М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 13

Н ЕСКОЛЬКОСЛОВ ОБ ОПТИКЕ ( Ф )41реход к релятивистскому случаю потребует не только замены гамильтонианов, но и одновременно перехода к квантовой теории поля, поскольку прибольших энергиях становятся существенными процессы рождения частиц,а значит число степеней свободы оказывается переменным (потенциальнобесконечным).2.7. Несколько слов об оптике (ф)В классической оптике можно выделить три эпохи:• Геометрическая оптика,• Волновая оптика,• Волновая оптика как раздел классической электродинамики.Геометрическая оптика похожа на классическую механику, а волновая оптика обладает многими существенными чертами квантовой теории.Благодаря этому мы сможем многое понять в квантовой механике, простопо-новому взглянув на оптику и её историю в сравнении с механикой классической и квантовой.Позднее, в разделе 12.11 «Квантованные поля» (ф*) мы обсудим связьмежду классической и квантованной теориями поля на более детальном(хотя и не исчерпывающем) уровне.2.7.1.

Механика и оптика геометрическая и волновая (ф)Как известно, классическая механика была создана Ньютоном («Philosophiae Naturalis Principia Mathematica», 1687) по образу и подобию геометрии. В своих «Математических началах натуральной философии» Ньютонне писал формул, а в подражание «Началам» Евклида (1-е печатное издание: «Elementa geometriae», 1482) описывал все законы на геометрическомязыке.Мопертюи («Essay de Cosmologie», 1750), Эйлер («Reflexions surquelques loix generales de la nature», 1748), Лагранж («Mécanique analytique»,Париж, 1788) и Гамильтон («On a general method in Dynamics», PhilosophicalTransactions, 1834, 1835) переформулировали классическую ньютоновскую (геометрическую) механику по образу и подобию геометрическойоптики. Согласно принципу Ферма (ок.

1660), свет распространяется потраекториям с экстремальным (часто минимальным) временем прохождения. Аналогично, согласно принципу экстремального действия, движение механической системы происходит таким образом, чтобы функционал42ГЛАВА 2w(x)xРис. 2.6. Прохождение света через 2 щели в геометрической оптике.w(x)exp(iwt1)exp(iwt1®f)exp(iwt2)exp(iwt2®f)xРис.

2.7. Интерференция на 2 щелях.действия S[x(t)] вдоль траектории x0 (t) был экстремален. Но если в геометрической оптике траектория луча света была кривой в трёхмерном физическом пространстве, то в теоретической механике траектория системы —кривая в конфигурационном пространстве, точки в котором задаются совокупностью обобщённых координат всех частей системы.Однако вскоре выяснилось, что распространение света более правильно описывается волновой оптикой. Вместо отдельных лучей в том же физическом пространстве следует рассматривать волну.

Согласно принципу2.7. Н ЕСКОЛЬКОСЛОВ ОБ ОПТИКЕ ( Ф )43w(x)xРис. 2.8. Интерференция на бесконечном числе щелей в бесконечном числе ширм.Экраны «состоят из щелей», т. е. в действительности никаких ширм нет, зато естьинтерференция света, идущего по всем возможным путям из источника в даннуюточку на экране.Гюйгенса – Френеля (1816 г.), каждая точка фронта световой волны можетрассматриваться как источник вторичных волн, интерференция которых,с учётом фазы, задаёт дальнейшее распространение света. При этом фаза волны определяется как eiωt , где t — время распространения.

То самоевремя, которое входило в принцип Ферма.Если многократно повторять построение вторичных волн, каждый раз разбивая волновыефронты на много мелких участков, то нампридётся вычислять время распространения вдольвсевозможных траекторий луча света, после чегосуммировать фазы тех траекторий, которые встречаются в нужной точке. Т. е. в волновой оптикесвет распространяется по всем траекториям одновременно, постоянно интерферируя сам с собой(см.

