В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 9

В силу того, что A22 асимптотическиустойчива, Δη → 0, т.е. существует алгоритм, позволяющий оценитьη при t → ∞.Пример 7.1.ÿ + 3ẏ + 2y = 0, z = y + ẏ.(7.4)Положим x1 = y, x2 = ẏ. Получимẋ1 = x2 ,z = x1 + x2 ,ẋ2 = −2x1 − 3x2 . 1 1 Система не является полностью наблюдаемой, так как N = −2−2 ,т.е.

det N = 0.Невырожденной заменой ξ = x1 + x2 , η = x1 − x2 система приводится к видуξ˙ = −2ξ,z = ξ,(7.5)η̇ = 3ξ − η.54Инвариантное ненаблюдаемое подпространство составляют точкипрямойx1 + x2 = 0(ξ = 0).Отметим, что система (7.5) (а, стало быть, и система (7.4)) детектируема.2.Стабилизируемость линейных стационарныхсистемРассматривается линейная стационарная системаẋ(t) = Ax(t) + Bu(t),(7.6)z(τ ) = Hx(τ ),τ ∈ [t0 , t],где dim x = n, dim z = m, dim u = s, а A, B, H — постоянные матрицы соответствующей размерности.Напомним ранее введенное понятие стабилизируемости.Система (7.6) стабилизируема, если существует оператор L[z], чтопри Пусть условие управляемости для этой системы не выполняется,т.е. rank W < n, где(7.7)W = (B, AB, A2 B, .

. . , An−1 B)Замечание 8. Поскольку свойство стабилизируемости определяется тройкой (A, B, H), а свойство детектируемости — парой (A, H), эти свойства несравнимы. Однако, стабилизируемость пары (A, B) при полной информации о векторе состоянияx сопряжена детектируемости пары (A, H).Обратимся к характеристическому уравнению системы (7.6)|λE − A| = 0.Пусть для m корней характеристического уравнения λj j = 1, 2 . . . , mвыполняется условие Re λj ≥ 0.

Для остальных s = n − m корнейвыполненоi = 1, 2, . . . , s.Re λi < 0,Тогда существует невырожденное преобразование F такое, что ξ= F x,ηгде dim ξ = m, dim η = s и система (7.6) в новых переменных имеетвидξ˙ = A1 ξ + B1 u,(7.8)η̇ = A2 η + B2 u,z = H1 ξ + H2 η.55Заметим, что указанные выше величины λj являются корнями характеристического уравнения |λEm − A1 | = 0, а величины λi — корнямихарактеристического уравнения |λEs − A2 | = 0. В качестве F , например, можно выбрать преобразование, приводящее матрицу A к жордановой форме.Имеет место почти очевидная теорема:Теорема 11.

Для стабилизируемости системы (7.8) необходимаи достаточна управляемость пары (A1 , B1 ) и наблюдаемостьпары (A1 , H1 ).Достаточность следует из того, что существует оператор L[z], описываемый соотношениями:˜u = C ξ,˙ξ̃ = A1 + B1 u + K(z − H1 ξ̃ − H2 η̃),(7.9)η̃˙ = A2 η̃ + B2 u.Здесь соотношения (7.9) описывают алгоритм оценивания, а матрицыC и K подлежат выбору. Введем ошибки оценки Δξ = ξ − ξ̃, Δη = η −η̃ и вектор состояния ζ = (η, ξ, Δξ, Δη) . Целесообразность такогопредставления вектора состояния ζ прояснится далее.Уравнения, которым подчиняются компоненты вектора ζ таковы:η̇ = A2 η + B2 C(ξ − Δξ),ξ˙ = (A1 − B1 C)ξ − B1 C(Δξ),(7.10)Δ̇ξ = (A1 − KH1 )Δξ − KH2 Δη,˙ = A2 Δη.ΔηХарактеристическое уравнение системы (7.10) имеет вид(λEs − A2 )−B2 CB2 C00(λE−A+BC)BC0m111 = 0,−A+KH)KH00(λEm112000(λEs − A2 )что эквивалентно соотношениям|λEs − A2 | = 0,|λEm − A1 + B1 C| = 0,|λEm − A1 + KH1 | = 0,|λEs − A2 | = 0.Корни первого и четвертого уравнений имеют отрицательные действительные части по определению (построению).

