М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 66

Выше, во вводной части раздела 11.4, мы уже упоминали, что генератор симметрии может быть выбран неоднозначно, причёмне все генераторы могут соответствовать сохраняющимся величинам.Каковы собственные функции и числа для оператора T̂a ? Если координата x пробегает значения от −∞ до +∞, то собственные числа — всеединичные комплексные числа |u| = 1. То естьiiu = eiα = ei(α+2πn) = uq = e h̄ aq = e h̄ a(q+10 Под2πh̄a n),α, q ∈ R,n ∈ Z.«закрученностью» следует понимать направление собственного момента импульсачастицы — спина. Подразумевается, что зеркальная симметрия и пространственная чётностьдействуют также на зависимость волновых функций от спиновых переменных, «переворачивая» спин должным образом (если этого не делать, то пространственная чётность нарушитсяещё раньше).11 Это очень важный пример, соответствующий частице внутри идеального кристалла.346ГЛАВА 11Здесь мы параметризовали собственные числа u параметром q, имеющимразмерность импульса.

Параметр q называют квазиимпульсом. Квазиимпульс определён с точностью до прибавления целого числа, умноженногона 2πh̄a . Это число называют периодом обратной решётки. Мы можем выбрать все квазиимпульсы из интервала длиной в период обратной решётки,πh̄например из интервала (− πh̄a , a ]. Таким образом, мы поставили в соответствие разным собственным числам оператора T̂a разные вещественныечисла, а одинаковым — одинаковые, и определили тем самым операторквазиимпульса, для которого эти вещественные числа q являются собственными с собственными функциями ψuq .По определению оператора сдвига T̂a ψ(x) = ψ(x+a), по определениюсобственного вектора T̂a ψu = uψu . Таким образом, собственная функцияудовлетворяет условиюψu (x + a) = uψu (x).(11.24)Для гамильтонианов, коммутирующих с T̂a , собственные функции можноискать среди собственных функций оператора T̂a .

В этом случае уравнение (11.24) позволяет продолжить волновую функцию с отрезка длиной aна всю вещественную прямую, задействовав, тем самым, симметрию относительно сдвига на период.При |u| = 1 интеграл по периодуx022x0 +a|ψu (x)|2 dx|ψu (x)| dx = |u|x0 −ax0не зависит от x0 . Если координата x ∈ R, то ψu не нормируема на единицу,как и должно быть, раз ψu принадлежат непрерывному спектру.Вместо x ∈ R мы можем рассматривать интервал x ∈ [x0 , x0 + N · a]с периодическими граничными условиями для ψ.

В этом случае допустимытолько собственные числа, для которыхN aq∈ Z.2πh̄Таких собственных чисел имеется N штук (корни N -й степени из единицы). Интеграл от |ψu |2 по конечному интервалу x ∈ [x0 , x0 + N · a] оказывается конечен, а спектр становится дискретным. Устремляя N к бесконечности, мы можем совершить предельный переход от дискретного к непрерывному случаю.uN = 1⇔11.5.

СДВИГИВ ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ **347Глядя на (11.24), можно понять физическийсмысл условия |u| = 1. Если это условие нарушается, то |u| > 1, или |u| < 1. В первом случае модульволновой функции неограничено возрастает при последовательных сдвигах на a, а во втором — при последовательных сдвигах на −a. Тем не менее волновые функции ψu при |u| = 1 могут быть полезныпри рассмотрении кристаллической решётки, которая конечна, или бесконечна только в одну сторону,а также кристаллической решётки с дефектами. Такие функции могут описывать экспоненциальное затухание волновой функции частицы вглубь кристал- Рис.11.2. Феликсла, когда частица отражается от кристалла, или лока- Блох (1905–1983).лизована на дефекте.В некоторых случаях волновую функцию вида (11.24) представляютв виде произведения волны де Бройля с импульсом q на периодическуюфункцию с периодом a:iψu (x) = e h̄ xq φ(x),φ(x) = φ(x + a).(11.25)Утверждение (11.25) называют теоремой Блоха.

