М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 68

До сих пор мы не вводили никаких условий, которые как бы то ни было ограничивали эточисло. Мы ещё вернёмся к этому вопросу.12.2. П РЕДСТАВЛЕНИЕЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ359• Все ли собственные состояния оператора N̂ будут получены из |ψ0i с помощью повышающего оператора ↠? Все (см. объяснения ниже).– Могут ли быть у оператора N̂ нецелые собственные числа? Нет.Пусть |ψn — собственное состояние, отвечающее произвольномучислу n, начнём действовать на него раз за разом понижающимоператором. Рано или поздно (как мы уже упоминали) мы получим (12.16), что âk |ψn = 0, но âk+1 |ψn = 0, это означает, чтосостояние âk |ψn — собственное для оператора N̂ , с собственнымчислом 0 = n − k, т.

е. n = k — целое неотрицательное число.– Могут ли быть у оператора N̂ собственные состояния, которыене получаются из |ψ0i с помощью повышающего оператора? Нет.Начнём строить собственные состояния оператора N̂ в виде |ψni == cn (↠)n |ψ0i . Предположим, что |φn∗ — собственное состояние,линейно независимое от |ψni и отвечающее собственному числу n∗ .При этом n∗ > 0, т. к.

иначе |φn∗ — просто ещё одно состояние из набора {|ψ0i }i . Выберем минимальное значение n∗ . Подействовав на |φn∗ оператором â, получаем собственное состояние|φn∗ −1 = n1∗ · â|φn∗ (где â|φn∗ = 0, т. к. n∗ > 0). Мы видим, что↠|φn∗ −1 = n1∗ · ↠â|φn∗ = n1∗ · N̂ |φn∗ = |φn∗ . То есть состояние|φn∗ получается из состояния |φn∗ −1 с помощью оператора ↠. Если |φn∗ −1 линейно независимо от |ψ(n∗ −1)i , то выбранное нами n∗не минимально, а если зависимо, то |φn∗ представимо через |ψn∗ i .• Сколько может быть линейно независимых состояний |ψni , отвечающих произвольному собственному числу n оператора N̂ ? (То есть какзависит от n кратность вырождения?) Ровно столько же, сколькодля n = 0 (см.

первый вопрос), т. е. для всех n непременно поров> 0) и линейнону. Пусть n > 0. Состояния â|ψni ненулевые (т. к. nнезависимые (т. к.если они линейнозависимы,т.е.i ci â|ψni = 0,то 0 = ↠0 = ↠i ci â|ψni = i ci ↠â|ψni = i ci n|ψni , т. е. линейно зависимы исходные состояния). Следовательно, кратность вырождения не может увеличиваться с ростом n. Аналогично для любогои линейноцелого неотрицательного n состояния ↠|ψni ненулевые†câ|ψni = 0,независимые (т.к. если они линейнозависимы,т.е.iiто 0 = â0 = â i ci ↠|ψni = i ci â↠|ψni = i ci (n + 1)|ψni , т.

е.линейно зависимы исходные состояния). Следовательно, кратность вырождения не может уменьшаться с ростом n.360ГЛАВА 1212.2.2. Базис собственных функцийПусть кратность вырождения равна единице, тогда собственные функции оператора N̂ нумеруются одним числом n.

Эти собственные функции,будучи собственными функциями эрмитова оператора, образуют базис, дляэлементов которого удобно ввести следующие обозначения:|ψn = |n.(12.19)Базис является ортогональным, т. к. собственные векторы, отвечающие разным собственным числам, ортогональны. Базисные векторы отнормируемна единицу (поскольку спектр дискретный, это возможно), таким образомk|n = δkn .(12.20)Под действием понижающего оператора базисные векторы ведут себяследующим образом:â|0 = 0,(12.21)â|n = cn |n − 1,cn ∈ C,n > 0.Что мы можем сказать о константах cn ? Сопрягая последнее уравнениеи умножая исходное уравнение слева на сопряжённое, получаем:n|↠= n − 1|c∗n ,⇒ n|↠â|n = n − 1|c∗n cn |n − 1,n|↠â|n = n|N̂|n = n|n|n = nn|n = n,n − 1|c∗n cn |n − 1 = c∗n cn n − 1|n − 1 = c∗n cn = |cn |2 .√|cn |2 = n⇔cn = eiϕn n.Таким образом, используя ортонормированность базиса, мы вычислили cn с точностью до фазовых множителей.

