М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 47

Квантовая томо19 На самом деле для задания квантовой томограммы нам даже не нужны распределениявероятностей для всех возможных полных наборов наблюдаемых. Например, для одиночнойчастицы на прямой достаточно задать распределения по всевозможным комбинациям αx +244ГЛАВА 7грамма позволяет полностью определить исходное неизвестное состояние(с точностью до физически незначащего общего фазового множителя).

Посуществу квантовая томограмма — иное представление состояния квантовой системы.Таким образом, клонирующее устройство позволило бы нам измерятьна эксперименте квантовую томограмму, т. е. квантовое состояние (волновую функцию) единичной системы.Без клонирующего устройства, обладая единичной системой в неизвестном состоянии, наибольшее, что мы можем сделать, — один раз измерить какой-либо полный набор совместных наблюдаемых. При этом мыполностью уничтожим исходное состояние системы: состояние спроецируется на собственное подпространство, отвечающее найденным значениямизмеренных наблюдаемых.

Единственное, что мы можем достоверно сказать про исходное состояние, что и до измерения его проекция на данноеподпространство была отлична от нуля.Возьмём простейший случай, когда система представляет собой квантовый бит (кубит — система с двумерным пространством состояний), например спин электрона, или поляризацию фотона.

Квантовый бит, в отличие от классического, может помимо базисных состояний |0 и |1 принимать их произвольные линейные комбинации α|0 + β|1. Даже после фиксации нормировки и фазы у нас остаётся бесконечно большое множествоβсостояний, параметризуемое отношением α. Для параметризации отношеβния α (одно комплексное число или два вещественных) нам потребуется бесконечно много двоичных цифр, т. е. бесконечно много классическихбитов.Любое количество классических битов мы могли бы извлечь из одногоквантового бита, если бы у нас было клонирующее устройство.В реальности (без клонирующего устройства) мы можем извлечь изодного квантового бита только один бит классической информации.Невозможность квантовой телепатии (ф*)Итак, клонирующее устройство позволило бы измерять волновуюфункцию.

К чему бы это привело? Мы могли бы передавать информациюна расстоянии со сколь угодно большой скоростью! При этом грубо нарушались бы принципы специальной теории относительности.+ βp, а для одиночного спина 12 — распределения по проекциям спина на всевозможныенаправления. Более подробно квантовая томография будет обсуждена в другом разделе.7.6. Т ЕОРЕМАО НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ **245Пусть у нас есть два кубита (спина) в запутанном состоянии|I =| →| ← − | ←| →| ↑| ↓ − | ↓| ↑√√=.22Здесь мы использовали два одночастичных базиса: спин вверх-вниз и спинвправо-влево. Связаны между собой эти базисы следующими соотношениями:| ↓ + | ↑| ↓ − | ↑√√| → =,| ← =.22Пусть первый кубит находится в распоряжении Алисы, а второй — в распоряжении Бориса.

Если Алиса измеряет свой кубит в базисе вверх-вниз илив базисе вправо-влево. Кубит Бориса мгновенно попадает в состояние тогоже базиса с ориентацией, противоположной измеренной Алисой:измерение ": |I −→ | ↑| ↓ или | ↓| ↑,измерение ↔: |I −→ | →| ← или | ←| →.Если у Бориса есть клонирующее устройство, то он может клонировать свой кубит и измерить в каком состоянии он находится. Если кубитБориса в состоянии | ↑ или | ↓, то это значит, что Алиса использовала базис вверх-вниз.

Если кубит Бориса в состоянии | ← или | →, то это значит,что Алиса использовала базис влево-вправо. Таким образом, если почти наполпути между Алисой и Борисом расположен источник, который испускает к ним запутанные кубиты, которые прибывают к Алисе чуть раньше, чемк Борису, то Алиса может практически мгновенно передавать Борису информацию, кодируя её выбором базиса (вверх-вниз — 1, влево-вправо — 0).Если у Бориса нет клонирующего устройства, то у него нет возможности узнать угадал ли он базис, который использовала Алиса. Если Борисиспользует тот же базис, то он будет всегда получать другое направлениеспина, чем Алиса. Корреспонденты при этом получают две цепочки случайных значений ↑, ↓, так что каждому значению Алисы соответствует противоположное Бориса. Однако Алиса не может влиять на то, выпадет лией при очередном измерении ↑ или ↓20 , таким образом, она не может передать информацию.

Если же используются разные базисы, то результатыизмерений корреспондентов оказываются и вовсе никак не связаны. Возможны промежуточные ситуации, при использовании других базисов, но20 Обсуждение этого см. в разделах 8.4.2 «“Жёсткость” формулы для вероятностей (фф)»,9.3.9 «Активное сознание (фф*)».246ГЛАВА 7в любом случае (см. 7.5.3 «Зацепленные состояния при неселективном измерении (ф*)») Алиса не может передать Борису информацию, производялюбые манипуляции над своей частью запутанной системы.Другое доказательство невозможности клонирования (ф*)Рассуждения предыдущего раздела можно рассматривать не только каквывод следствий из теоремы о невозможности клонирования квантовогосостояния, но и как альтернативное доказательство этой теоремы.

