М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 50

Вероятность такого исхода —pij = R̂j P̂i |ψ0 2 = ψ0 |P̂i R̂j2 P̂i |ψ0 = ψ0 |P̂i R̂j P̂i |ψ0 .pij = ψAi |R̂j |ψAi .Здесь |ψAi = P̂i |ψ0 8.2. М ОДЕЛИРОВАНИЕИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА *261Такое описание соответствует тому, что наблюдатель производит измерение состояния стрелок одновременно в конце эксперимента. Такимобразом, измерение двух некоммутирущих наблюдаемых Â и B̂ сводитсяк измерению коммутирующих наблюдаемых — состояний двух стрелок.Естественно проверить, как соотносится такое описание процесса измерения, с описанием с помощью. проекционного постулата.

Вероятностьтого, что первая стрелка покажет A = ai⎛⎞pi =pij =ψ0 |P̂i R̂j P̂i |ψ0 = ψ0 |P̂i ⎝R̂j ⎠ P̂i |ψ0 =jjj1̂= ψ0 |P̂i |ψ0 = ψAi |ψAi .Условная вероятность того, что вторая стрелка покажет B = bj , приусловии, что первая стрелка показала A = aipj|i =pijψAi |R̂j |ψAi .=piψAi |ψAi Условная вероятность pj|i соответствует вероятности получить B = bjв результате измерения, выполненного над состоянием |ψAi = P̂i |ψ0 , которое получается из исходного состояния малой системы с помощью проекционного постулата.Таким образом, мы показали, что предсказания, которые проекционный постулат даёт для корреляций некоммутирующих наблюдаемых, соответствуют предсказаниям, полученным в рамках рассмотренной моделипроцесса измерения. В этом смысле, можно сказать, что мы «вывели» проекционный постулат из правила Борна для вероятностей.Использование проекционного постулата для описания состояния малой системы в результате промежуточного измерения можно рассматриватькак переход к условным вероятностям, и, в силу произвольности выборавторой измеряемой наблюдаемой B̂, к условным амплитудам вероятности.Представленный вывод проекционного постулата зависит от моделипроцесса измерения.

Мы продемонстрируем это ниже (8.4.4 «ЛЛ-схема»).Однако, рассмотренная модель описывает измерение с минимально возможным взаимодействием в том смысле, что если измерение совершаетсянад собственным состоянием наблюдаемой, то состояние малой системы неизменяется.262ГЛАВА 88.2.3.

Измерение с одной стрелкойМы можем модифицировать описанную выше процедуру измеренияисключив вторую стрелку и действие унитарного оператора ÛB . В этомслучае в конце эксперимента вместо одновременного измерения показаниядвух стрелок измеряются показания первой стрелки, и напрямую измеряется наблюдаемая B̂ для малой системы. В роли второй стрелки выступаетсама малая система, для которой измеряется наблюдаемая B̂.|Ψ0 = |ψ0 ⊗ |α0 .ÛA : |ψAik ⊗ |αn → |ψAik ⊗ |αn+i .ÛA |Ψ0 =(P̂i |ψ0 ) ⊗ |αi =(R̂j P̂i |ψ0 ) ⊗ |αi ijiВ последнем выражении слагаемые двойной суммы снова соответствуюттому, что измерение показало, что A = ai , B = bj .Вероятности pij и условные вероятности pj|i при таком подходе остаются прежними.ОбсуждениеРассмотрение схемы с одной стрелкой представляет ещё более наглядные аргументы в пользу проекционного постулата.

В схеме с двум стрелками после применения к системе операторов ÛA и ÛB конечное измерение для разных наблюдаемых B̂ осуществляется для разных состояний. Поэтой причине мы можем для фиксированного состояния перед измерением однозначно определить только условные вероятности, но не условныеамплитуды.

В схеме с одной стрелкой конечное измерение осуществляетсядля состояния, которое не зависит от наблюдаемой B̂, поэтому определение условных амплитуд осуществляется однозначно для фиксированногосостояния перед измерением.В схеме с двумя стрелками мы не можем задать вопрос «Каково состояние системы между измерениями?» Это связано с тем, что измерениенаблюдаемой B̂ состоит из двух частей: создание корреляции между измеряемой системой и второй стрелкой и измерение состояния второй стрелки.В схеме с одной стрелкой измерение наблюдаемой B̂ происходит в моментконечного измерения и мы можем себе представить, что конечное измерение осуществляется в два этапа: измерение состояния первой стрелки(завершает измерение наблюдаемой Â) и измерение наблюдаемой B̂. И мы8.2. М ОДЕЛИРОВАНИЕИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА *263можем поставить вопрос о том, какое состояние надо приписать системемежду этими двумя моментами.После создания корреляции между измеряемой системой и стрелкой(с помощью оператора ÛA ), стрелка и измеряемая система больше не взаимодействуют, так что одновременность обоих измерений перестаёт бытьпринципиальной.