Вычислить эти фазовые множители невозможно. Это связано с тем, что условие ортонормируемостизафиксировало наш базис только с точностью до умножения базисных векторов на произвольные различные фазовые множители:|n = eiφn |n,cn = ei(φn −φn−1 ) cn .Не имея возможности вычислить фазовые множители для cn , мы имеем возможность выбрать их по своему произволу. Мы выберем все cn вещественными неотрицательными числами.

Это зафиксирует большую часть12.2. П РЕДСТАВЛЕНИЕЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ361произвола, теперь мы можем умножать наши векторытолько на одинаковые√фазовые множители (|n = eiφ0 |n, а cn = n теперь — фиксированныечисла):√â|n = n |n − 1.(12.22)Запишем матричные элементы оператора â для базисных векторов. Матричные элементы оператора ↠получаются эрмитовым сопряжением:√√√k|â|n = n δk,n−1 ⇔ n|↠|k = n δk,n−1 = k + 1 δk+1,n .(12.23)Это позволяет представить лестничные операторы в виде матриц⎛⎞⎛⎞0 1 √0 0 . . .0 0 0 0 ...⎜0 0 2 0 ...⎟⎜1 0 0 0 ...⎟⎜⎟√⎜ √⎟⎜0 0 0⎟3...0 2 √0 0 . . .

⎟⎟, ↠= ⎜â = ⎜(12.24)⎜⎟.⎜⎟⎜0 03 0 ...⎟⎜ 0 0 0 0 ... ⎟⎝⎠⎝⎠.. .. .. . . . ... .. .. .. . .. .. . ... . . .Столбцы и строки нумеруются здесь целыми числами, начиная с нуля.Таким образом, мы получили действие ↠на базисные векторы√↠|n = n + 1 |n + 1.(12.25)На основе (12.25) мы можем выразить состояние |n через основное состояние |0:(↠)n|n = √ |0.(12.26)n!Обратите внимание, формулы (12.22) и (12.25) мы получали поразному. Это связано с тем, что вывод формулы (12.22) предполагал произвольную фиксацию фазовых множителей. Выводя формулу (12.25), мыуже не могли фиксировать фазовые множители произвольно, а должныбыли воспользоваться соглашениями, принятыми ранее, поэтому формула (12.25) была выведена через формулу (12.22).Мы нашли собственные числа оператора N̂ , используя (12.10) мы можем записать разрешённые уровни энергии гармонического осциллятора:1En = h̄ω n +,n = 0, 1, 2, 3, .

. . .(12.27)2362ГЛАВА 12Целое число n можно трактовать как число фиксированных квантов энергии h̄ω, сообщённых осциллятору сверх энергии нулевых колебаний 12 h̄ω. По этой причине n называют числом заполнения, а разложениеволновой функции по базису {|n}∞n=0 — представлением чисел заполнения.12.3. Переход к координатному представлениюДо сих пор мы не установили кратность вырождения уровней длягармонического осциллятора. Кроме того, выбрав стационарные состоянияв качестве базисных, мы ничего не сказали про их вид в координатномпредставлении. Впрочем, можно просто постулировать нужную кратностьвырождения, а все вычисления проводить в представлении чисел заполнения.В координатном представленииx̂ = x,p̂ = −ih̄∂,∂xψ(x) = x|ψ.Переходя к обезразмеренным операторам получаем:√1∂∂= −i, ψ(Q) = Q|ψ = x0 ψ(x)|x=Q·x0 .∂(Qx0 ) p0∂Q(12.28)√Корень x0 возникает как нормировочный множитель, чтобы обеспечитьнормировку на единицу для волновой функции, как функции Q:22|ψ(Q)| dQ = |ψ(x = Q · x0 )| d(x0 Q) = |ψ(x)|2 dx = 1.Q̂ = Q, P̂ = −ih̄В координатном представлении лестничные операторы принимают виддифференциальных операторов:â =∂Q + ∂Q√,2↠=∂Q − ∂Q√.2(12.29)Если теперь записать уравнение (12.21), то оно превратится в дифференциальное уравнениеâ|0 = 0⇒∂Q + ∂Q√ψ0 (Q) = 0.2(12.30)12.3.

