В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 16

На борту движущегося объекта находятся платформа с жесткосвязанными с ней ньютонометрами, реализующими приборный трехгранник, и вычислитель, одна из задач которого — интегрированиеуказанных уравнений. Входную информацию вычислителя составляют:105x2y2ξ2MMy1x1rσσOξ1Рис. 15.2.a) данные о начальных значениях координат, скоростей и начальной ориентации приборного трехгранника относительно опорной системы;б) показания ньютонометров;в) информация, позволяющая определить текущую ориентациюприборного трехгранника относительно опорного.В рассматриваемом случае приборным трехгранником управляют так,чтобы он в идеале совпадал с опорным.Математическое описание поставленной задачи производится далее в двумерном, упрощенном варианте.С неподвижной Землей произвольным образом свяжем системукоординат Oξ (Oξ1 Oξ2 ), где O — геометрический центр Земли.Положение точки M — приведенной чувствительной массы двумерного ньютонометра — определяем полярными координатами: дли и величиной σ — углом между осью Oξ1 иной r радиус-вектора OM .

Отсчет этого угла производится так, как это уканаправлением OMзано на чертеже 15.2.Введем также угловую скорость ω поворота системы Ox относительно Oξω = σ̇.За опорную систему отсчета выберем систему Ox (Ox1 Ox2 ). Направ . Положение и абсоление оси Ox2 совпадает с направлением OMлютную скоростьM в системеOx определим соответственно точкивекторами x = xx12 и vx = vv12 . Очевидно, x1 = 0, x2 = r.106В соответствии с правилами теоретической механики, уравнениядвижения точки M во вращающейся системе координат Ox имеют видẋ = vx + ω̂x x,v̇x = ω̂x vx + gx + fx ,(15.1)где кососимметричная матрица ω̂x равна0 ωω̂x =,−ω 0и в предположении центральности силы тяготения Земли g равно:μ x(μ — постоянная тяготения).g=− 2 ,r rВнешняя сила f в системе Ox равна f1fx =.f2В скалярной форме уравнения (15.1) имеют видv1 = −ωrṙ = v2v̇1 = ωv2 + f1v̇2 = −ωv1 −(15.2)μ+ f2 .r2К ним следует добавить соотношениеσ̇ = ω.Уравнения, реализуемые в бортовом вычислителе назовем модельными.

Входной информацией о силе f служат величиныfz 1 =fz1 + Δfz1fz 2 =fz2 + Δfz2 ,где fz1 , fz2 — проекции внешней силы f на оси приборной системыкоординат; Δfz1 , Δfz2 — инструментальные погрешности, порожденные различными факторами: погрешностями нулей, погрешностямикоэффициентов в усилителях, высокочастотным «дребезгом» и.т.д.Модельные уравнения структурно повторяют уравнения движения107опорной точки M :v1 = −ω rṙ = v2v̇1 = ω v2 + fz 1μv̇2 = −ω v1 − 2 + fz 2rσ̇ = ω .(15.3)Переменные, отмеченные верхним индексом «штрих» будем называтьмодельными переменными.

Управление гироплатформой (управлениеприборной системой координат) осуществляется в соответствии с соотношением(15.4)ω z = ω + νz ,где ωz — угловая скорость платформы, νz — инструментальнаяпогрешность, порожденная неконтролируемыми возмущающими моментами, связанными с трением в осях кардана, погрешностью коэффициента усилителя и.т.д.Модельные координаты и скорости можно интерпретировать каккоординаты и скорости модельной точки M в модельной системе координат Oy (Oy1 Oy2 ), ориентация которой относительно системы Oξопределяется углом σ .Ошибка решения навигационной задачи описывается текущим положением и скоростью модельной точки M относительно опорнойточки M , а также угловым положением приборной системы координат относительно модельной.

Соответствующие уравнения называются уравнениями ошибок.Вывод уравнений ошибок основан на следующей схеме.Определяется вектор состояния X(t) динамической системы, поведение которой подчиняется уравнениюẊ = F (X, U ),x(t0 ) = X0 ,(15.5)где F — известная вектор-функция, вектор U (t) — внешнее возмущение системы, доступное измерению.Информацией для определения X служат величиныU (t) = U (t) + u(t),X (t0 ) = X0 + x0 ,где u(t), x0 — погрешность информации.Указанная информация поступает в вычислитель, работа которогоописывается уравнениемẊ = F (X , U ),108X (t0 ) = X0 .(15.6)Вектор X (t) называется модельным, а уравнение (15.6) — соответственно модельным уравнением.Вводится вектор x(t) = X (t) − X(t), называемый вектором ошибок.

