М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 63

По существу, это разновидностьквантового эффекта Зенона.10.7. А ЛГОРИТМ Г РОВЕРА32910.7. Алгоритм ГровераКвантовый алгоритм Гровера позволяет ускорить решение задачи перебора.Пусть нам надо найти корень уравненияω = 0, 1, . .

. , 2L − 1,f (ω) = 0,2L 1,где f — некоторая функция которую сравнительно легко вычислить, но длякоторой сложно решить уравнение. То есть f — это такая функция, длякоторой мы не знаем лучшего алгоритма решения уравнения, чем полныйперебор, но для которой в интересующей нас области имеется ровно одинкорень.Будем считать, что у нас есть квантовый чёрный ящик, который представляет собой унитарный оператор (квантовый вентиль) Ûω следующеговида:Ûω = 1̂ − 2|ωω|,т. е. для базисных состоянийÛω |ω = −|ω,Ûω |n = |n,n = ω.Помимо неизвестного выделенного состояния ω у нас есть известноевыделенное состояние |X, с этого состояния мы начнём вычисления:|X =|0 + |1√2⊗L=12L/2L2−1|n.n=0Для этого состояния мы можем определить аналогичный унитарный оператор ÛXÛX = −1̂ + 2|XX|.Вычисление состоит в поочерёдном действии на состояние |X операторов Ûω и ÛX :|Ψ0 = |X,|Ψk = ÛX Ûω |Ψk−1 = (ÛX Ûω )k |X.Легко видеть, что вектор |Ψk всё время остаётся в плоскости натянутой навекторы |ω и |X.

В этой плоскости операторы Ûω и ÛX задают зеркальные отражения относительно прямой ω перпендикулярной |ω и прямой X330ГЛАВА 10параллельной |X. Угол δ между прямыми ω и X и угол α между ω и Xможно определить из скалярного произведенияδ ≈ sin δ = cos α = ω|X =12L/2 1.π1π− δ ≈ − L/2 .222Комбинация отражений относительно пересекающихся прямых даётповорот относительно точки пересечения на удвоенный угол между этимипрямыми 2δ в направлении от первой прямой ко второй (от ω к X). Такимобразом, примерно заα=απ1π=− ≈ 2L/22δ4δ24шагов вектор |Ψk станет почти параллелен ω (с точностью δ), а при дальнейшем повторении итераций вектор |Ψk начнёт уклоняться от ω в противоположную сторону.Если N = 2L — число вариантов перебора, в классическом случае длянахождения ω потребовалосьбы вычислить функцию f в среднем N/2 раз,√а в квантовом — π4 N раз.Конструирование вентиля ÛX оставляем читателю в качестве упражнения.

Отметим, что тут будет полезен вентиль Адамара H.(ф) Алгоритм Гровера иногда называют «алгоритмом поиска по неотсортированной базе данных», подразумевая, что функция f (n) задаёт содержимой ячейки номер n некоторой большой базы данных.

Такая точказрения возможно только с существенной оговоркой: это должна быть квантовая база данных, т. е. такая база данных должна принимать не толькозапросы вида «выдать содержимое ячейки номер n», но и суперпозициитаких запросов, выдавая в ответ суперпозиции соответствующих ответов.ГЛАВА 11Симметрии-1 (теорема Нётер)Наиболее естественно строить квантовую механику, основываясь, понятии симметрии.

Выше(5.1 «Квантовая механика замкнутой системы») временная эволюция была описана как преобразованиесимметрии, порождённое оператором энергии (гамильтонианом). Следуя за классической теоретической механикой, в которой первая теорема ЭммыНётер устанавливает связь между симметриями и законами сохранения, мы должны ожидать, что и другим преобразованиям симметрии будут соответствовать свои сохраняющиеся величины, причём сдвигупо координате должен соответствовать импульс.Рис.11.1.

ЭммаКак мы увидим далее, квантовая теорема Нётер Нётер (1882–1935). Wдаже проще классической. Мы воспользуемся ей,чтобы ввести в квантовую механику ряд наблюдаемых, как имеющихклассические аналоги (импульс, момент импульса), так и не имеющих(чётность, квазиимпульс).11.1. Что такое симметрия в квантовой механикеСимметрия физической системы — это некоторое преобразование, которое переводит одни решения уравнений эволюции в другие решения тогоже уравнения1 . В частности стационарные состояния должны переходить1 Рассматривавшийсявыше сдвиг нулевого уровня энергии (5.13) не подпадает под данноеiE0 tопределение, поскольку преобразование ψ(t) → ψ(t)e− h̄ переводит решения уравненияШрёдингера с гамильтонианом Ĥ в решения другого уравнения Шрёдингера, с гамильтонианом Ĥ = Ĥ + E0 1̂.332ГЛАВА 11в стационарные с той же энергией2 . Стационарные состояния образуют базис, поэтому достаточно проверить симметрию только для стационарныхсостояний.Симметрии должны удовлетворять следующим условиям:• пространство чистых состояний имеет структуру линейного пространства =⇒ симметрии описываются линейными операторами;• симметрия должна обладать свойством рефлексивности (если ψ симметрично φ, то и φ симметрично ψ) =⇒ для всякого оператора симметрии существует обратный оператор, который тоже является симметрией;• пространство чистых состояний наделено структурой скалярного произведения =⇒ операторы симметрии должны сохранять скалярноепроизведение (а значит и вероятность).Перечисленные три условия означают, что симметрии описываютсяунитарными операторами.