раздел 3.2).Волновая (квантовая) механика в той части, Рис. 2.9. Луи Викторв которой она описывает свободную эволюцию Пьер Раймон, 7-й герцогзамкнутой системы, относится к теоретической Брольи (Луи де Бройль),механике так же, как волновая оптика относит- 1929 г. (1892–1987).

Wся к геометрической. В квантовой механике вместо отдельных траекторийв том же конфигурационном пространстве следует рассматривать волну44ГЛАВА 2(волновую функцию). И тот же функционал действия S[x(t)], экстремальное значение которого определяло разрешённые траектории x0 (t) в классиiческой механике, в квантовой определяет фазу e h̄ S[x(t)] волновой функции.Поскольку действие — размерная величина, в показателе экспонентыона делится на постоянную h̄ с размерностью действия — постояннуюПланка. Постоянную Планка можно положить равной 1 и рассматриватькак естественную единицу действия.«Размерностьдействия» = «расстояние» × «импульс» = «время» ×× «энергия».Положив постоянную Планка единицей, мытем самым выбираем в качестве единицы импульса обратную единицу длины, а в качествеединицы энергии — обратную единицу времени.Таким образом, размерность импульса совпадаетс размерностью волнового вектора, а размерностьэнергии — с размерностью частоты.

Из специальной теории относительности мы знаем, что круговая частота ω вместе с волновым вектором kобразуют четырёхмерный волновой вектор ki == (ω, k). Аналогично энергия E и импульс pРис. 2.10. Макс Планк образуют четырёхмерный импульс pi = (E, p).(1858–1947)вручаетКак было показано Планком, на примере излуАльбертуЭйнштейнучения чёрного тела, и Эйнштейном, на приме(1879–1955)медальМакса Планка, 1929 г. W ре фотоэффекта, четырёхмерный импульс квантаэлектромагнитного излучения (фотона) и волновой вектор соответствующей волны являются одним и тем же объектом,выраженным в разных единицах:pi = h̄ki⇔E = h̄ω,p = h̄k.(2.1)Де Бройль догадался, что любой частице с определённым 4-импульсом соответствует некоторая волна, чей волновой 4-вектор выражается той жеформулой.2.7.2.

Комплексная амплитуда в оптике и число фотонов (ф*)Рассмотрим поле плоской монохроматической электромагнитной волны. Электрическое поле в какой-то точке пространства может быть заданокакE = Re (A exp(−iωt)) = Re (A) cos(ωt) + Im (A) sin(ωt).2.7. Н ЕСКОЛЬКОСЛОВ ОБ ОПТИКЕ ( Ф )45Здесь A — комплексная амплитуда электромагнитной волны. Векторы Eи A перпендикулярны волновому вектору электромагнитной волны, т.

е.мы можем рассматривать A как двумерный комплексный вектор, например,в плоскости (x, y), если волна бежит по z. На этой плоскости мы можемвводить различные ортонормальные базисные векторы, которым соответствуют разные взаимоисключающие поляризации, например, базис (1, 0),(0, 1) соответствует линейным поляризациям по x и по y, а базис √12 (1, i),√1 (1, −i) — круговым поляризациям по и против часовой стрелки.2Средняя по периоду плотность энергии в электромагнитной волне пропорциональна|A|2 = (A, A∗ ) = (Re A)2 + (Im A)2 .Здесь и далее звёздочка ∗ обозначает комплексное сопряжение: z ∗ == (Re z + i Im z)∗ = Re z − i Im z.Однако в квантовой теории электромагнитная волна состоит из отдельных частиц-фотонов, энергией по h̄ω каждый.