Действительные56части корней второго уравнения могут быть сделаны отрицательнымивыбором матрицы C вследствие управляемости пары (A1 , B1 ). Действительные части корней третьего уравнения могут быть сделаны отрицательными выбором матрицы K вследствие наблюдаемости пары(A1 , H1 ).Таким образом, оператор L[z] обеспечивает асимптотическуюустойчивость системы (7.10).Достаточность доказана.

Необходимость есть следствие структуры системы, декомпозированной по управлению или наблюдению.Рассмотренная форма представления управляемой системы позволяет непосредственно сформировать управление (при управляемости пары (A1 , B1 ) и наблюдаемости пары (A1 , H1 )) так, что «неустойчивые» корни характеристического уравнения становятся «устойчивыми» с любым наперед заданным запасом устойчивости.«Устойчивые» корни остаются без изменения. Но если часть таких корней «слабо» устойчивы, то можно соответствующие переменные включить в состав вектора ξ.

Если при этом новые пары (A1 , B1 )и (A1 , H1 ) удовлетворяют условиям управляемости и наблюдаемости, то можно говорить о стабилизируемости с приемлемой степеньюустойчивости.57Лекция 8Характеристики многомерных случайныхвекторов. Свойства многомерногонормального распределенияАнализ управляемости и наблюдаемости позволяет ответить навопрос о возможности построения асимптотически устойчивых алгоритмов наблюдения и оценивания. Но на практике этого не достаточно. При построении рабочих алгоритмов управления и оцениванияприходится учитывать стохастическую природу возмущений, действующих на объект, и инструментальных погрешностей измерительных иисполнительных устройств. Для этого разработана теория, позволяющая строить соответствующие математические стохастические модели и основанные на этих моделях алгоритмы.

К изложению этой теории мы и приступаем, но прежде напомним в нужной нам форме необходимые для дальнейшего сведения из теории вероятности и теориислучайных процессов.1. Характеристики многомерных случайных векторовПри строгом изложении теории вероятностей вводится понятиевероятностного пространства вместе с сопутствующей этому пространству аксиоматикой. Здесь мы следуем упрощенному пути и первичным считаем понятие случайной величины.Универсальной характеристикой, описывающей случайную величину X, служит функция распределения F (x). По определению,F (x) = P (X < x),где P — обозначение вероятности.В более подробной записи, когда X = (X1 , X2 , . .

. , Xn ) — случайный вектор,F (x) = F (x1 , x2 , . . . , xn ) = P (X1 < x1 , X2 < x2 , . . . , Xn < xn ).Случайная величина называется непрерывной, если непрерывна еефункция распределения. В скалярном случае функция F (x) — монотонно неубывающая функция аргумента x. Обобщение этого свойствана векторный случай очевидно.58Если существует функция f (x) = f (x1 , x2 , .

. . , xn ), такая, чтоx1 x2xnF (x) =...f (u1 , u2 , . . . , un )du1 du2 . . . dun ,(8.1)−∞ −∞−∞при любом x, то эта функция называется плотностью вероятности.Из (8.1) следует связь функции распределения и плотности вероятности∂F n (x1 , x2 , . . . , xn ).f (x) =∂x1 , ∂x2 , . . . , ∂xnПереход от многомерных характеристик F (x) и f (x) к одномерным F (xj ), f (xj ) (xj — соответствующая компонента вектора x =(x1 , x2 , . . . , xn ) осуществляется по следующим формулам (для простоты положено n = 2, j = 1):∞F (x1 ) = F (x1 , +∞),f (x1 ) =f (x1 , x2 )dx2 .−∞Пусть X и Y — две случайные векторные величины.

