М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 64

Пусть имеется однопараметрическая группа симметрий гамильтониана Ĥ с непрерывным параметром α ∈ R:Ûα1 Ûα2 = Ûα1 +α2 ,(11.3)Ûα−1 = Û−α ,(11.4)Û0 = 1̂,(11.5)[Ĥ, Ûα ] = 0.(11.6)Частный случай однопараметрической группы симметрии сдвига по времени (5.4)–(5.6) уже рассматривался при выводе уравнения Шрёдингера.И подобно тому, как из сдвига по времени Ût получается оператор Гамильтона (оператор Гамильтона отвечает энергии, той самой величине, сохранение которой следует из однородности времени по теореме Нётер), изсимметрии Ûα получится эрмитов оператор некоторой сохраняющейся величины.Дифференцируя (11.6) по параметру α, получаем:%$∂∂Ûα[Ĥ, Ûα ]= 0.= Ĥ,∂α∂α α=0α=0Обозначим∂ Ûα  = −ih̄∂α ⇒iÛα = e h̄ αÂ(11.7)α=0(по сравнению с (5.9) здесь выбран другой знак). Полностью аналогично (5.10)†Â†Â†+ o(dα) = 1̂ + dα+ o(dα),(11.8)Ûdα = 1̂ − dαih̄ih̄−1†−1Ûdα = Ûdα = 1̂ − dα+ o(dα)+ o(dα),= 1̂ + dαih̄ih̄⇒ = † .Таким образом, мы получаем эрмитов оператор Â, для которого коммутаторс гамильтонианом обнуляется[Ĥ, Â] = 0.(11.9)Эрмитовы операторы Ĥ и  могут быть одновременно диагонализованы.

Тоесть математически (11.9) не имеет преимуществ перед (11.1), но имеется336ГЛАВА 11преимущество с точки зрения физического смысла, поскольку эрмитовойвеличине соответствует некоторая измеряемая величина. Энергия и физическая величина, соответствующая оператору Â, могут быть одновременноизмерены.Далее мы рассмотрим ряд важных примеров квантовых законов сохранения.11.3.1. Сохранение единичного оператораЗаметим, что любой гамильтониан симметричен относительно одновременного умножения всех волновых функций на одинаковый фазовыймножитель eα = eiα , α ∈ R, |eα | = 1.

Умножение на eα может рассматриваться как действие унитарного оператора êα = eα · 1̂ из группы U (1). Мыполучаем однопараметрическую симметрию, для которой сохраняющаясяêα физическая величина задаётся единичным оператором 1̂ = −i ∂∂α, коα=0торый, очевидно, коммутирует с любым оператором, а значит сохраняетсядля любого гамильтониана3.11.3.2. Обобщённый импульсПусть симметрией системы является сдвиг вдоль обобщённой координаты Qi на произвольную величину a. То есть оператор симметрии T̂aдействует следующим образом:∂T̂a ψ(Qi , q) = ψ(Qi + a, q) = ψ(Qi , q) + aψ(Qi , q) + · · · +∂Qin(11.10)∂1a+ψ(Qi , q) + · · · .n!∂QiЗдесь состояние ψ записано как волновая функция, аргументами которойявляются координата Qi и некоторый набор физических величин q, образующий вместе с Qi полный набор независимых переменных.