Таким образом, средняяплотность энергии в электромагнитной волне теперь соответствует средней плотности фотонов или, если фотонов мало, вероятности обнаружитьфотон в единице объёма.Электродинамика — теория линейная по электромагнитному полю,а значит линейная и по амплитуде электромагнитной волны. Это означает,что мы можем умножать амплитуды на комплексные числа, складывать ихмежду собой и снова получать амплитуды (т. е. в линейной теории допустима линейная суперпозиция решений). Как в любой линейной теории, полезным инструментом исследования электромагнитных волн является разложение их по базису.Комплексные амплитуды (но уже в пространстве разных размерностей)используются и в квантовой теории, причём их линейность (принцип суперпозиции) оказывается основополагающим принципом.Если мы разложим A по какому-то ортонормированному базису, токаждому базисному вектору ei соответствует своя поляризацияA = A1 e1 + A2 e2 ,|A|2 = |A1 |2 + |A2 |2 .При этом |A|2 — суммарная плотность фотонов, а |Ai |2 — плотность фотонов с поляризацией i.

Например, если у нас есть всего один фотон с поляризацией по часовой стрелке (далее мы нормируем амплитуды на 1 фотон),т. е. A = √12 (1, i), то мы с вероятностью 12 обнаружим фотон, поляризованный по x (прошедший через ориентированный по x поляризатор), т. е. об-46ГЛАВА 2наружим A = (1, 0); с вероятностью 12 обнаружим фотон поляризованныйпо y, т. е. обнаружим A = (0, 1), но с вероятностью 0 обнаружим фотон,поляризованный против часовой стрелки, т. е. A = √12 (1, −i).В общем случае, фотон с поляризацией A обнаруживается в состоянии B с вероятностью |(A, B∗ )|2 = |A1 B1∗ + A2 B2∗ |2 . Эта формула можетбыть легко проверена для плотности энергии произвольно (эллиптически)поляризованного света, проходящего через поляризатор.Если в одной области пространства накладываются две электромагнитные волны, то можно выделить два случая. Если частоты волн совпадают,а их фазы достаточно устойчивы, то происходит когерентная интерференция, т.

е. складываются не плотности энергии (плотности вероятности найти фотон), а комплексные амплитуды. Если же волны некогерентные, т. е.если частоты различаются, или фазы скачут, то интерференционная картинаусредняется по случайному сдвигу фазы, и складывать следует плотностиэнергии (плотности вероятности найти фотон).2.7.3. Преобразование Фурье и соотношения неопределённостейВолновой вектор точно определён только для монохроматической волны, заполняющей всё пространство. Аналогично, частота точно определенатолько для бесконечно длительного гармонического колебания. Преобразование Фурье позволяет раскладывать любые функции на плоские волны:f (t, r) = f (r i ) = dω dk a(ω, k) ei(kr−ωt) .Для функции одной переменной:f (t) = dω a(ω) e−iωt .Поскольку для линейных (подчиняющихся принципу суперпозиции) волнэнергия квадратична по амплитуде, естественно выбирать квадратичныйвес |a|2 при усреднении по частоте (волновому вектору), а также |f |2 приусреднении по координате (четырёхмерному радиус-вектору r i = (t, r)).Средние координаты для волнового пакета f (t, r):1dt dr r i |f (r i )|2 , C = dt dr |f (r i )|2 .r0i =CСредний 4-волновой вектор для волнового пакета f (t, r):1Ciii 2dω dk k |a(k )| , C = dω dk |a(ki )|2 =.k0 = C(2π)42.7.

Н ЕСКОЛЬКОСЛОВ ОБ ОПТИКЕ ( Ф )47Если a(ω, k) достаточно быстро спадает при выходе из достаточно малой области, то волновой вектор и волновое число «почти определены».В качестве меры ширины волнового пакета удобно взять среднеквадратичные отклонения8 , например, для ширины пакета по времени и частотемы имеем (далее рассуждения для одной координаты)1dt dr (t − t0 )2 |f (r i )|2 ,(δt)2 =C1(δω)2 = dω dk (ω − ω0 )2 |a(ki )|2 .CЕсли взять «почти монохроматическую волну» f (t) в виде волновогопакета со средним положением t0 и шириной δt, «вырезанного» из волныс частотой ω0 , то обрезание волнового пакета приводит к уширению спектральной линии.