Поведение x(t) подчиняется уравнениюẋ(t) = F (X + x, U + u) − F (X, U ).(15.7)Величины u(t) и x0 полагаются малыми настолько, что уравнение(15.7) может быть линеаризовано, т.е. правая часть этого уравненияможет быть разложена в ряд Тейлора относительно величин x и u вокрестности X(t), U (t). Получимẋ = A(t)x(t) + B(t)u(t),(15.8)гдеA(t) = A(X(t), U (t)) =∂F (X, U ),∂XB(t) = B(X(t), U (t)) =∂F (X, U ). (15.9)∂UВажно отметить, что в силу гипотезы малости величин u и x0 , ввыражениях (15.8) для матриц A и B аргументы X и U могут бытьзаменены на аргументы X , U .

Более того, вместо X или X можноиспользовать X ∗ = X + x∗ , лишь бы x∗ (t) имел порядок малостиx(t).Вернемся к выводу уравнений ошибок в нашем конкретном случае. Для дальнейшего нам понадобится понятие угла малого поворота.Пусть система координат Os (Os1 Os2 ) повернута относительно системы Op (Op1 Op2 ) на угол κ, так, что имеют место соотношения s1p1cos κsin κs = Cp,s=, p=, C=.s2p2− sin κ cos κЕсли угол κ настолько мал, что допустима замена cos κ = 1, sin κ =κ, то κ называется малым поворотом или углом малого поворота. Вэтом случае0 κs = (E + κ( )p,где κ(=—−κ 0кососимметрическая матрица, соответствующая малому повороту κ.Определим ориентацию приборной системы Oz относительноопорной Ox малым поворотом αz = (E + α()x,109модельную систему Oy относительно опорной — малым поворотомΔσ = σ − σ)y = (E + Δσ)x,приборную систему Oz относительно модельной — малым поворотомβ(z = (E + β)y.Очевидно β = α − Δσ.Здесь угол α представляет ошибку построения приборной вертикали (горизонта), угол Δσ — ошибку построения модельной вертикали (горизонта).Очевидны соотношенияωz =ω + α̇,ωy =ω + Δσ̇.Из уравнения (15.4), определяющего управление платформой, следуетβ̇ = νz .(15.10)Это уравнение называется кинематическим уравнением ошибок.Введем соотношения, определяющие движение модельной точкиM относительно опорной точки M , т.е.

соотношения, которые описывают ошибки определения местоположения при помощи ИНС. Важно отметить, что информация, содержащаяся в бортовом вычислителеИНС описывает движение модельной точки M в модельной системекоординат и поэтому, чтобы сравнить ее движение с движением опорной точки M , уравнения движения M надо записать тоже в модельнойсистеме координат.Положение точки M в системе Oy определяется вектором y =(y1 y2 ) , а положение M в системе Oy — вектором y = (y1 y2 ) .Полная ошибка вычисления местоположения определяется величиной Δy = y − y. Связь между величинами Δy1 , Δy2 и величинами Δσи Δr находится из соотношений Δy100)= − (E + Δσ),Δy2rrоткуда следуетΔy1 = − rΔσΔy2 =r − r = Δr.Целесообразно представить полную ошибку Δy в виде суммы двухошибок: динамической и кинематической. Для этого запишем Δy в110виде Δy = y − y = (y − z) + (z − y), где z — вектор, определяющий положение точки M в приборной системе Oz.

