Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 7

Двойноеинвертирование может произойти в трех разных случаях, таким образом,его вероятность равна Зр 2 (1 - р), в то время как веJЮятность тройногоинвертирования равна р 3 . Тогда в целом вероятность того~ что 110дсчет про­стого большинства tютерпит неудачу, равна Зр 2 (! - р) р 3 ·~ Зр' - Zp'- Но+нриили( 1.21)КО;J увеличивает достоверность информации.Мы можем еще больше увс:шчить достоверность, испо;Iьзуя более)L.1ИННЫЙ код.

Один такой код (хотя и далеко не самый зффективный)-ГЛАВА341код повторения N -битов. Согласно центральной предельной теореме, nриN ~ оо распределение верояnюстей д.t"""IЯ среЮiеГО значения бита стремитсяк гауссавекому с шириной 1/-./N. Если Р = ~ + Е: - верояmость того, чтокаждый бит имеет истинное значение, rогда вероятность ТОI'О, что подсчетпростого большинства потерпит неудачу (для большогоN),определяетсяхвостом распределения Гаусса и равнаperrar ~ еТаким образом, для moбoro Е>-NE 2(1.22)О, вводя доста·rочное количество вспомо­гательных битов, можно достичь сколь угодно высокой надежности. Всев порядке будет даже при Е:<О, если учитывать, что в этом случае боль­шипстно голосов отдается ошибочному результату.

Лишь nри Р = ~ зтасхема не обоснована, ибо тоrда блок из N битов будет случайным и небудет содерж~пъ никакой информации.В 1950-х гг. Джон Фон Неймаи показал, что клеенческий компьютерс шумящими злементами может надежно работюъ, используя достаточноекшшчество вспомогательных битов. Он обратнА внимание на то, что принеобходимости каждую логическую операцию можно выполнить мноrо­краmо и получить мажоритарный результат. (Фон Нейману быно особенноинтересно, почему его мозг так хорошо функционировал.

несмотря на нена­цежпость нейронов. Думаю. что ему бьmо прияnю найти объяснение своейсообразительности).Но теперь мы хотим использовать коррекцию ошибок для того, чтобысохраюпъ работоспособность квантового компьютера. Нетрудно видетьсвязанные с зтим трудности:1.Фазовые ошибки. Квантовая информация более подвержена ошибкам.В дополнение к ошибкам инвертирования битовIO)11)~~11),JO)(1.23)в ней также могут появляться и фазовые ошибки:IO) ~ IO),Jl)--> -11).(1.24)Фазовая ошибка влечет за собой серьезные последствия, потому чтоона иревращает состояние ~ [IO)+ 11)] в ортогона.оьное ему состоя-ние ~ [JO) - 11)]. Однако классическое КОJщрование не обеспечиваетзащиты от фазовых ошибок.1.8. КВАНТОВЫЕ КОДЫ, КОРРЕКТИРУЮЩИЕ ОШИБКИ2.35Малые ошибки.

Как уже отмечалось, квантовая информация непрерьш­на. Если кубит находится в состоянииaiO)+ bll),(1.25)то опшбка может изменить а и Ь на величину nорядка Е. Со време­нем эти малые ошибки могут накашшваться. Классические же методыпредназначены для исправлеirия больших ошибок (ошибок инвертиро­вания биюв).3. Измерение -roпричина возмущения. Согпасно схеме подсчета пpocro­бо.Jьшинства голосов, для обнаружения и исправления ощибок нуж­но было измерять би'IЪI н коде. Однако нельзя измерять кубиты, невозмущая зако11ированную в них·ипформапию.4. Невозможиосп.

кдоuнроваиня.При классическом кодировании инфор­мация защищалась путем создания ее дополнительных коnий. Однакоизвестно, что квшповую информацию нслия воспроизвести с абсо­лютной то'[mостью.1.8.Квантовые коды, корректирующие ошибкиНесмотря на эти трудности, оказывается, что квантовая коррекцияошибок действительно возможна. Первый пример квантового кода, исправ­.1яюшсго ошибки, был построен оКОJЮ двух ;тет назад (утадайте, кем') Пи­тером Шором.

Это открытие привепо к возникновению новой, удивительнобыстро развившсйся, 1\ИСциrшины·-теории квантовых кодов коррекцииошибок. Мы рассмотрим ее позже в этом курсе.По-видимому, проше всего понять принцип работы квантовой коррек­ции ошибок~ рассматривая оригинадьный код Шора.

Это наиболее простоеквантовое обобщение классического трсхбитово1'0 кода повторения.Давайте еще раз рассмотрим этот трехбитовый код, но на этот раз учи­тывая требование, что в случае с квантовым кодом мы 11:олжны быть в со­стоянии исправлять ошибки без измерения какой бы то ни было закодиро­ванпой информации.Предположим, что мы кодируем один кубит тремя кубитами:IO) -> IO)11) _, 11)се=IOOO),1111),(1.26);~рутими словами, мы кодируем супернозициюaiO) +Ьil) _, a.IO) +Ьii)=aiOOO) t- ЬIШ).(1.27)ГЛАВА 136Мы хотели бы суметь иснравить ошибку инвертирования бита, не разрушаяэту суперпозицию.Конечно, нельзя измерять значение одного кубита.

