В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 30

Субоптимальное сглаживаниеФильтр Калмана применяется для решения задач оценивания в реальномвремени. Это означает, что определение оценок x̃ фазового вектора x исследуемой линейной системы происходит в темпе поступления измерительной информации и определяемая этим алгоритмом оценка x̃(ti ) учитывает измерения, полученные к текущему (реальному) моменту времени ti .Однако, существуют многочисленные приложения, допускающие постобработку измерительной информации, что позволяет иначе сформулироватьзадачу оценивания. Суть новой постановки состоит в том, что для определения оценки вектора состояния в каждый момент времени необходимо учестьвесь массив измерительной информации, тем самым используя в соответствующем алгоритме как «прошлые», так и «будущие» измерения.

Такие задачиносят название задач сглаживания.Рассматривается стандартная задача оценивания вектора состояния xjлинейной динамической системыxj+1 = Φj xj + qj ,(D13.1)при помощи измерительной информации z0 , z1 , . . . , zN :zj = H j x j + r j ,(D13.2)поступающей в дискретные моменты времени t0 , t1 , . . . , tN (tj ∈ [t0 , tN ]).−Принимаются стандартные гипотезы для параметров x̃−0 , P0 , qj , rj задачи калмановской фильтрации. Требуется в каждый момент времени tj определить несмещенную линейную оценку x̃j вектора состояния xj системы(D13.1), учитывающую весь массив измерений z0 , z1 , . .

. , zN на интервале решения задачи [t0 , tN ]. В качестве критерия оптимальности рассматриваетсякритерий ортогональности. Такая задача носит название задачи сглаживанияна фиксированном интервале.В настоящее время, по-видимому, наиболее конструктивным для численной реализации алгоритмов сглаживания на фиксированном интервалеявляется подход, согласно которому в процедуре определения оптимальнойсглаженной оценки x̃j используются два независимых алгоритма: стандартный фильтр Калмана (прямой фильтр) и так называемый обратный фильтр –фильтр в обратном времени.

Каждый фильтр использует свой набор измерительной информации: прямой фильтр Калмана использует «прошлые»“ и «настоящие» измерения {z0 , . . . , zj−1 , zj }, обратный фильтр — «будущие» измерения {zj+1 , . . . , zN }.1. Сглаживающий субоптимальный фильтр Калмана на фиксированном интервале.Выделяются три этапа вычисления оптимальной сглаженной оценки.216a) Прямой фильтр Калмана определяет текущую оценку:x̃+j = M [xj /z0 , . . .

, zj ].б) С помощью обратного фильтра, описываемого ниже, определяетсяоценкаx̃−bj = M [xj /zj+1 , . . . , zN ].в) Искомая оптимальная сглаженная оценка x̃j определяется в результате−«склейки» независимо полученных оценок x̃+j и x̃bj .Опишем эти алгоритмы.Прямой фильтр Калмана. Алгоритмы численной реализации фильтраКалмана приведены выше и здесь опускаются.Обратный фильтр. В процессе вычислений, осуществляемых обратным−вспомогательной величины, связанной сфильтром, определяется оценка ỹbj−оценкой x̃bj исходного вектора состояния соотношением−ỹbj= Pb−1x̃−bj .jЗдесь Pbj – ковариационная матрица ошибки оценки обратного фильтра.В алгоритме выделяются следующие функциональные блоки: инициализация стартовой точки; этап коррекции; этап прогноза оценок между измерениями.2.

Субоптимальный алгоритм сглаживания.Опыт непосредственного применения алгоритма оптимального сглаживания показывает, что точная численная реализация обратного фильтра и процедуры «склейки» оценок является плохо обусловленной и может приводитьк неустойчивым вычислениям.В приложениях хорошо зарекомендовал себя подход, когда вместо точного оптимального алгоритма, используется субоптимальный алгоритм сглаживания.

Его «субоптимальность» по сути, заключается только в иной инициа−обратного фильтра:лизации ковариационной матрицы PbN− −1(PbN) = 0.Используется следующая ее аппроксимация:−PbN= æ · E,где æ 1.Далее для обратного фильтра задача оценивания записывается в обратномвремени, при этом модель последней имеет обычную калмановскую структуру.Опишем численную реализацию субоптимального алгоритма.а) Инициализация граничной точки обратного фильтра:x̃−bN = 0,217−PbN= æ · E,æ – большое число.б) Этап коррекции:−−x̃+bj = x̃bj + Kbj [zj − Hj x̃bj ],+−= [E − Kbj Hj ]Pbj,Pbj− T− TKbj = PbjHj [Hj PbjHj + Rj ]−1 .Эти соотношения в точности совпадают с соотношениями этапа коррекциифильтра Калмана в прямом времени.в) Этап прогноза:−1+x̃−b,j−1 = Φj,j−1 x̃bj ,−+−TPbj= Φ−1j,j−1 [Pbj + Qj−1 ]Φj,j−1 ,Φ−Tj,j−1=(D13.3)T[Φ−1j,j−1 ] .Соотношения (D13.3) структурно совпадают с уравнениями этапа прогнозапрямого фильтра Калмана.