В разделе 7.6 «Теорема о невозможности клонирования квантового состояния**»при доказательстве использовалось описание результата измерения с помощью проекционного постулата. Однако проекционный постулат в квантовой механике «на плохом счету»: многие физики смотрят на него какна некоторое довольно сомнительное приближение, в отличие от унитарной эволюции и формул для расчёта вероятностей. От проекционного постулата нами была использована только линейность, но некоторые авторыпредполагают, что именно процесс измерения связан с некоторыми неизведанными нелинейными квантовыми эффектами. В предыдущем разделемы привели иное доказательство невозможности клонирования квантовогосостояния, используя проекционный постулат для частного случая в котором проекционный постулат обычно не вызывает сомнений21 , дополнив егопредположением о невозможности квантовой телепатии.7.7.

Квантовая телепортация**Квантовая телепортация — эффект переноса квантового состояния с одного объекта на другой без непосредственного взаимодействия. В процессе квантовой телепортации осуществляется измерение, но сам по себе результат этого измерения не позволяет определить передающееся квантовоесостояние, однако позволяет определить, какому воздействию должен подвергнуться второй объект, чтобы очутиться в состоянии, в котором ранеепребывал первый.Рассмотрим простейший случай квантовой телепортации, при котором телепортируется спиновое состояние одного квантового бита.

Квантовый бит, q-бит или кубит — система, для которой в данных условиях21 Для случая, когда измерение совершается над одной подсистемой, а нас интересует состояние другой (пространственно удалённой) подсистемы. Более подробное обсуждение этогослучая см. в следующей главе.7.7. К ВАНТОВАЯТЕЛЕПОРТАЦИЯ **247существенны лишь два линейно ортогональных состояния, например частица со спином 12 (спин вверх и спин вниз), фотон (две ортогональные поляризации), два близких (или вырожденных) энергетических уровня какойлибо молекулы и т.

п. Два ортонормированных состояния кубита обозначимкак 01.,|1 =|0 =10В процессе квантовой телепортации участвуют три кубита — исходный (1-й), вспомогательный (2-й) и конечный (3-й), а также два макроскопических экспериментатора, которых, следуя криптографической традиции,мы будем называть Алиса и Борис (он же Боб в иностранной литературе),и классическая линия связи между ними.В начале эксперимента исходный кубит находится в некотором неизвестном состоянии α|φ0 = α|0 + β|1 =,|α|2 + |β|2 = 1.βКонечный и вспомогательный кубит находятся в запутанном ЭПР-состоянии|Ψ1 =|1|0 − |0|1√.2Здесь 1-й множитель соответствует вспомогательному кубиту, а 2-й — конечному.

Таким образом, состояние всех трёх кубитов описывается волновой функцией1|Φ0 = |φ0 |Ψ1 = √ (α|0 + β|1)(|1|0 − |0|1).2Множители расположены в порядке номеров кубитов.Предполагается, что 1-й и 2-й кубиты находятся в распоряжении Алисы, а 3-й в распоряжении Бориса. 2-й и 3-й кубиты находятся в запутанномсостоянии (когда-то раньше они были приведены в это состояние). Например, Борис мог до начала эксперимента (даже до того, как 1-й кубит попалв состояние |φ0 ) приготовить кубиты 2, 3 и отдать 2-й Алисе.Алиса совершает измерение над двумя имеющимися у неё кубитами.Измеряется физическая величина, соответствующая двухчастичному оператору4Â =n |Ψn Ψn |,n=1248ГЛАВА 7где состояния |Ψn образуют ортонормированный базис двухчастичных запутанных состояний (одно из них — |Ψ1 — нам уже встречалось):|1|0 − |0|1√,2|1|0 + |0|1√|Ψ2 =,2|1|1 − |0|0√|Ψ3 =,2|1|1 + |0|0√|Ψ4 =,2|Ψ1 =Ψn |Ψm = δnm .Оператор Â — двухчастичный.

Чтобы указать, какие именно частицы измеряются, мы можем выписать его трёхчастичный вариант, написав тензорноепроизведение с одночастичным единичным операторомÂ12 =  ⊗ 1̂.Оператор Â12 действует на первые две частицы как оператор Â, а состояниетретей не изменяет.Собственные функции оператора Â12 имеют видÂ12 |Φnϕ = n|Φnϕ ,|Φnϕ = |Ψn |ϕ,n ∈ {1, 2, 3, 4},где |ϕ — произвольная одночастичная волновая функция.Измеряя Â12 , мы определяем число n ∈ {1, 2, 3, 4}, при этом состояниесистемы после измерения принимает вид |Φnϕ :1|Φ0 = |φ0 |Ψ1 = √ (α|0 + β|1)(|1|0 − |0|1) =21= √ (α|0|1|0 − α|0|0|1 + β|1|1|0 − β|1|0|1) =21|Ψ2 − |Ψ1 |Ψ4 − |Ψ3 √√= √α|0 − α|1 +222|Ψ2 + |Ψ1 |Ψ4 + |Ψ3 √√|0 − β|1 =+ β221= (|Ψ1 [−α|0 − β|1] + |Ψ2 [α|0 − β|1] +2+ |Ψ3 [β|0 + α|1] + |Ψ4 [β|0 − α|1]).7.7.