М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 49

Гамильтониан системы имеет видĤ =p̂2P̂ 2++ αq̂ P̂ .2m 2MЗдесь маленькими буквами обозначаются параметры и наблюдаемые, относящиеся к частице, а большими — к стрелке.Параметр α определяет силу взаимодействия. Мы считаем, что в начальный момент времени взаимодействие выключено (α|t<0 = 0), потомна протяжении времени T взаимодействие включено (α|t∈[0,T ] = τ1 ), послечего — снова выключено (α|t>0 = 0).Сразу после выключения взаимодействия наблюдатель производит надстрелкой идеальное определение координаты Q.Будем считать, что массы m и M достаточно велики, чтобы за время T(при заданном начальном состоянии) можно было пренебречь кинетическойэнергией частицы и стрелки.Оператор эволюции за время взаимодействия в координатном представлении можно переписать какÛT = e− τ h̄ q̂P̂ = e− τiTT∂q ∂Q.Таким образом, эволюция сводится к сдвигу координаты стрелки на расстояние Tτ q, пропорциональное координате частицы q.22ВTτiTимпульсном представлении получаем другой взгляд на процесс: ÛT = e− τ h̄ q̂ P̂ =P∂∂p=e, что соответствует сдвигу импульса частицы на величину − Tτ P , пропорциональную импульсу стрелки.256ГЛАВА 8Если начальное состояние системы факторизуемо Φ0 (q, Q) == ψ0 (q) φ0 (Q), то после взаимодействия получается перепутанное состояниеΦ1 (q, Q) = ÛT Φ0 (q, Q) = Φ0 (q, Q −Tτq) = ψ0 (q) φ0 (Q −Tτq).После обнаружения стрелки в точке Q0 (т.

е. обнаружения стрелки в состоянии δ(Q − Q0 )) частица оказывается в состоянииψ1 (q) = ψ0 (q) φ0 (Q0 −Tτq),Φ2 (q, Q) = P̂Q0 Φ1 = ψ0 (q) φ0 (Q −Tτq) δ(Q − Q0 ),а система в состояниис плотностью вероятности (скалярное произведение не возводится в квадрат, т. к. состояние Φ2 нормировано на плотность вероятности)w1 (Q0 ) = Φ2 |Φ1 =*∗)= dq dQ ψ0 (q) φ0 (Q − Tτ q) δ(Q − Q0 ) ψ0 (q) φ0 (Q −2= dq ψ0 (q) φ0 (Q0 − Tτ q) = ψ1 |ψ1 .Tτq) =Если начальное распределение вероятности для стрелки (w0 (Q) = |φ(Q)|2 )было достаточно узко и локализовано около нуля, то конечное состояниечастицы умножается на φ0 (Q0 − Tτ q) — узкий всплеск, локализованныйоколо измеренного значения координаты q, которое равноq0 = Q0τ.TВ пределе, когда wlim φ0 (Q) = δ(Q), мы получаем идеальное измерение величины с непрерывным спектром.Можно рассмотреть более реалистичную процедуру обнаружениястрелки в чистом состоянии φ1 (Q) = f (Q0 − Q).

После такого измерениясистема попадает в факторизуемое состояние|φ1 φ1 |Φ1 ,а частица в состояние|ψ2f = φ1 |Φ1 .8.2. М ОДЕЛИРОВАНИЕИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА *257Такое состояние можно назвать относительным состоянием частицы, относительно состояния |φ1 стрелки (см. (7.20) в 7.5.5 «Относительные состояния (ф*)»).Поскольку φ1 — одночастичное состояние, а Φ1 — двухчастичное, ихскалярное произведение даёт не число, а одночастичное состояние:ψ2f (q) = dQ f ∗ (Q0 − Q) ψ0 (q) φ0 (Q − Tτ q) =!=dQ f ∗ (Q0 − Q) φ0 (Q − Tτ q) ψ0 (q).ψ2f (q) = F (q) ψ0 (q),F (q) = dQ f ∗ (Q0 − Q) φ0 (Q − Tτ q). (8.1)Таким образом, исходная волновая функция частицы в результате измерения умножается на свёртку3 φ0 (• − Tτ q) и f ∗ .Например, при свёртке двух гауссовых пакетовQ21− 2a2φa = √·e,4πa2φa = √41πb2Q2· e− 2b2√шириной a и b получаем гауссов пакет шириной c = a2 + b2 :&&&222 22 22ab1− 2(aQ− 2(aQ4 4πa b4 4πa b2 +b2 )2 +b2 )φ=·e=.·eca2 + b2a2 + b2a2 + b2 4 π(a2 + b2 )Если f задаётся прямоугольным импульсом,11, |Q − Q0 | δQ,f (Q − Q0 ) =2 δQ 0, |Q − Q0 | > δQ,а φ0 — гауссовым пакетомφ0 = √41πa2Q2· e− 2a2 ,то в результате мы получаем сглаженный «почти прямоугольный» импульсшириной 2 δQ с размытыми краями (a — ширина размытия), локализо3 Свёртка(f ∗ g) двух функций f и g определяется соотношением(f ∗ g)(t) = f (τ ) g(t − τ ) dτ.R258ГЛАВА 8ванный около точки Q0 :1F (q) =2 δQ+δQ−δQ(Q−Q0 − T1τ2a2√· e−4πa2q)2dQ.Ранее (уравнение (3.9) в разделе 3.1.4 «Распределения вероятностей и волновые функции при измерении») мы уже постулировали, что при измерении волновая функция умножается на прямоугольный импульс (характеристическую функцию), который «вырезает» из неё часть, соответствующуюдиапазону, в который попала измеренная величина.