Очевидно, что (11.24) равносильно (11.25).11.5. Сдвиги в фазовом пространстве**11.5.1. Групповой коммутатор сдвигов*В текущей главе мы убедились в полезности унитарных операторовсдвига по координате T̂a и по импульсу ŜbiT̂a = e h̄ aP̂ ,Ŝb = e− h̄ bQ̂ .iВ координатном представленииT̂a ψ(Q) = ψ(Q + a),Ŝb ψ(Q) = e− h̄ bQ ψ(Q).iВ импульсном представленииiT̂a ψ(P ) = e h̄ aP ψ(P ),Ŝb ψ(P ) = ψ(P + b).348ГЛАВА 11Эрмитовы операторы P̂ и Q̂ не коммутируют (4.65)[Q̂, P̂ ] = ih̄,соответственно не коммутируют и унитарные операторы T̂a и Ŝb .Для эрмитовых операторов их некоммутативность удобно определятькоммутатором [a, b] = ab − ba = ic (матричным коммутатором) которыйсопоставляет двум эрмитовым операторам a и b третий эрмитов оператор c.Произведение и взятие обратного для унитарных операторов — «хорошие» операции, т.

к. результат их действия снова оказывается унитарным.Сумма или разность унитарных операторов «хорошими» операциями неявляются. Поэтому для унитарных операторов некоммутативность удобнееопределять с помощью группового коммутатора ABA−1 B −1 .Вычислим групповой коммутатор для операторов T̂a и Ŝb в координатном представленииiiT̂a Ŝb T̂−a Ŝ−b ψ(Q) = T̂a Ŝb T̂−a (e h̄ bQ ψ(Q)) = T̂a Ŝb (e h̄ b(Q−a) ψ(Q − a)) == T̂a (e− h̄ bQ e h̄ b(Q−a) ψ(Q − a)) = T̂a (e− h̄ ba ψ(Q − a)) = e− h̄ ba ψ(Q).iiiiТаким образом (уже вне зависимости от представления)T̂a Ŝb T̂−a Ŝ−b = e− h̄ ab .i(11.26)То есть (читая левую часть равенства справа налево) сдвиги по P , по Q,iобратно по P , обратно по Q дают в итоге фазовый множитель e− h̄ ab , показатель экспоненты в котором пропорционален ориентированной (со знаком)площади контура ab, который был описан в фазовой плоскости (Q, P ).При параллельном переносе (сдвиге) по произвольному контуру, контурможет быть приближен с помощью набора прямоугольных ячеек.

Внутренние линии этих ячеек проходятся дважды в противоположных направлениях и их вклад сокращается. Таким образом, параллельный перенос в фазовой плоскости (Q, P ) вдоль любого замкнутого контура Γ даёт умножениена фазовый множительiTΓ = e− h̄ S(Γ) ,(11.27)с показателем пропорциональным ориентированной площади контура S(Γ),которая имеется смысл действия по контуру (площадь положительна приобходе контура по часовой стрелке).11.5. СДВИГИВ ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ **349С помощью формулы (11.26) можно переставлять сдвиги по координате и импульсу:iT̂a Ŝb = e− h̄ ab Ŝb T̂a .(11.28)Однако, во многих случаях нам понадобится параллельный перенос одновременно по координате и импульсу вдоль отрезка прямой.iСоответствующий оператор e h̄ (aP̂ −bQ̂) вместе с операторами T̂−aи Ŝ−b даёт параллельный перенос по контуру в форме прямоугольного треугольника с катетами a и b и ориентированной площадью S = − ab2Ŝ−b T̂−a e h̄ (aP̂ −bQ̂) = e h̄i ab2i.(11.29)Таким образом, оператор сдвига «наискосок» можно выразить через сдвигипо координате и импульсу:e h̄ (aP̂ −bQ̂) = e h̄i ab2iT̂a Ŝb = e− h̄i ab2Ŝb T̂a .(11.30)11.5.2.