ФункцияF (x|Y = y) = P (X < x|Y = y),называется условной функцией распределения вероятности Xпри условии Y .Имеет место формула Байесаf (x, y),f (x|y) =f (y)аналогичная формуле, определяющей условную вероятность событий.Здесь f (x|y) — условная плотность вероятности.Если f (x, y) = f (x)f (y), то случайные величины X и Y называются независимыми. Для независимых величин справедливы соотношенияf (x|y) = f (x),f (y|x) = f (y).Основные числовые характеристики случайной (в общем случае векторной) величины — математическое ожидание и ковариация.Пусть g(X) — некоторая детерминированная функция случайного (вобщем случае векторного) аргумента X.

Математическим ожиданиемM [g(X)] = μg функции g(X) называется следующая величина:M [g(X)] =g(x)dF (x),(æ)59где (æ) — область изменения случайной величины.Если определена плотность вероятности f (x), то∞ ∞∞...g(u)f (u1 , u2 , . . . , un )du1 , du2 , . . .

, dun .M [g(X)] =−∞ −∞−∞Величина M [X] носит название математического ожидания случайной величины X (другой термин — среднее значение X).Для того чтобы выделить операцию определения математического ожидания, будем использовать запись M [X]. Результат операциибудем обозначать через μx .Оператор M [·] линеен, то есть имеет место соотношениеM [ag(X) + bh(Y )] = aM [g(X)] + bM [h(Y )] .В частности,M [aX + bY ] = aM [X] + bM [Y ] .◦◦Введем обозначение X = X − μx .

Величину X будем называтьцентрированной случайной величиной.Матрицей ковариации случайного вектора X (или просто ковариацией) называется матрица Rx :◦ ◦ Rx = M X X .Эта матрица по своему определению симметричная и неотрицательноопределенная. В том случае, когда Rx — положительно определеннаяматрица, вектор X будем называть невырожденным (и вырожденнымв противном случае). ◦ 2Диагональные элементы Rii = M X i матрицы Rx называются дисперсиями соответствующих компонент и обозначаются Di =D [Xi ].√Величины σi = Di называются среднеквадратичными (илистандартными) отклонениями.Из определения дисперсии следует, что она служит мерой отклонения скалярной случайной величины относительно своего среднегозначения.Чтобы выяснить смысл недиагональных элементов матрицы Rx ,которые называются моментами корреляции между компонентамивектора, рассмотрим двумерный вектор X = (X1 , X2 ) .

Величина◦ ◦ R12 = M X 1 X 2 есть момент корреляции между случайными величинами X1 и X2 .60Одновременно с моментом корреляции R12 используется безразмерная характеристика r12 , называемая коэффициентом корреляции. Она получается из момента корреляции нормировкой: ◦ 2 ◦ 2R12r12 =,где σ12 = M X 1 , σ22 = M X 2 .σ1 σ2Заметим, что матрица ковариации Rx может быть представлена ввидеRx = σ̆x r̆x σ̆x ,где⎛σ1⎜ 0σ̆x = ⎜⎝ .00σ2.0⎞... 0... 0 ⎟⎟,.. ⎠.

. . σn⎛1⎜ r12r̆x = ⎜⎝ .r1nr121.r2n⎞. . . r1n. . . r2n ⎟⎟... ⎠... 1Легко видеть, что R12 (соответственно r12 ) = 0, если X1 и X2 —независимые случайные величины.Замечание 9. Из некоррелированности не следует независимость случайных величин.Рассмотрим пример. Пусть компоненты случайного вектора Y =(Y1 , Y2 ) являются координатами точки Y на плоскости OY1 Y2 . Будем считать, что точка Y всегда принадлежит кругу единичного радиуса, центр которого совпадает с началом координат. Предположим,что двумерная случайная величина Y = (Y1 , Y2 ) распределена равномерно в указанной области.