П ЕРЕХОДК КООРДИНАТНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ363Мы получили обыкновенное (поскольку у нас одна независимая переменная Q, «круглые» дифференциалы можно заменить на «прямые»), линейное, однородное дифференциальное уравнение первого порядка, а значит,решение этого уравнения единственно с точностью до постоянного множителя (нормировочной константы). Это уравнение с разделяющимися переменными, так что оно без труда решается явно:dψ0=0dQ⇒dψ0= −Q dQψ0⇒Qψ0 +⇒ln ψ0 = −Q2+ const2⇒ψ0 = const · e−Q22.0.70.60.50.40.30.20.1–4–20024Рис. 12.2. Основное состояние гармонического осциллятора и его квадрат: ψ0 (Q)и |ψ0 (Q)|2 . Две вертикальные черты обозначают границы классически разрешённойобласти.С точностью до фазы множитель определяется из условия нормировки.Если выбрать фазу так, чтобы функция ψ0 (Q) была вещественной и положительной, тоQ21· e− 2 .ψ0 (Q) = √(12.31)4πОсновное состояние единственно, с точностью до множителя, т. е.

кратность вырождения — единица.Мы можем получить и другие кратности вырождения, если добавим волновой функции дополнительные аргументы, например, рассмотримосциллятор с волновыми функциями вида ψ(Q, m), где Q — непрерывная координата, а m — дискретная переменная, пробегающая K значений364ГЛАВА 120.60.40.2–4–20–0.20Q24–0.4–0.6Рис.

12.3. Первое возбуждённое состояние гармонического осциллятора: ψ1 (Q)и |ψ1 (Q)|2 .(например, проекция спина, тогда K = 2s + 1), даст K-кратно вырожденный спектр. (Собственные функции, отвечающие одинаковой энергии,будут нумероваться ещё и значением переменной m.)0.60.40.2–4–200–0.2 Q24–0.4Рис. 12.4. Второе возбуждённое состояние гармонического осциллятора: ψ2 (Q)и |ψ2 (Q)|2 .Возбуждённые состояния получаются из основного состояния (12.31)с помощью повышающего оператора ↠по формуле (12.26). Но теперь по-12.3. П ЕРЕХОДК КООРДИНАТНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ365вышающий оператор оказывается дифференциальным оператором, в соответствии с формулой (12.29):(↠)nψn (Q) = √ ψ0 (Q) =n!n∂Q−Q211√ ∂Q√· e− 2 == √4π2n!n√Q2∂e− 2 .= ( π2n n!)−1/2 Q −∂QQ2Q2∂e− 2 = −Q e− 2 , из предыдущей формулы легко виПоскольку ∂Qдеть, что волновая функция n-го возбуждённого состояния имеет вид√Q2ψn (Q) = ( π2n n!)−1/2 Hn (Q) e− 2 ,где Hn (Q) — полином степени n, который называется полиномом Чебышёва – Эрмита.Обратите внимание, что как дифференцирование по Q, так и умножение на Q меняют чётность волновой функции, таким образом, под действием операторов â и ↠чётные волновые функции превращаются в нечётныеи наоборот.

Поскольку ψ0 (Q) — чётная функция, чётности ψn (Q) и полинома Эрмита Hn (Q) соответствуют чётности n.Приведём первые 6 полиномов Эрмита:H0 = 1,H1 = 2Q,4H4 = 16Q − 48Q2 + 12,H2 = 4Q2 − 2,H3 = 8Q3 − 12Q,H5 = 32Q5 − 160Q3 + 120Q.Мы можем записать формулу для n-го полинома в видеnQ2Q2∂2Q−Hn (Q) = ee− 2 .∂QДанную формулу легко упростить, вставив перед скобками выражениеQ2Q2Q2e 2 e− 2 и «пронеся» e− 2 направо через все производные с помощьюочевидной формулы:2Q2∂∂− Q2eF (Q) = −e− 2 F (Q).Q−∂Q∂Q366ГЛАВА 120.60.40.2–4–20–0.20Q24–0.4–0.6Рис. 12.5. Третье возбуждённое состояние: ψ3 (Q) и |ψ3 (Q)|2 .В результате получаем стандартную «формулу из учебника»:n2∂Q2−Hn (Q) = ee−Q .∂Q0.40.2–10–500–0.2 Q510Рис. 12.6. 50-е возбуждённое состояние гармонического осциллятора: ψ50 (Q)и |ψ50 (Q)|2 .12.4.