В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 6

+ an−1 A + an E = 0.Последнее соотношение умножим справа на вектор g 1 = f , тогда получим(4.8)g n+1 + a1 g n + ... + an g 1 = 0.33Из сравнения (4.7) и (4.8) и единственности разложения любого вектора по базисным следуетα1 = −an , ..., αn = −a1 ,т.е. характеристическое уравнение матрицы A можно записать такжев видеλn = α1 + α2 λ + ... + αn λn−1 .Далее будут сформулированы теоремы, которые служат основойпостроения алгоритмов управления и оценивания в случае вполнеуправляемых и вполне наблюдаемых систем.Теорема 8. Пусть стационарная пара (A(n×n), B(n×m)) управляема и доступны измерению все составляющие вектора состояния x. Тогда существует такая постоянная матрица C(m×n),что управление в виде обратной связи u = Cx обеспечиваетэкспоненциальную устойчивость системы ẋ = Ax + Bu.Более полная формулировка: если пара (A, B) управляема, товыбором матрицы C можно обеспечить любые наперед заданные коэффициенты характеристического полинома |λE − (A +BC)|.В системе с одним входомẋ = Ax + bu,b(n × 1), u(1 × 1)(4.9)задание характеристического полинома однозначно определяет вектор c(n × 1) такой, что u = c x.

В системах со многими входами такойоднозначности, вообще говоря, нет.Докажем теорему 8 применительно к системе с одним входом.Полное доказательство, когда u – вектор, содержится в дополнениик лекциям 5–7. Введем векторы g 1 = b, g 2 = Ag 1 , ..., g j+1 = Ag j , ...Матрица управляемости W тогда запишется в виде W = (g 1 ...g n ).Пусть пара (A, B) управляема. Тогда набор {g 1 , ..., g n } может служить базисом и имеет место единственное представлениеg n+1 = α1 g 1 + ... + αn g n ,(4.10)где αj - коэффициенты характеристического уравнения|λE − A| = λn − α1 − α2 λ − ...αn λn−1 = 0.Покажем, что существует базис {f 1 , ..., f n }, в котором контравариантное представление вектора xx = ξ1 f 1 + ... + ξn f n34(4.11)описывается уравнениямиξ̇1 = ξ2 ,ξ̇2 = ξ3 ,...(4.12)ξ˙n−1 = ξn ,ξ˙n = α1 ξ1 + ... + αn ξn + u.Согласно (4.9) имеемξ˙1 f 1 + ...

+ ξ̇n f n = ξ1 Af 1 + ... + ξn Af n + g 1 u.Или, с учетом (4.12),ξ2 f 1 +...+ξn f n−1 +(α1 ξ1 +...+αn ξn +u)f n = ξ1 Af 1 +...+ξn Af n +g 1 u.Приравнивая векторные коэффициенты последовательно приu, ξn , ξn−1 , ..., получимf n = g1,n−1+ αn f n = Af n ⇒ f n−1 = g 2 − αn g 1 ,fn−2f+ αn−1 f n = Af n−1 ⇒ f n−2 = g 3 − αn g 2 − αn−1 g 1 ,...⇒ f1= g n − αn g n−1 − ... − α2 g 1 ,f 1 + α2 f n = Af 2n1α1 f = Af .Соотношение α1 f n = Af 1 выполняется в силу (4.10). Из линейнойнезависимости набора {g 1 , ..., g n } следует также линейная независимость набора {f 1 , ..., f n }, т.е.

det F = 0, где F = (f 1 ...f n ). Соотношения (4.12) влекут за собой возможность описания скалярной величины ξ1 одним дифференциальным уравнением n-го порядка(n)ξ1(n−1)+ a1 ξ1+ ... + an ξ1 = u,(4.13)где a1 = −αn , ..., an = −α1 .Представление (4.12) называют иногда канонической формой поуправлению системы с одним входом.Замечание 3. Найденное преобразование x = F ξ можно представить в форме F = W P , где⎞⎛1an−1 an−2 · · · a1⎜an−2 an−3 · · ·10 ⎟⎟⎜···············⎟P =⎜⎟.⎜⎝ a11···00 ⎠10··· 0035Если измеряются все компоненты вектора состояния x, то можетбыть определен вектор ξ = F −1 x. Сформируем управление u в виделинейной обратной связи u = c1 ξ1 + ... + cn ξn = c ξ. Характеристическое уравнение системы (4.12) при таком управлении будет иметьвидλn = (α1 + c1 ) + (α2 + c2 )λ + ... + (αn + cn )λn−1 .(4.14)Поскольку выбор вектора c в нашей власти, коэффициенты этогоуравнения могут быть сделаны любыми наперед заданными.