Введем обозначение δy = y − z и δy назовем вектором динамических ошибок. Сучетомz = (E + β̂)y и z = (E + α̂)x,получим Δy = δy + β̂y, гдеδy = δy1−αr=.δy2ΔrТаким образом, полная ошибка местоположения представлена в видедвух ошибок: динамической и кинематической. В скалярной формеΔy1 = δy1 + βrΔy2 = δy2 = Δr.Чтобы вывести уравнения, которым подчиняется динамическая ошибка δy, сравним две группы уравнений.1) Уравнения движения точки M в системе Oyẏ = vy + ω(y y (15.11)μ y2 r .r2) Уравнения движения точки M в приборной системе Ozv̇y = ω(y vy + gy + fz ,gy = −ż = vz + ω(z z(z vz + gz + fz ,v̇z = ωgz = −μ z.r2 r(15.12)Предварительно вычислимgy − gz = −Обозначим ω02 = rμ 3 =Тогда получимgy− gz =μμ yμz3μ y =−+δy+Δr.r2 rr 2 rr 3r 3 rgr .−ω02 0δy12δy − 3= −ω0−2δy2 .δy2При решении навигационной задачи в окрестности Земли r = R + h,где R — приведенный радиус сферической модели Земли R ≈ 6380км,h < 30км и поэтому приближенно можно считатьμg= const = 1, 56 · 10−6 1/сек2ω02 = 3 =RR111%gВеличина ω0 = R= 1, 25·10−31/сек носит название частоты Шулера по имени немецкого ученого Макса Шулера, который ввел понятиематематического маятника с длиной равной радиусу Земли.

Из сравнения уравнений (15.11) и (15.12) с учетом того, что ωz = ωy + νz иполагая vy − vz = δvy , получимδ ẏ =δvy + ω(y δy − ν(z yδy1ωy δvy − ω02δ v̇y =(+ Δfz − ν(z vy−2δy2(15.13)Уровень погрешностей современных навигационных систем таков, чтовеличиной ν(z vy можно пренебречь.Уравнения (15.13) носят название динамических уравнений ошибок. Запишем их в скалярной форме:δ ẏ1 =δv1 + ωy δy2 − νz rδ v̇1 =ωy δv2 − ω02 δy1 + Δfz1и(15.14)δ ẏ2 =δv2 − ωy δy1δ v̇2 = − ωy δv1 + 2ω02 δy2 + Δfz2Добавляя к этим уравнениям кинематическое уравнение ошибокβ̇ = νz ,а также выражения для полных ошибокΔy1 =δy1 + βrΔy2 =Δr,получим замкнутую систему уравнений, определяющих точность решения навигационной задачи.Заметим, что при самолетных скоростях отношениеω 1.ω0Можно показать, что динамические уравнения ошибок (15.14)неустойчивы.

Эта неустойчивость вызывается наличием в правой части слагаемого 2ω02 δy2 . Строгое исследование неустойчивости выходит за рамки этой лекции.Во всех реально функционирующих инерциальных навигационных системах для устранения указанной неустойчивости привлекается в той или иной форме дополнительная информация о высоте. Либо112априорно полагается, что высота в процессе движения мало меняетсяи можно допустить гипотезуr = const ,либо дополнительная информация о высоте доставляется датчикамине инерциальной природы, например, баровысотомерами. При этомвозможны два варианта построения алгоритмов навигационной системы.

В первом варианте из состава модельных уравнений исключаются уравнения вертикального канала. С механической точки зрения этоозначает, что движение точки M стесняется геометрической связьюr = r∗ ,где r∗ = r + — дополнительная информация о высоте, а — погрешность этой информации.В другом случае в модельные уравнения вертикального каналавводится обратная связь, сформированная при помощи дополнительной информации. Модельные уравнения вертикального канала приэтом имеют видṙ =v2 + k1 (r − r∗ )μv̇2 = − ω v1 − 2 + fz 2 + k2 (r − r∗ )rСоответствующие уравнения ошибок вертикального канала таковы:Δṙ =δv2 − ωy δy1 + k1 (Δr − )δ v̇2 = − ωy δv1 + 2ω02 Δr + Δfz2 + k2 (Δr − ).(15.15)На практике k1 и k2 выбирают настолько большими, что уравнения(15.15) можно заменить уравнениямиΔṙ =δv2 + k1 (Δr − )δ v̇2 =k2 (Δr − ).(15.16)Строгая оценка возможности такого перехода здесь опускается.Характеристическое уравнение системы (15.16) имеет видλ2 − k1 λ − k2 = 0.Корни этого уравнения выберем такими, чтобы характеристическоеуравнение имело вид (λ+λ0 )2 = 0.