М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 51

5.2.6 «Интегралы движения»), а на временном отрезке [t1 , t2 ] не выполнялось измеренийдругих наблюдаемых, не коммутирующих с Â(t).Покажем, что любую наблюдаемую Â(t1 ) можно продолжить на другие моменты времени, как интеграл движения Â(t).Пусть наблюдаемая Â(t1 ) разложена по проекторам P̂k (t1 ), которыеотвечают собственным числам akak P̂k (t1 ).Â(t1 ) =kЕсли в момент времени t1 проведено измерение наблюдаемой Â(t1 ), которое дало значение ak , то, согласно проекционному постулату, состояниеψ(t1 ) перешло в состояниеψk (t1 ) = P̂k (t1 )ψ(t1 ).К моменту времени t2 > t1 состояние ψk (t1 ) эволюционирует в состояниеψk (t2 ) = Û (t2 , t1 ) ψk (t1 ) = Û (t2 , t1 ) P̂k (t1 ) ψ(t1 ).Вставив перед состоянием ψ(t1 ) единичный оператор 1̂ = Û † (t2 , t1 ) Û (t2 , t1 )получаем, что то же состояние ψ2 (t2 ) может быть получено в результате унитарной эволюции исходного состояния ψ(t1 ), и некоторого новогоизмерения, которое выполняется в момент времени t2 и описывается проекционным оператором P̂k (t2 ):ψk (t2 ) = Û (t2 , t1 ) P̂k (t1 ) Û † (t2 , t1 ) Û (t2 , t1 ) ψ(t1 ) = P̂k (t2 ) ψ(t2 ).P̂k (t2 )ψ(t2 )266ГЛАВА 8Измерение в момент времени t2 соответствует обнаружению собственногочисла ak для другой наблюдаемойÂ(t2 ) =ak P̂k (t2 ).Â(t2 ) = Û (t2 , t1 ) Â(t1 ) Û † (t2 , t1 ),kПо сравнению с Â(t1 ) спектр Â(t2 ) остаётся прежним, а собственные подпространства «доворачиваются» с помощью оператора Û (t2 , t1 ).Используя дифференциальное уравнение на оператор эволюции∂iU (t, t1 ) = − Ĥ(t) U (t, t1 ),∂th̄мы можем написать для операторнозначной функции Â(t) дифференциальное уравнение∂ Â(t)i= − [Ĥ(t), Â(t)]∂th̄⇔dÂ(t)∂ Â(t)i=+ [Ĥ(t), Â(t)] = 0.dt∂th̄Это уравнение отличается знаком от уравнения Гайзенберга, т.

е. оно описывает эволюцию оператора «в обратную сторону». Антигайзенберговскаяэволюция оператора компенсирует шрёдингеровскую эволюцию квантовыхсостояний. (Ранее мы уже приводили пример динамического инвариантадля свободной частицы, который в момент времени t = 0 соответствуетоператору координаты (5.24): xи (t) = x̂ − p̂ t/m.)Таким образом, точный момент времени, когда выполняется то илииное измерение не важен, если доопределить измеряемые величины, какдинамические инварианты. Важен лишь порядок в котором проводятсяизмерения некоммутирующих величин. Измерения коммутирующих величин можно переставлять, в силу коммутативности соответствующих проекторов.8.4. Возможна ли иная теория измерений? (фф)Теория селективных измерений состоит из двух частей:• формула для вероятности определённого исхода измерения;• формула для волновой функции после измерения с определённым исходом (проекционный постулат).8.4.

В ОЗМОЖНАЛИ ИНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ? ( ФФ )267Статус этих двух частей теории измерений в рамках квантовой механики различен.Формула для вероятностей едва ли может быть модифицирована. Повсей видимости она столь же фундаментальна, как унитарная эволюция.Единственность этой формулы была выведена при определённых предположениях Эвереттом (см. раздел 8.4.1 «Эвереттовский “вывод” теории измерений (фф*)»). Ниже мы продемонстрируем «жёсткость» этой формулыс точки зрения отсутствия релятивистских парадоксов.Проекционный постулат является естественным приближением. Мыможем рассматривать модифицированные теории измерений, в которыхпроекционный постулат изменён (см.

правило (8.1) в разделе 8.2.1 «Измерительный прибор по фон Нейману**»), или выводится из иных постулатов. (Если эти «иные постулаты» представляются кому-то более естественными.)Помимо фундаментальных аспектов теории следует помнить и о простой корректности её применения: при анализе конкретного экспериментанадо аккуратно исследовать, какие именно физические величины мы меримна самом деле.8.4.1. Эвереттовский «вывод» теории измерений (фф*)Если строить теорию измерений, опираясь только на те понятия, которые уже были введены для описания эволюции замкнутой системы (линейное пространство чистых состояний, на котором задано скалярное произведение), то формула для вероятностей фиксируется однозначно при некоторых разумных (по крайней мере пока) предположениях.Такого рода вывод был проделан Х.