Например, если после действия оператора ÛA измеряемая система и стрелка удалились друг от друга в пространстве, то измерения состояния стрелки и измеряемой системы разделены пространственноподобным интервалом, а в этом случае, одновременность относительна, ипереходом к другой инерциальной системе отсчёта мы можем сделать измерение состояния измеряемой системы более поздним, чем измерение состояния стрелки.Таким образом, для схемы с двумя стрелками мы показали, что условные вероятности в этой схеме равны условным вероятностям при двухпоследовательно выполняемых идеальных измерениях, из которых первоеописывается проекционным постулатом. Для схемы с одной стрелкой мыпоказали более сильное утверждение, что в соответствующей системе отсчёта между измерениями может быть временной промежуток, в которомединственное состояние, которое можно приписать системе описываетсяпроекционным постулатом.Отметим специально, что мы вывели проекционный постулат не изунитарной эволюции, как пытаются делать многие авторы, а из правилаБорна для вероятностей.

Проекционный постулат при этом сводится к переходу условным вероятностям и условным амплитудам вероятности. Компоненты волновой функции, описывающие не реализовавшиеся исходы первого измерения не исчезают сами собой в процессе унитарной эволюциисистемы, но перестают оказывать влияние на результаты дальнейших измерений.8.2.4. Эксперимент ЭПР как измерение по схеме с одной стрелкойМысленный эксперимент Эйнштейна – Подольского – Розена7 основанна том, что измерение некоммутирующих наблюдаемых сводится к измерению заведомо коммутирующих наблюдаемых, относящихся к разным под7 Русский перевод оригинальной статьи со вступительным словом В. А. Фока и ответомН.

Бора был опубликован в журнале УФН: Фок В.А., Эйнштейн А., Подольский Б., Розен Н.,Бор Н., «Можно ли считать квантовомеханическое описание физической реальности полным?»УФН 16 (4) (1936).264ГЛАВА 8системам. Мы покажем, что эксперимент ЭПР в модификации предложенной Д. Бомом8 в точности соответствует описанной выше схеме измеренияс одной стрелкой. Таким образом, эксперимент ЭПР полностью согласуетсясо стандартной квантовой механикой.√Пусть малая система — кубит в состоянии |ψ0 = |↑−|↓. Стрелка —2тоже кубит в состоянии | ↑.1|Ψ0 = √ (| ↑ − | ↓)| ↑.2Первая измеряемая наблюдаемая — Â = σ̂z , соответствующий унитарныйоператор определим как «условное не», которое переворачивает состояниестрелки, если малая система находится в состоянии | ↑ÛA : | ↑|x → | ↑(σ̂x |x), | ↓|x → | ↓|x.|не xТогда подействовав оператором ÛA мы получаем ЭПР-состояние измеряемой системы и стрелки1ÛA |Ψ0 = √ (| ↑| ↓ − | ↓| ↑).2Далее, схема предполагает измерение наблюдаемой σ̂z над вторым кубитом(стрелкой), и измерение произвольной однокубитовой наблюдаемой B̂ надпервым кубитом — малой системой.Мы описали эксперимент ЭПР в формулировке Бома как часть рассмотренной выше схеме измерения с одной стрелкой.

Исходная идея эксперимента ЭПР соответствует исходной идее нашего рассмотрения: заменаневозможного одновременного измерения двух некоммутирующих наблюдаемых одновременным измерением каких-либо иных, уже коммутирующих, наблюдаемых, связанных с разными подсистемами.8.3. Сдвиг измерения по времениДва измерения, выполняемые над замкнутой системой в разные моменты времени мы будем считать эквивалентными, если возможно заменить8 См.стр. 700 книги Д.

Бом «Квантовая теория». М.: Наука, 1965.8.3. СДВИГИЗМЕРЕНИЯ ПО ВРЕМЕНИ265одно измерение другим, причём по окончании причём результаты эксперимента при этом не изменяются.Более точно, мы можем заменить измерение наблюдаемой Â(t1 ) в момент времени t1 измерением наблюдаемой Â(t2 ) в момент времени t2 (примем для определённости t2 > t1 ) и считать такую замену эквивалентной,если набор возможных значений наблюдаемых и их вероятности совпадают, а состояние системы после момента времени t2 не зависит от того, вкакой момент времени измерение было выполнено (но может зависеть отрезультата измерения).Оказывается, что для эквивалентности измерений достаточно, чтобынаблюдаемая Â(t) была динамическим инвариантом (см.