φ симметрично ψ относительно симметрии Û ,записывается как ψ = Û φ, где Û — унитарный оператор данной симметрии.Пусть задан некоторый гамильтониан, для которого задан спектр:ĤψE = EψE .Если унитарный оператор Û является симметрией данного гамильтониана, то состояние Û ψE также является собственным для того же гамильтониана с тем же собственным числом:(Ĥ Û )ψE = Ĥ(Û ψE ) = E(Û ψE ) = Û (ĤψE ) = (Û Ĥ)ψE .Вычитая из первого выражения в цепочке равенств последнее, получаем:(Ĥ Û − Û Ĥ)ψE = 0.Состояния ψE образуют базис. Таким образом, все базисные состояния обнуляются под действием оператора [Ĥ, Û ] = Ĥ Û − Û Ĥ, а значит данныйоператор является нулевым:[Ĥ, Û ] = Ĥ Û − Û Ĥ = 0.(11.1)2 Если симметрия не зависит от времени.

В данном разделе мы ограничимся этим случаем,хотя возможны и иные случаи, например, переход от одной инерциальной системы отсчётак другой, движущейся относительно исходной равномерно и прямолинейно, является симметрией для свободной частицы, хотя и меняет уровни энергии.11.2. П РЕОБРАЗОВАНИЯОПЕРАТОРОВ« ВМЕСТЕ »И« ВМЕСТО »333Равенство нулю коммутатора (11.1) является необходимым и достаточнымусловием того, что унитарный оператор Û является симметрией данногогамильтониана Ĥ.Из условия (11.1) следует, что эрмитов оператор Ĥ и унитарный оператор Û могут быть диагонализованы одновременно, т. е.

может быть построен базис, все элементы которого являются собственными функциями дляобоих операторов. Следует иметь в виду, что не всякая функция, собственная для одного оператора, также является собственной для другого (такоевозможно для собственных чисел, которым соответствуют несколько линейно независимых собственных функций).11.2. Преобразования операторов «вместе» и «вместо»Мы можем применять преобразования симметрии не только к состояниям, но и к операторам.

Мы можем выполнять преобразования двумя способами:• Преобразование «вместе»: операторы преобразуются вместе с состояниями, так, чтобы изменение операторов компенсировало изменениесостояний и все матричные элементы оставались теми же, что и допреобразования:ψ → Û ψ, → Û ÂÛ † ,††φ|Â|ψ → φ| Û Û Â U Û |ψ = φ|Â|ψ.1̂1̂• Преобразование «вместо»: операторы преобразуются вместо состояний, так, чтобы изменение операторов и изменение состояний давалоодинаковое преобразование матричных элементов:ψ → Û ψ, → Â,φ|Â|ψ → φ|Û † ÂÛ |ψ,илиψ → ψ, → Û † ÂÛ ,φ|Â|ψ → φ|Û † ÂÛ |ψ.Таким образом, преобразования операторов «вместе» и «вместо» осуществляются с помощью обратных операторов.Преобразования «вместе» естественно применять для описания пассивных преобразований, когда преобразования состояния системы трактуются как замена базиса.

В этом случае преобразование операторов вместес состояниями соответствует их переписыванию в новом базисе.334ГЛАВА 11Преобразования «вместо» естественно применять для описания активных преобразований, когда преобразования состояния системы трактуютсякак изменение физического состояния системы.

В этом случае преобразование операторов вместо состояний даёт альтернативное описание тогоже самого преобразования. Например, преобразование операторов от представления Шрёдингера к представлению Гайзенберга — это преобразованиеоператоров «вместо» преобразования состояний, задававшего унитарнуюэволюцию в представлении Шрёдингера.11.2.1.

Непрерывные преобразования операторов и коммутаторыПусть оператор Â подвергается однопараметрическому преобразованию «вместе» Ûα :Â → Âα = Ûα ÂÛα† ,Ûα = eiαB̂ .Дифференцируя Âα по параметру α, получаем коммутатор оператора Âα и генератора преобразования B̂:dÂα= (iB̂)Ûα ÂÛα† + Ûα ÂÛα† (−iB̂) = i[B̂, Âα ].dα(11.2)Положив α = 0, получаем необходимое и достаточное условие инвариантности оператора при однопараметрическом преобразовании («вместе»или «вместо» — не важно):[Â, B̂] = 0.11.3. Непрерывные симметрии и законы сохраненияВ классической механике каждой симметрии, параметризуемой непрерывным параметром, в соответствии с теоремой Эммы Нётер соответствует закон сохранения.

Если выбором координат свести такую симметрию к сдвигу по какой-то обобщённой координате (однородность пообобщённой координате), то такой сохраняющейся величиной можно выбрать обобщённый импульс вдоль этой координаты. Если функция Гамиль)тона H(Q, P ) не зависит от координаты Qi , то есть если ∂H(Q,P= 0, то∂Qiв силу уравнения Гамильтонавремени.∂H(Q,P )∂Qi= −Ṗi импульс Pi не зависит от11.3. Н ЕПРЕРЫВНЫЕСИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ335Получим квантовый аналог теоремы Нётер.