Но характеристические уравнения — инвариант по отношению к невырожденному преобразованию координат, поэтому такими же будут и коэффициенты исходного характеристического уравнения.Экспоненциальная устойчивость достигается выбором c, обеспечивающим отрицательность действительных частей корней характеристического полинома. Теорема доказана.Замечание 4. Для того, чтобы выбрать во вполне управляемойсистеме коэффициенты обратной связи, обеспечивающие желаемое характеристическое уравнение, приводить уравнениясистемы к виду (4.12) нет необходимости.

Такой выбор легкоосуществим в первоначальной форме.Замечание 5. В «рафинированной» постановке задачи стабилизации (при отсутствии постоянно действующих на системувозмущений), которая только что рассмотрена, выбор степени затухания переходных процессов в системе ничем не ограничен, и приведение вектора состояния в нулевое положение может быть осуществлено за любое сколь угодно малое время. Норешение реальных задач стабилизации существенно осложняется, по крайней мере, по двум причинам:• из-за ограничений мощности исполнительных механизмов,• из-за неизвестных возмущений, действующих на динамическую систему, и инструментальных погрешностейизмерителей, доставляющих информацию о векторах.К тому же эта информация, как правило, не является полной, т.е.доступны измерению только некоторые составляющие вектора состояния.

В этих условиях управление при помощи обратной связи имеетнеоспоримые преимущества по сравнению с программным управлением.36Лекция 5Асимптотические алгоритмы оценивания.Управление по оценке1. Асимптотически устойчивый алгоритм оцениванияОбсудим теперь вопрос об алгоритмах, доставляющих оценку x̃вектора x. Ранее при выводе критерия наблюдаемости один из возможных алгоритмов оценивания был получен, но на практике используется иной алгоритм, аналогичный алгоритму управления, при помощи линейной обратной связи.

К построению такого алгоритма мы иперейдем.Рассмотрим следующий алгоритм оценивания˙(5.1)x̃(t)= Ax̃(t) + K(z(t) − H x̃(t)) + Bu(t), x̃(t0 ) = x̃0 .Здесь матрица усиления K подлежит определению.Уравнение относительно рассогласования Δx = x − x̃ назовемуравнением ошибок. В нашем случае оно имеет видΔẋ(t) = (A − KH)Δx(t), Δx(t0 ) = x0 − x̃0 .(5.2)Обратим внимание на важное свойство алгоритма (5.1), называемое свойством несмещенности. Оно означает, что ошибка оценкиΔx ≡ 0, если вся используемая для оценки информация точна (в нашем случае, если Δx(t0 ) = 0).Теорема 9. Пусть стационарная пара (A, H) наблюдаема.

Тогда существует такая постоянная матрица усиления K, чтоуравнение ошибок (5.2), соответствующее алгоритму оценивания (5.1), оказывается асимптотически устойчивым.Более полная формулировка: если стационарная пара (A, H)наблюдаема, то выбором матрицы K можно обеспечить любыенаперед заданные коэффициенты характеристического полинома |λE − (A − KH)|.В системах с одним выходом(5.3)ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), z(t) = h x(t), h(n × 1), z(1 × 1)задание характеристического полинома однозначно определяет вектор K(n × 1).37В системах с несколькими выходами такой однозначности, вообщеговоря, нет.Докажем теорему применительно к системам с одним выходом.Общий случай рассмотрен в дополнении к лекциям 5–7.

При доказательстве, без потери общности, будем полагать B = 0.Матрица наблюдаемости N в нашем случае имеет вид N = g 1 . . . g n , det N = 0,где g 1 = h, g 2 = A g 1 , . . . , g j+1 = A g j , . . . , причемg n+1 = α1 g1 + · · · + αn g n .(5.4)Покажем, что существует такой базис {f 1 , . . . , f n }, в котором ковариантные координаты вектора x ξ1 = x f 1 , ξ2 = x f 2 , .

