мнимое действие (интеграл от мнимого импульса) можно также описать как движение с мнимой скоростью.

А поскольку перемещение междуточками a и b вещественно, такая скорость соответствует мнимому изменению времени.Если вспомнить, что амплитуда вероятности, соответствующая движению с действием S, задаётся как (3.26)ie h̄ S ,то мы получаем возможность рассматривать туннелирование через барьер, не суммируя обычные (классически запрещённые) траектории (вклад13.6. С ОХРАНЕНИЕВЕРОЯТНОСТИ И УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ415которых практически компенсируется, в результате чего формула сходитсяочень медленно), а беря одну классически разрешённую траекторию с мнимым временем движения: i 2D = e h̄ S ,2S=h̄b 2m(E − U (x)) dx.aДвижение через потенциальный барьер с мнимым временем называютинстантонным движением.Если мы имеем потенциальную яму, разделённую барьером на две половины, то туннелирование через барьер приводит к тому, что система,помещённая в одну половину ямы, начинает колебаться, поочерёдно туннелируя туда-сюда. Такое состояние называют инстантоном.Инстантоны возникают в различных задачах теории конденсированного состояния и квантовой теории поля, они, в частности, могут возникатьпри спонтанном нарушении симметрии как колебания вакуумного поля.13.6.

Сохранение вероятности и уравнение непрерывностиКак мы уже писали ранее (5.1.1 «Унитарная эволюция и сохранениевероятности»), сохранение полной вероятности является одним из фундаментальных принципов квантовой теории. При этом сохранение полнойвероятности (вместе с линейностью и обратимостью) приводит к унитарности эволюции замкнутой системы.Однако полная вероятность может быть записана как интеграл от плотности вероятности в конфигурационном пространстве. В силу непрерывности уравнений квантовой механики представляется интересным переписатьусловие сохранения вероятности в дифференциальной форме, как уравнение непрерывности для плотности вероятности.Таким образом, мы имеем вектор состояния, заданный как волноваяфункция ψ(Q) на конфигурационном пространстве.

Здесь Q — совокупность обобщённых координат Qn (координат в конфигурационном пространстве).Мы знаем, что(Q) = |ψ(Q)|2 ,(Q) dQ = 1 = const— плотность вероятности в конфигурационном пространстве.416ГЛАВА 13Уравнение непрерывности должно иметь вид∂+ div j = 0,(13.41)∂t ∂jnгде div j = n ∂Qn — дивергенция в конфигурационном пространстве отвещественного векторного поля j, которое задаёт плотность потока вероятности.Стоящая перед нами задача — выразить j через ψ и показать, что найденное выражение удовлетворяет уравнению непрерывности (13.41).13.6.1.

Как угадать и запомнить плотность потока вероятностиПрежде чем приступать к строгим выкладкам, угадаем ответ.Для классического распределения частицj(Q) = (Q) v(Q),где v(Q) — скорость частиц в данной точке.Для волны де Бройляp̂ψ = pψ = mv ψ.Эта же формула приближённо справедлива для квазиклассической волновой функции, но теперь v уже является функцией от координат:p̂ψ(Q) ≈ mv(Q) ψ(Q).Умножая полученную формулу на ψ ∗ (Q), получаемψ ∗ (Q) p̂ψ(Q) ≈ mv ψ(Q) ψ ∗ (Q) = mv (Q).Таким образом, для волн де Бройля мы можем написать1 ∗ψ (Q) p̂ψ(Q).j(Q) = (Q) v(Q) =mЭта же формула должна быть по крайней мере приближённо справедлива для квазиклассических волновых функций, но выражение ψ ∗ (Q)p̂ψ(Q)в общем случае является комплексным.