Выделим отличие: в (D13.3) фигурирует обратнаяпереходная матрица Φ−1 , в отличие от прямой переходной матрицы Φ в обычном фильтре Калмана. Матрица Φ−1 может быть определена, при наличии соответствующей непрерывной модели линейной системыẋ = Ax,например, следующим образом:Φ−1 = E − ΔtA +Δt2 2A .2Склейку можно осуществить, используя следующие два равноценныхподхода.Подход 1. Рассмотрим вспомогательную задачу: требуется построитьоценку x̃ вектора x и определить ковариацию PΔx ошибки оценки Δx = x− x̃,если заданы два векторных измерения:zI = x + r IиzII = x + rII ,гдеM [rI ] = 0,M [rII ] = 0,] = RII ,M [rII rIIM [rI rI ] = RI ,M [rI rII] = 0.Оценка строится как линейная, несмещенная и удовлетворяющая критериюортогональности.x̃ = KI zI + KII zII .Условие несмещенности приводит к равенствуKI + KII = E,218при этомΔx◦zI◦z II===−KI rI − KII rII ,Δx + rI ,Δx + rII .Условия ортогональности:◦M [Δxz I ] = 0,◦M [Δxz II ] = 0.Отсюда следуетPΔx = KI RI ,илиPΔx = KII RII−1.KI = PΔx RI−1 , KII = PΔx RIIИз условия несмещенности получаем:−1 −1) .PΔx = (RI−1 + RIIВ нашем случаеzI = x̃+j ,RI = Pj+ ,zII = x̃−jb ,−RII = Pjb.Окончательный результат склейки таков:−x̃Nj = Kj x̃j + Kjb x̃jb ,где===KjKjbPjNPjN (Pj+ )−1 ,− −1PjN (Pjb) ,+ −1− −1(Pj ) + (Pjb) .Подход 2.

Рассмотрим вспомогательную задачу: оценить вектор x по измерению z = x + r, M [r] = 0, M [rr ] = R, если известна априорная информация о векторе x:μx = M [x],Px = M [(x − μx )(x − μx ) ].На основании ранее полученного, имеем соотношения:x̃ = μx + K(z − μx ),гдеK = Px (Px + R)−1 ,PΔx = Px − KPx .В нашем случае:μxR==x̃+j ,−,PjbPxPΔx==Pj+ ,PjN ,zx̃==x̃−jb ,x̃Nj .219В результате получаем:x̃NjKj==−+x̃+j + K(x̃jb − x̃j ),++− −1Pj (Pj + Pjb ) .Полученные соотношения эквивалентны соотношениям, полученным припервом подходе, что проверяется непосредственно.Например, величина (PjN )−1 , полученная при первом подходе, умноженная на PjN при втором подходе, равна единичной матрице.Дополнение к лекции 14.

Меры оцениваемостиЗадача оценивания вектора состояния линейной динамической системыпри помощи доставляемой измерителями информации делает неизбежным вопрос о том, может ли такая задача быть принципиально решена. Ответ наэтот вопрос дает теория наблюдаемости, позволяющая выделить наблюдаемое подпространство. Но практически важно знать не только наблюдаемали некоторая комбинация компонент вектора состояния, но и хорошо ли онанаблюдаема (или оцениваема).

Конечно, если задача оценивания сформулирована как задача калмановской фильтрации, то точность оценки полностьюопределяется решением соответствующего ковариационного уравнения.Однако из указанного решения напрямую не ясно, какую роль в обеспечении этой точности сыграли измерения, а какую — априорная информация осистеме и ее динамические свойства.Со многих точек зрения целесообразно строить отдельно алгоритмы длятех переменных состояния, которые могут быть оценены с удовлетворительной точностью при помощи именно информации, доставляемой измерителями.Другими словами, нужны математически формализованные характеристики,определяющие меры оцениваемости переменных задачи.Вопрос о конструктивном введении такой характеристики не является однозначным.

В полном виде она должна учитывать по крайней мере четыре обстоятельства:• внутренние свойства системы — свойства пары (A, H);• диапазон изменения переменных на интервале оценивания;• время наблюдения (оценивания);• уровень шумов в измерениях.Ниже рассматриваются некоторые из таких характеристик.1. Сингулярные числа как меры оцениваемости.Обсудим еще одну модификацию алгоритма, доставляющего оценку пометоду наименьших квадратов вектору x в виде решения переопределеннойсистемыz = Hx + r,220M [r] = 0,M [rr T ] = σ 2 E.(D14.1)Вычислительная процедура, составляющая основу этой модификации, вотличие от рекуррентной процедуры, в которой уточнение оценки происходитот измерения к измерению, имеет дело с полным массивом измерений с самого ее начала. Важным достоинством рассматриваемой модификации являетсяполучение некоторых положительных чисел, имеющих смысл мер оцениваемости.Вернемся к методу наименьших квадратов.