Классические и квантовые наблюдаемые**Оператор сдвига наискосок позволяет, следуя Г. Вейлю, ввести следующую естественную (но не единственную) процедуру, установления соответствия между классическими и квантовыми наблюдаемыми с помощьюпреобразования Фурье:iiF (Q, P ) = e h̄ (aP −bQ) F̃ (b, a) da db,F̂ = e h̄ (aP̂ −bQ̂) F̃ (b, a) da db.1F̃ (b, a) =(2πh̄)2(11.31)− h̄i (aP −bQ)eF (Q, P ) dQ dP.(11.32)При этом вещественность классической наблюдаемой F (Q, P ) эквивалентаравенству F̃ (b, a) = F̃ ∗ (−b, −a), которое эквивалентно эрмитовости квантовой наблюдаемой F̂ .Чтобы выразить F̃ (b, a) через F̂ нам надо продолжить исследованиеоператора сдвига наискосок.В координатном представленииe h̄ (aP̂ −bQ̂) ψ(Q) = e− h̄ b(Q+a/2) ψ(Q + a).iiЯдро оператораQ2 |e h̄ (aP̂ −bQ̂) |Q1 = e− h̄ b(Q2 +a/2) δ(Q2 − Q1 + a).ii350ГЛАВА 11След оператора сдвига наискосок: iitr e h̄ (aP̂ −bQ̂) = Q1 |e h̄ (aP̂ −bQ̂) |Q1 dQ1 =i= e− h̄ b(Q1 +a/2) δ(a) dQ1 = 2πh̄ δ(b) δ(a), itr e h̄ (aP̂ −bQ̂) = 2πh̄ δ(b) δ(a) = tr(T̂a Ŝb ) = tr(Ŝb T̂a ).Произведение сдвигов снова даёт сдвиг, умноженный на фазовый множитель (направления Q и P на фазовой плоскости ничем не выделены)e h̄ (a2 P̂ −b2 Q̂) · e h̄ (a1 P̂ −b1 Q̂) = e h̄ ([a1 +a2 ]P̂ −[b1 +b2 ]Q̂) · e− h̄ S ,iiiiЗдесь S — площадь треугольника, натянутого на векторы (a1 , b1 ) и (a2 , b2 ):1 a a 1S = − 1 2 = (a2 b1 − a1 b2 ).2 b1 b22 iitr e− h̄ (a2 P̂ −b2 Q̂) · e h̄ (a1 P̂ −b1 Q̂) = 2πh̄ δ(a1 − a2 ) δ(b1 − b2 ).Теперь мы можем найти коэффициенты разложения оператора F̂ по операторам сдвига наискосок (аналог преобразования Фурье от оператора)F̃ (b, a) = i1tr e− h̄ (aP̂ −bQ̂) F̂ .2πh̄(11.33)Установив с помощью формул (11.31), (11.32), (11.33) взаимно однозначное соответствие между классическими и квантовыми наблюдаемыми мыможем переписать умножение операторов как некоторый частный случай∗-произведения функций на фазовом пространстве.11.5.3.

Кривизна фазового пространства****В дифференциальной геометрии пространство считается искривлённым,если параллельный перенос по замкнутому контуру даёт преобразованиеотличное от тождественного. Параллельного перенос по замкнутому контуру в фазовой плоскости даёт умножение на фазовый множитель (11.27)iTΓ = e h̄ S(Γ) , т. е. действие элемента группы U (1). Это означает, что фазовой плоскости можно приписать кривизну над группой U (1). Кривизна11.5.

СДВИГИВ ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ **351фазовой плоскости постоянна, т. к. площадь контура входит в показательэкспоненты с постоянным коэффициентом.Аналогично кривизна над группой U (1) в пространстве-времени вводится при описании электромагнитного поля как калибровочного.Можно связать между собой две хорошо разработанных области математической физики: симплектическую геометрию и теорию калибровочныхполей.

Симплектическая форма и тензор электромагнитного поля объединяют в один объект, задающий кривизну в расслоении фазового пространстванад группой U (1). В литературе эта аналогия разрабатывается в одну сторону: квантовая механика как калибровочная теория в фазовом пространстве12 .Пусть X K — координаты в фазовом пространстве. Для коммутаторови классических скобок Пуассона имеем[X̂ K , X̂ L ] = ih̄J KL ,{X K , X L } = J KL .В нашей интерпретации J KL — тензор кривизны фазового пространстванад группой U (1).В канонических координатахiX Q = Qi ,X Pj = Pj ,JQiPji= −J Pj Q = δji ,JQiQj= J Pi Pj = 0.Переход от обобщённых импульсов P к кинематическим импульсам pпозволяет исключить статическое магнитное поле из гамильтониана, описав его как добавку к кривизне фазового пространства.