Теперь, путём анализа квантового процесса измерения с точки зрения квантовой механики, мыполучили обобщение этого правила, которое допускает замену прямоугольного импульса на сглаженный импульс, либо на волновую функцию общеговида4 .Мы сдвинули границу между системой и наблюдателем, включив в систему «стрелку» прибора. Взаимодействие системы и стрелки мы рассмотрели в рамках унитарной квантовой механики (с помощью оператора эволюции). Однако результат измерения положения стрелки наблюдателем мыснова были вынуждены постулировать как неунитарный процесс, не описываемый унитарной квантовой механикой.Таким образом, мы «вывели» проекционный постулат для системы, нов качестве исходного положения использовали аналогичный проекционныйпостулат, но уже для стрелки прибора.

Тем не менее, новый проекционныйпостулат имеет более общий вид, чем исходный. Теперь волновые функции,получаемые при взаимоисключающих результатах измерения, могут бытьуже не ортогональными. Однако по-прежнему конечная волновая функциялинейна по начальной.8.2.2. Измерение с двумя стрелкамиМоделирование измерения по фон Нейману описывает измерение наблюдаемой с непрерывным спектром, что существенно усложняет задачу,4 Замена характеристической функции на функцию R → [0, 1] общего вида соответствуетзамене обычного множества, нечётким множеством (fuzzy set), когда для точек определяетсяне принадлежность/непринадлежность к множеству, а вероятность принадлежности. Впрочем,классические нечёткие множества не позволяют описать умножение на волновую функциюпроизвольного вида, а значит уместнее рассматривать квантовые (нечёткие) множества, дляпопадания точек в которые задаётся не вероятность, а амплитуда вероятности.8.2.

М ОДЕЛИРОВАНИЕИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА *259запутывая вопрос о проекционном постулате с вопросом о точности измерения. Мы рассмотрим похожую модель для дискретного спектра. Крометого, чтобы обсуждать волновую функцию системы после наблюдения, следует также рассмотреть следующее наблюдение. Поэтому мы смоделируетпоследовательное измерение двух наблюдаемых с помощью двух приборов. Модель будет построена так, что измерение состояния стрелок обоихприборов происходит одновременно в конце эксперимента.

Благодаря этому дальнейшая судьба системы может не рассматриваться, а проекционныйпостулат нам не понадобится. Нам понадобится только правило Борна длявероятностей.5Рассмотрим измерение двух некоммутирующих наблюдаемых Â и B̂с дискретными спектрами. Собственные числа этих наблюдаемых — ai и bj .Соответствующие ортонормированные собственные состояния малой системы (собственно измеряемой системы без измерительных приборов) —|ai , k и |bj , l (индексы k и l различают собственные состояния с одинаковыми собственными числами).

Проекторы на собственные подпространства:P̂i =|ai , kai , k|,R̂j =|bj , lbj , l|,kP̂i1 P̂i2 = P̂i1 δi1 i2 ,lR̂j1 R̂j2 = R̂j1 δj1 j2 ,iP̂i =R̂j = 1̂.jПусть начальное состояние малой системы |ψ0 . Большая система помимомалой системы включает две стрелки, состояния которых мы будем обозначать буквами α и β, в частности базисные состояния обозначим как|αn , n ∈ ZN , |βm , m ∈ ZM (N и M — достаточно большие натуральныечисла6 , или бесконечность). В начале обе стрелки выставлены в базисныесостояния с номером 0:|Ψ0 = |ψ0 ⊗ |α0 ⊗ |β0 .Измерение наблюдаемой Â описывается как создание корреляции состояния малой системы с первой стрелкой, состояние второй стрелки (про5 Аналогичнаямодель была независимо предложена в статье David Oehri, Andrei V.

Lebedev,Gordey B. Lesovik, Gianni Blatter “Repeated measurements from unitary evolution: avoiding theprojection postulate” arXiv:1502.029386 N не меньше чем число различных собственных чисел оператора Â, M не меньше чемчисло различных собственных чисел оператора B̂.260ГЛАВА 8извольное состояние |βX остаётся неизменным)ÛA : |ai , k ⊗ |αn ⊗ |βX → |ai , k ⊗ |αn+i ⊗ |βX ,αi1 |αi2 = δi1 i2 .Оператор ÛA является унитарным, если понимать сумму n + i в смысле ZN(как остаток от деления суммы на N ).Аналогично, измерение наблюдаемой B̂ описывается как создание корреляции состояния малой системы со второй стрелкой, состояние первойстрелки (произвольное состояние |αX остаётся неизменным)ÛB : |bj , l ⊗ |αX ⊗ |βm → |bj , l ⊗ |αX ⊗ |βm+j ,βj1 |βj2 = δj1 j2 .Оператор ÛB является унитарным, если понимать сумму m+j в смысле ZM(как остаток от деления суммы на M ).Под действием оператора ÛA состояние большой системы |Ψ0 преобразуется следующим образом:ÛA |Ψ0 = ÛA(P̂i |ψ0 ) ⊗ |α0 ⊗ |β0 =(P̂i |ψ0 ) ⊗ |αi ⊗ |β0 .iiЕсли теперь подействовать на новое состояние большой системыÛA |Ψ0 оператором ÛB , мы получим(P̂i |ψ0 ) ⊗ |αi ⊗ |β0 =ÛB ÛA |Ψ0 = ÛBi= ÛB(R̂j P̂i |ψ0 ) ⊗ |αi ⊗ |β0 =ji=(R̂j P̂i |ψ0 ) ⊗ |αi ⊗ |βj jiКаждый член этой суперпозиции соответствует определённому положениюстрелок (первая стрелка показывает, что A = ai , а вторая — B = bj ).