. . , ξn =x f n подчиняются уравнениямξ̇1 = αn ξ1 + ξ2 ,ξ̇2 = αn−1 ξ1 + ξ3 ,...ξ˙n = α1 ξ1 ,(5.5)z = ξ1 .Имеем последовательно из предыдущих уравненийξ1 = x g 1 = x f 1 ,ξ2 = ξ˙1 − αn ξ1 = x (g 2 − αn g 1 ) = x f 2 ,...ξn = x (g n − αn g n−1 − · · · − α2 g 1 ) = x f n .Уравнение ξ˙n = α1 ξ1 удовлетворяется в силу соотношения (5.4). Отсюда следует, что набор {f 1 , . .

. , f n } составляет базис.Динамический алгоритм оценивания имеет вид˙ξ̃ 1 = αn ξ˜1 + ξ˜2 + k1 (z − ξ̃1 ),˙ξ̃ 2 = αn−1 ξ˜1 + ξ˜3 + k2 (z − ξ̃1 ),(5.6)...˙ξ̃ = α ξ˜ + k (z − ξ̃ ).n381 1n1Уравнения ошибокΔξ˙1Δξ˙2= (αn − k1 )Δξ1 + Δξ2 ,Δξ˙n= (α1 − kn )Δξ1 .= (αn−1 − k2 )Δξ1 + Δξ3 ,...(5.7)Характеристическое уравнение для (5.7) таковоλn = (α1 − kn ) + (α2 − kn−1 )λ + · · · + (αn − k1 )λn−1 .Поскольку kj в наших руках, мы можем сделать коэффициенты этогоуравнения любыми наперед заданными.Представление (5.5) называют иногда канонической формой понаблюдению системы с одним выходом.Заметим, что при построении алгоритма оценивания нет необходимости приводить систему (5.3) к каноническому виду.Пример 5.1.η̈ + η = 0, z = η̇ + r,где r — постоянная ошибка измерения.Запишем уравнения в форме Коши.

Положимη = x1 , η̇ = x2 , r = x3 ,тогдаẋ1 = x2 ,ẋ2 = −x1 ,ẋ3 = 0,z = x2 + x3Легко убедиться в наблюдаемости системы. Алгоритм оцениванияx̃˙ 1 = x̃2 + k1 (z − x̃2 − x̃3 ),x̃˙ 2 = −x̃1 + k2 (z − x̃2 − x̃3 ),x̃˙ 3 = k3 (z − x̃2 − x̃3 ).Уравнение ошибокΔẋ1 = (1 − k1 )Δx2 − k1 Δx3 ,Δẋ2 = −Δx1 − k2 Δx2 − k2 Δx3 ,Δẋ3 = −k3 Δx2 − k3 Δx3 ,39Характеристическое уравнениеλ3 + (k2 + k3 )λ2 + (1 − k1 )λ + k3 = 0.Пусть желаемое характеристическое уравнение имеет вид (λ+1)3 = 0.Из сравнения находимk1 = −2, k2 = 2, k3 = 1.Такой выбор kj обеспечивает асимптотическую устойчивость (Δxj →0 при t → ∞).Пример показывает, что задача оценивания в некоторых случаяхможет быть решена точно при неточных измерениях, если известнаструктура инструментальных погрешностей.Замечание 6.

Высказанные в замечании 4 соображения, касающиеся выбора коэффициентов обратной связи в задаче стабилизации, в равной степени относятся и к выбору матрицы усиления K в алгоритме оценивания.2. Стабилизация вполне управляемой и вполне наблюдаемой стационарной линейной системыПредшествующие результаты позволяют решить задачу стабилизации стационарной системыẋ(t) = Ax(t) + Bu(t),z(τ ) = Hx(τ ),τ ∈ [t0 , t](5.8)в идеальном случае, когда пара (A, B) управляема, а пара (A, H) —наблюдаема.Состояние вектора x в начальный момент неизвестно, а измеряется только величина z, размерность которой меньше размерностивектора x.