Далее мыразложили волновую функцию в степенной ряд по параметру a. Сравнив T̂a ψ(Qi , q) с получившимся рядом, получаемn∂∂1aT̂a = 1̂ + a+ ··· ++ ··· =∂Qin!∂Qi∂a ∂Q=eii= e h̄∂a −ih̄ ∂Qii= e h̄ aP̂i . (11.11)3 Описанная симметрия и отвечающий ей «закон сохранения» представляются тривиальными и малоинтересными, но после некоторой модификации они окажутся интересными длясистем с переменным числом частиц с точки зрения сохранения заряда.11.3. Н ЕПРЕРЫВНЫЕСИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ337Здесь мы ввели обозначение для оператора обобщённого импульса вдолькоординаты Qi∂∂ T̂a = −ih̄.(11.12)P̂i = −ih̄∂Qi∂a a=0Для обычной декартовой координаты в роли обобщённого импульсавыступает проекция обыкновенного механического импульса на выбранную ось. Для угла поворота вокруг некоторой оси в роли обобщённогоимпульса выступит проекция момента импульса на данную ось.Собственные функции для оператора (11.12) зависят от координаты Qiкак волны де Бройляiψp (Qi , q) = c(q) · e h̄ p·Qi .(11.13)Если обобщённая координата Qi ∈ R, то спектр непрерывен, и собственное число p пробегает всю действительную ось p ∈ R.

Если координата Qi пробегает конечный интервал [0, Qmax ] с периодическими граничными условиями (например, если Qi — угол вокруг какой-либо оси, Qmax == 2π, а Pi — проекция момента импульса на эту ось), то спектр оператораmaxP̂i дискретен, и p·Q∈ Z. Устремляя Qmax к бесконечности, мы можем2πh̄совершить предельный переход к непрерывному спектру.Для определённого таким образом обощённого импульса и соответствующей координаты мы можем получить коммутационное соотношение [Q̂, P̂ ]:4 ∂∂ψ − −ih̄(Qψ) = ih̄ψ,[Q̂, P̂ ]ψ = (Q̂P̂ − P̂ Q̂)ψ = Q −ih̄∂Q∂Q[Q̂, P̂ ] = ih̄.(11.14)Мы получили коммутационное соотношение (11.14) для случая, когда волновая функция является функцией обобщённой координаты Q, и, соответ4 На самом деле не всё так просто.

Область определения коммутатора [Q̂, P̂ ] включаеттолько векторы, на которые определено действие операторов Q̂, P̂ , в то время как областьопределения оператора умножения на число ih̄ — всё пространство H. Таким образом, коммутатор [Q̂, P̂ ] должен быть доопределён на всех тех состояниях, которые первоначальноне попали в его область определения. Такое доопределение особенно осложняется в случаепериодических граничных условий по координате. Как ни странно, игра на этих «чисто математических» тонкостях позволяет получить нетривиальные физические результаты, которыемы обсудим далее.338ГЛАВА 11ственно, оператор Q̂ сводится к умножению на Q, а оператор P̂ записы∂вается как P̂ = −ih̄ ∂Q, однако полученный ответ может быть использован в любом представлении пространства чистых состояний (волновыхфункций).Если система состоит из нескольких невзаимодействующих подсистем,с одинаковой симметрией сдвига вдоль какой-то одной и той же координаты, то сохраняться будут обобщённые импульсы вдоль этой координаты для всех подсистем и любые их комбинации.

Однако, если подсистемы взаимодействуют, то симметрия относительно сдвига только однойподсистемы может оказаться нарушенной. Сохранится же в общем случае только симметрия относительно одновременного сдвига соответствующих координат всех подсистем на одну и ту же величину a. В этом случае для системы мы имеем только один закон сохранения суммарногообобщённого импульса по данной координате, отвечающий этому одновременному сдвигу. Не теряя общности для двух подсистем, можем записать:T̂a ψ(Q1i , Q2i , q) = ψ(Q1i + a, Q2i + a, q) =∂∂12ψ(Q1i , Q2i , q) + · · ·+= ψ(Qi , Qi , q) + a∂Q1i∂Q2in∂∂1 n+ψ(Q1i , Q2i , q) + · · · .+ an!∂Q1i∂Q2iaT̂a = e−ih̄∂∂Q1i+∂∂Q2i=eih̄ aP̂i =P̂i1(11.15)∂∂Q1i+−ih̄P̂i2∂∂Q2ii∂ T̂a = −ih̄∂a P̂i1 = −ih̄∂,∂Q1iP̂i2 = −ih̄∂.∂Q2i12= e h̄ aP̂i = e h̄ a(P̂i +P̂i ) .

