Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем

В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 15

Описание файла

PDF-файл из архива "В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем", который расположен в категории "лекции и семинары". Всё это находится в предмете "механика управляемых систем" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 15 страницы из PDF

если измерение не содержит шума r). Такая ситуация возникает, например, когдакоррелированный шум в измерении представляется в виде формирующего уравнения и включается в вектор состояния. Один из удобных«инженерных» вариантов решения такой задачи состоит в том, чтовводится некоторая матрица R, соответствующая фиктивному шумуr малой интенсивности:M [rr ] = εE(ε > 0 — малый параметр).Далее выясняются некоторые свойства алгоритма (14.7) и, в частности, уравнения Риккати.1. Представление уравнения Риккати в виде линейных уравнений большей размерностиДля краткости обозначим H R−1 H = C > 0. Прежде всего заметим, что уравнениеṖ = AP + P A + Q − P CP100(14.8)при Q = 0 сводится к линейному путем перехода к обратной матрицеN = P −1 :Ṅ = −N A − A N + C.Рассмотрим совокупность соотношений, определяющих матрицы Ψ1 ,Ψ2 :Ψ̇1 = AΨ1 + QΨ2 ,Ψ1 (t0 ) = P0 ,(14.9)Ψ̇2 = CΨ1 − A Ψ2 , Ψ2 (t0 ) = E,и определим матрицу P ∗ соотношениемΨ1 = P ∗ Ψ2 .(14.10)Покажем, что соотношения (14.9) эквивалентны уравнению (14.8)в том смысле, что задают одну и ту же функцию P (t) = P ∗ (t).

Продифференцируем соотношение (14.10):Ψ̇1 = Ṗ ∗ Ψ2 + P ∗ Ψ̇2и, подставив выражения для производных Ψ̇1 и Ψ̇2 из соотношений(14.9), получимṖ ∗ − AP ∗ − P ∗ A − Q + P ∗ CP ∗ Ψ2 = 0.Если Ψ2 — невырожденная матрица, то из последнего соотношенияследует, что матрица P удовлетворяет уравнению (14.8), т.е. P ∗ = P .НоΨ̇2 = CP − A Ψ2 ,Ψ2 (t0 ) = E,т.е. Ψ2 — переходная матрица и, стало быть, det Ψ2 = 0. Соответственно матрица P может быть найдена по формулеP = Ψ1 Ψ−12 .Таким образом, нелинейное уравнение Риккати сведено к двум линейным уравнениям (14.9).Рассмотрим некоторые частные случаи.1.

Пусть H = 0. Тогда в (14.8) матрица C = 0, и уравнение Риккати трансформируется в дисперсионное уравнение. Обозначим черезΦ(t, t0 ) переходную матрицу, удовлетворяющую уравнениюΦ̇(t, t0 ) = A(t)Φ(t, t0 ),Φ(t0 , t0 ) = E.Легко показать, чтоΨ2 (t) = Φ (t0 , t),101tΨ1 (t) = Φ(t, t0 ) P0 + Φ(t0 , τ )Q(τ )Φ (t0 , τ )dτ ,t0tP (t) = Φ(t, t0 ) P0 + Φ(t0 , τ )Q(τ )Φ (t0 , τ )dτ Φ (t, t0 ).t02.

Пусть Q = 0. ТогдаΨ1 (t) = Φ(t, t0 )P0 , tΨ2 (t) = Φ (t0 , t) +Φ (τ, t0 )C(τ )Φ(τ, t0 )dτ P0 ,t0P (t) = Φ1 Ψ−12 .2. Некоторые условия устойчивости фильтра КалманаОбратимся к алгоритму оценки (14.7). Уравнение ошибок оценкиотносительно величины Δx = x − x̃ имеет видΔ̇x = AK Δx + q − Kr,AK = A − KH.(14.11)Важнейшим свидетельством работоспособности алгоритма (14.7) является устойчивость (асимптотическая устойчивость) уравнения ошибок (14.11). Ниже, без доказательства, приводятся три теоремы, устанавливающие условия устойчивости фильтра Калмана для некоторыхважных практических случаев.Теорема 17.

Пусть P (t) — положительно определенная и ограниченная для всех t > t0 матрицаρ21 E < P (t) < ρ22 E,ρ1 = const ,ρ2 = const ,являющаяся решением уравнения РиккатиṖ = AP + P A + Q − P CP.(14.12)Тогда уравнение (14.12) устойчиво.Пусть, кроме того, пара (A, H) наблюдаема. Тогда уравнениеΔ̇x = AK Δx(14.13)асимптотически устойчиво.102Теорема 18. Пусть P1 и P2 — два решения уравнения РиккатиṖ = AP + P A + Q − P CP,соответствующие двум возможным начальным значениямP1 (t0 ) и P2 (t0 ). Решения уравненийΔ̇x1 = AK1 Δx1 ,AK1 = A − K1 C,Δ̇x2 = AK2 Δx2 ,AK2 = A − K2 C(14.14)устойчивы (соответственно асимптотически устойчивы).Тогда разность ΔP = P2 − P1 ограничена (соответственностремится к 0 при t → ∞).Вышеприведенная теорема позволяет положительно ответить навопрос о возможности применения фильтра Калмана (14.7) в условиях, когда априорные стохастические характеристики динамическойсистемы (14.1) известны приблизительно.Замечание 16.