Эвереттом. Мы обобщим этот вывод и сформулируем в виде теоремы, явно оговорив условия, которые былиопущены Эвереттом.Теорема Эверетта. Вероятность исходу измерения может быть приписана единственным способомpφψ =|φ|ψ|2ψ|φφ|ψ,=ψ2 φ2ψ|ψφ|φ(8.2)при условии, что:• вероятность исхода pφψ ∈ [0, 1] определяется только векторами состояния до измерения |ψ и после измерения |φ, причём состоянияопределяются с точностью до ненулевого множителя;268ГЛАВА 8• зависимость вероятности от состояний непрерывна;• вероятность инвариантна относительно произвольных унитарных преобразований пространства состояний;• pψψ = 1;• суммарная вероятность равна 1, т.

е. если дан максимальный набор взаимоисключающих чистых состояний |φi (ортогональный базис), тосуммарная вероятность равна 1:pφi ψ = 1;i• размерность пространства состояний не меньше 3.Доказательство.Поскольку состояния определены с точностью до ненулевого множителя, мы можем перейти к рассмотрению векторов состояний |ψ̃, |φ̃, |φ̃i ,нормированных на единицу. Более того, мы можем считать, что скалярноепроизведение φ̃|ψ̃ вещественно и неотрицательно, т.

е. φ̃|ψ̃ = |φ̃|ψ̃|.Поскольку формула не должна зависеть от унитарных преобразований, искомая вероятность pφψ = pφ̃ψ̃ должна выражаться через скалярное произведение φ̃|ψ̃, т. е.ψ|φφ|ψ2.pφψ = g(|φ̃|ψ̃| ) = gψ|ψφ|φДля суммарной вероятности получаемg(|φ̃i |ψ̃|2 ) = 1 = ψ̃2 =|φ̃i |ψ̃|2 . iig0 (|φ̃|ψ̃|2 )Ясно, что функция g0 (|φ̃|ψ̃|2 ) = |φ̃|ψ̃|2 удовлетворяет этому условию.Заметим, что g(0) = 0, т. к., выбрав |φ1 = |ψ, мы получаем1 = 1 +g(0).g(1)i=1Покажем, что функция g единственна.Мы всегда можем выбрать векторы |φi так, чтобы |ψ принадлежалплоскости, натянутой на |φ1 и |φ2 . Отсюда получаем, чтоg(x) + g(1 − x) = 1,Отсюда g( 21 ) = 12 .x = |φ1 |ψ|2 ∈ [0, 1].8.4. В ОЗМОЖНАЛИ ИНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ? ( ФФ )269Мы всегда можем выбрать векторы |φi так, чтобы |ψ принадлежалпространству, натянутому на |φ1 , |φ2 и |φ3 .

Пусть |φ3 |ψ|2 = 12 . Отсюдаполучаем, чтоg(x) + g( 21 − x) +1= 1,2x = |φ1 |ψ|2 ∈ [0, 12 ].Отсюда g( 41 ) = 14 :g( 14 ) + g( 34 ) = 1⇒g( 34 ) =3.41/4Аналогично беря значение |φ3 |ψ|2 в уже установленных точках, мы можем показать, что g 2kn = 2kn , n = 0, 1, 2, . . . , k = 0, 1, . . . , 2n .Это множество точек плотно на отрезке [0, 1]. Из непрерывности функции gзаключаем, что g(x) = x, x ∈ [0, 1].ОбсуждениеМы доказали теорему Эверетта, использовав весьма общие и естественные предположения. Если мы «верим в квантовую механику», т.

е. еслимы считаем, что разработанная для описания замкнутых систем унитарная квантовая механика в самом деле позволяет описать Вселенную вокругнас, и нам не требуется вводить в теорию никаких новых ингредиентов,то теорема должна нас убедить, что никаких других формул для квантовойвероятности в принципе не может быть.Однако в названии этого раздела слово «вывод» было взято в кавычки. Дело в том, что у нас нет достаточных оснований полагать, что процесс измерения описывается на языке унитарной квантовой механики, безвведения дополнительных структур. Например, если процесс измерения характеризуется не только начальным и конечным состояниями системы, нои какими-то выделенными состояниями, характеризующими измерительную установку, то приведённое доказательство теоремы уже не работает(квантовая механика при этом могла бы даже оставаться унитарной). Темболее теорема не должна работать, если мы рассмотрим какое-либо нелинейное обобщение квантовой теории.270ГЛАВА 88.4.2.