(11.16)i,(11.17)a=0То есть, как и в классической механике, суммарный обобщённый импульс вдоль координаты Qi задаётся как сумма импульсов отдельных подсистем.11.3. Н ЕПРЕРЫВНЫЕСИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ339Мы видим, что наиболее общей оказывается формула для обобщённогоимпульса, как для генератора симметрии сдвига (трансляции)i∂ T̂a P̂i = −ih̄⇔T̂a = e h̄ P̂i a .(11.18)∂a a=0Формула (11.18) связывает его с соответствующей однопараметрическойсимметрией, при этом не важно, является ли система сложной или составной, в каком виде записаны волновые функции (через какие переменныеони выражены) и записывается ли симметрия как сдвиг по соответствующим координатам (11.10), (11.15), или как-то иначе5 .11.3.3. Импульс как обобщённая координата*В коммутационное соотношение (11.14) [Q̂, P̂ ] = ih̄ координата и импульс входят почти (с точностью до знака) симметрично.

Если мы сделаемзаменуQ̂ → P̂ ,P̂ → −Q̂,то соотношение перейдёт в себя6 .Таким образом, в импульсном представлении, получаемом из координатного преобразованием Фурье, операторы координаты и импульса приобретают вид∂P̂ = P,Q̂ = ih̄.∂PОтсюда следует, что операторŜb = e− h̄ Q̂b = eb ∂Pi∂является оператором сдвига по импульсу на b:Ŝb ψ(P ) = ψ(P + b).Разумеется, определение Ŝb = e− h̄ Q̂b как оператора сдвига по импульсу не зависит от того, в каком представлении мы работаем. Например,i5 В частности, именно через формулу (11.18) для поворотов вводятся операторы моментаимпульса с учётом спина (простой сдвиг по углам позволяет «поймать» только орбитальныемоменты).6 В теоретической механике замена координат в фазовом пространстве, сохраняющая скобку Пуассона, называется канонической заменой координат.340ГЛАВА 11в координатном представлении оператор Ŝb действует простым умножениiем волновой функции ψ(Q) на волну де Бройля e− h̄ Qb .

В частности, есливолновая функция является собственной для оператора импульса, то получаемŜb ψp0 (Q) = ψp0 −b (Q) . ie− h̄ bQip Q√1 e h̄ 02πi (p −b)Q0√1 e h̄2πФункции ψp0 образуют базис, таким образом мы проверили, что оператор Q̂b производит сдвиг по импульсу также и в координатном представлении.Если мы разлагаем потенциал Û (Q) в ряд или интеграл Фурье, то мытем самым представляем его в виде суперпозиции операторов сдвига поимпульсу.Если потенциал разлагается в ряд Фурье, то для функции с периодом aполучаем:+∞+∞2πnÛ (Q) =un ei a Q =un Ŝ− 2πh̄ n .n=−∞n=−∞aТаким образом, периодический с периодом a потенциал разлагаетсяв линейную комбинацию сдвигов по импульсу кратных периоду обратнойрешётки 2πh̄a .

Это означает, что импульс под действием периодическогопотенциала Û (Q) сохраняется с точностью до целого числа периодов обратной решётки, и если мы введём параметр, называемый квазиимпульсомq=P +2πh̄n,an ∈ Z,q ∈ [0, 2πh̄a ),то он будет сохраняться. Это утверждение называется теоремой Блоха. Мыещё раз рассмотрим эту теорему и понятие квазиимпульса ниже (11.4.3«Квазиимпульс*»).Свёртка и её физический смысл для потенциала и состоянияВ общем случае нам удобно определить преобразование Фурье следующим образом:ii1Û (Q) = u(p) e h̄ pQ dp = u(p) Ŝ−p dp, u(p) =U (Q) e− h̄ pQ dQ.2πh̄11.4.