По условиям теорем требуется ограниченностьматрицы P (t). Установить эту ограниченность можно либо изфизических соображений, либо путем прямого моделированияалгоритма оценки.Рассмотрим стационарный случай: A, H, Q, R — постоянныематрицы. Поскольку Q ≥ 0, существует разложение Q = BB .Обычно, как уже говорилось ранее, в качестве матрицы B выбираетсялибо верхняя, либо нижняя треугольная матрица.Теорема 19.

Пусть пара (A, H) наблюдаема, пара (A, B) управляема. Тогда:1) Существует единственное установившееся решение P∞уравненияṖ = AP + P A + Q − P CP,P∞ = lim P (t),t→∞удовлетворяющее алгебраическому уравнениюAP∞ + P∞ A + Q − P∞ CP∞ = 0.2) Однородное уравнениеΔẋ = (A − K∞ H)Δx,K∞ = P∞ H R−1асимптотически устойчиво.103Лекция 15Применение теории наблюдаемости иоценивания в инерциальной навигацииТеория наблюдаемости и оптимального оценивания находит самоеширокое применение при построении бортовых алгоритмов инерциальных навигационных систем (ИНС).

Эти системы служат основой навигации самолетов, крылатых ракет, морских надводных и подводных судов, дефектоскопов, движущихся в газопроводах или нефтепроводах и.т.д.Ниже будет рассмотрена упрощенная двумерная модель инерциальной навигационной системы, но такое упрощение сохраняет основные свойства метода инерциальной навигации. Приборной основой рассматриваемой здесь навигационной системы служат два типа устройств: однокомпонентные ньютонометры и гироскопическая платформа. Моделью ньютонометра является однокомпонентный пружинный подвес с точечной чувствительной массой (см.рис.

15.1).На чувствительную массу ньютонометра, расположенную на движущемся в поле силы тяготения объекте, действуют две силы: сила f,приложенная к массе со стороны пружины, и сила тяготения g. Составляющая силы f вдоль оси чувствительности определяется по деформации пружины.Блоку из трех однокомпонентных ньютонометров с ортогональными осями чувствительности может быть поставлен в соответствиетрехкомпонентный ньютонометр с одной чувствительной массой, называемой приведенной.

За счет нормировки ее можно считать единичной.Основой гироплатформы служат гироскопы в кардановых подвесах. Гироскоп в кардановом подвесе сохраняет неизменную ориента-Рис. 15.1.104цию в инерциальном пространстве, если к осям кардана не приложеныникакие возмущающие или управляющие моменты. Если по одной изосей карданова подвеса приложить момент, то корпус ротора гироскопа начинает вращаться (прецессировать) вокруг другой оси с угловойскоростью, пропорциональной приложенному моменту. Орт, задающий направление действия момента, ось прецессии и направление кинетического момента ротора составляют ортогональный трехгранник.Связывая конструктивно два или три гироскопа, можно построить гироскопическую платформу, которая либо неизменно ориентирована в инерциальном пространстве (если не прикладывается никакихвозмущающих моментов), либо вращается с абсолютной угловой скоростью, пропорциональной действующему на платформу моменту.

Сплатформой жестко связывается правый ортогональный трехгранникM z(M z1 z2 z3 ), где M — местоположение приведенной чувствительной массы блока ньютонометров; в проекциях на оси этого трехгранника измеряется внешняя сила f, приложенная к точке M . Оси прецессии гироплатформы с точностью до инструментальных погрешностей совпадают с осями этого трехгранника. Трехгранник M z называется приборным.

Метод инерциальной навигации состоит в следующем:1. Выбирается некоторая система координат (опорная система отсчета) и ставится задача определения в этой системе скоростей и координат объекта, движущегося в поле тяготения Земли под действиемвнешней силы, доступной измерению. Под объектом всегда понимается приведенная единичная масса, если используются два либо триоднокомпонентных ньютонометров.2. Записываются уравнения Ньютона, которым подчиняется поведение объекта. В эти уравнения входят компоненты двух сил: силытяготения, зависящей от текущих координат объекта, и внешней силы,приложенной к чувствительной массе со стороны корпуса ньютонометра. Координаты и скорости определяются путем интегрированияэтих уравнений при условии, что известны начальные координаты искорости, а также текущие измеренные значения компонент внешнейсилы.3.

Свежие статьи
Популярно сейчас