«Жёсткость» формулы для вероятностей (фф)Можем ли мы тем или иным способом (см., например, раздел 9.3.9 «Активное сознание (фф*)») управлять квантовыми случайностями, или хотябы изменить квантовые вероятности по сравнению со стандартной формулой |ψn |2 ?Продемонстрируем на примере измерения системы (кубита), имеющейдва базисных состояния |0 и |1, что управление вероятностями привелобы к возможности передавать информацию на расстоянии со сколь угоднобольшой скоростью, грубо нарушая постулаты специальной теории относительности.Пусть наш кубит находится в состоянии, зацепленном с другим кубитом:|0|0 + |1|1√|Ψ =.(8.3)2Пусть первый кубит находится у Алисы, а второй у Бориса.Алиса измеряет состояние своего кубита в базисе |0, |1.

При этомкубит Бориса оказывается в том же состоянии, что и кубит Алисы:|Ψ −→ |0|0 или |1|1.Таким образом, управляя результатом своего измерения, Алиса тем самымуправляет результатом измерения, которое чуть позже производит Бориснад своим кубитом.Мы видим, что если почти на полпути между Алисой и Борисом естьисточник запутанных кубитов, которые прилетают к Алисе чуть-чуть раньше, то Алиса может передавать Борису информацию на любое расстояниесо сколь угодно малой задержкой! Для такой передачи не надо даже полностью управлять результатом измерения, достаточно лишь чуть-чуть сдвинуть вероятность в желаемую сторону, тогда, повторив передачу несколькораз, удастся передать Борису любое сообщение, закодировав его состояниями |0 и |1. А если сделать преобразование Лоренца, то окажется, чтоуправляя вероятностями, Алиса может передавать информацию не толькосо сверхсветовой скоростью, но и в прошлое.Полученные противоречия со специальной теорией относительностипозволяют сделать заключение, что квантовая формула для вероятностейявляется очень «жёстким» элементом квантовой теории.

Попытки её модифицировать наверняка приведут к проблемам с причинностью (причина8.4. В ОЗМОЖНАЛИ ИНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ? ( ФФ )271позже следствия). Соответствующая теорема о квантовой телепатии доказывается ниже в разделе 8.4.3.8.4.3. Теорема о квантовой телепатии (фф*)Выше в разделе 8.4.2 «“Жёсткость” формулы для вероятностей (фф)»мы показали, как отклонение от стандартных квантовых вероятностей длясостояний определённого вида (8.3) позволяет осуществлять квантовуютелепатию — сколь угодно быструю передачу информации посредствомквантовых запутанных систем. Квантовая телепатия грубо противоречитспециальной теории относительности, а, следовательно, её наличие оказывается проблемой для теории.Обобщив эти рассуждения, докажем (на физическом уровне строгости)Теорему о квантовой телепатии:Если для некоторой системы возможно проведение измерения, удовлетворяющего проекционному постулату, но нарушающему формулу для вероятностей, то можно построить запутанное состояние этой системыи двухуровневой системы (кубита), позволяющее осуществлять квантовую телепатию.Пусть состояние системы, для которой мы можем нарушать правиловероятностей (осуществлять неправильное измерение), описывается некоторой волновой функцией |ψ ∈ H.

Наблюдаемой величине Â, для котороймы можем осуществить наше неправильное измерение, соответствует набор проекторов P̂n на собственные подпространства Hn . Мы имеем двараспределения вероятностей по n: pn соответствует неправильному измерению, а pn — правильному. Определим проектор P̂+ и соответствующееподпространство H+ :P̂+ =H+ =P̂n ,n:pn >pn-Hn = P̂+ H,n:pn >pnP̂− = 1̂ − P̂+ ,H− = P̂− H.Также мы можем определить вероятности p+ и p+ , отвечающие неправильному и правильному измерениям:p+ = 1 − p− =n:pn >pnpn ,p+ = 1 − p− =n:pn >pnpn .272ГЛАВА 8Мы можем разложить наше состояние |ψ на сумму двух членов:|ψ = |ψ+ + |ψ− ,|ψ+ = P̂+ |ψ,|ψ− = P̂− |ψ.Построим теперь следующее запутанное состояние:|Ψ = |ψ+ |1 + |ψ− |0.Наша исходная система находится в распоряжении Алисы, а кубит — в распоряжении Бориса.При неправильном измерении Алисой величины Â кубит попадаетв состояние |1 с вероятностью p+ и в состояние |0 с вероятностью p− .С этими же вероятностями Борис обнаружит 1 или 0, производя (обычное)измерение своего кубита.Если Борис делает измерение своего кубита раньше Алисы, то он получает 1 или 0 уже с другими вероятностями p+ и p− .Располагая достаточным запасом систем в состоянии |Ψ, Алиса и Борис могут проводить измерения сразу над несколькими экземплярами системы.