Если я измери.1 пер­вый кубит и получил результат /0), то это :шачит, ~по я приi'Отовил состо­яние 10) для всех трех кубиmв, и мы потершти квантовую информющю,закодированную в I<Оэффициентах а и Ь.Но нет никакой необходимости ограничиваться измерением одного ку­бита. Я мог бы также выполнить кош1ективное измерение на двух кубитахсразу, и этого достаточно д.-ш диагностики ошибки инвертирования бита.Для трехкубитового состояния [х, у,кубитолыс наблюдаемые у в7модупю два). Как дляz)я мог бы измерить, скажем, двух­илн х @z[x,y,z) = [000},z(гдеEDтак и дляобозначает сложение по[x,y,z) = [111}резуль­тат бын бы равен нулю, но если какой-нибудь бит инвертируется, тогда покрайней мере одна И:3 этих величин будет равна е~~~нiшце.

Фtlктически, еслиинвертируется один бит, то два бита(у El)z,xв7z)(1.28)неносрсJ1СТВенно опре11еляют в двоичной записи позицию(1, 2илн3)ин­вертированного бита. Эти два бита составляют синдром, ;щагностирующийпоявившуюся ошибку.Например, еспи инвертиронался первый битafOOO} + bflll} ---> af100}тогда измерение (у Е9z, хЕЕ;+ bf011},дает результатz)(0, 1},(1.29)информирующий насо необходимости инвертировать первый бит; зто действительно исправляетошибку.Конечно, вместо (большой ошибки) инвертирования бита, возможнамалая ошибка:[000)---> [000}[Ш}+ фОО},___, [lll}- с[011}.(J .30)Но даже в этом случае вышеописанная продедура будет прекрасно ра­ботать. Измеряя (у ЕРz,x 6 z).мы восстанавливаем собственное состоя­ние этой наблюдаемой.

В большинстве случаев (с вероятностью 1 - IE/ 2 )мы получаем результат (0, О) и проецируем понрсж;tснпое состояние наисходное, исправляя таким образом ошибку. Иногда (с верон·шостью [с [2 )мы получаем результат (0, 1) и проецируем сосшяние на уравнение (1.29).Но то1 да синл;ром прика:~ывает нам инвертировать первый бит, что носста­навшшаст исходное состояние.

Аналогично, если амrumтуда вероятностиинвертирования каждого из трех кубитов имеет порядок .с, тОIJЩ измере­ние синдрома с вероятностью порядка IE-J2 спроеuирует состояние на то,371.8. KRAJITORЫE КОДЫ, КОРРЕКТИРУЮЩИЕ ОШИБКИв котором один из трех битов инвертирован, а синдром укажеткакой-ИЗ НИХ.Итак, мы преодолели три из четырех ранее упомянутых трудностей.Мы ВИI\ИМ, что без ущерба для информании можно вытюинить диагности­рующее ошибку измерение [ответ на пункт(3)].Квантовое измерение мо­жет проецировать состояние с малой ошибкой на сосrояние без ошибкиили на состояние с большой дискреп~ой ошибJrой, способ исправленияторой нам известен [ответ на пункт(2)].Что касается пут1кта(4),IQ)·то этапроблема вообще не возникла, поскольку состояние aiO) ! bii) получено неюонированисм - оно не совпадает с ( aiO) -! Ьll) )'; то есть не образованотремя копиями незакодированного с_остояния.Остается rолъко одна проблема:(1)фюовые ошибки.

Наш код пока необеспечивает никакой защиты от них. ЕсJШ в любом одном из трех кубитоввозникнет фазовая ошибка, тогда наше закодированное состояние aiO)преобразуетсJ! вaliJ)- ЬII)1 Ьii)и закодированная квантовая информация разру­шится. В действите.1ьности исподьзованис кода троекрапюго повторениявтрое упсJIНчивает часто1у возниюювения фазовых ошибок. Но, располагаяметодами, преодолевшими проблемымы можем с уверенностью(2)-(4),по;rойти и к первой проблеме.

Введя вспомогательные (дополнительные)биты, мы заш.итились от ошибок инвертирования битов. Это подсказываеткак защитип,ся от фазовых ошибок с помощью кодирования вспомогатель­ных (дополните.тыrых) фаз.Стедуя Шару, :.акодируем один кубит девятьюIO) ~ JO) ~ ,1 , (IOOO) ~ IJll))(looo)2 111)IO)и~ II)II)=2~2 (IOOO)+ IJ!l))(looo) + IШ)),(1.31)-1111))(1000) -1111))(1000) -1111))состоят из трех кластеров, в каждом нз которых по три кубита, при­чем каждый кластер приготовлен в оююм и том же квантовом состоянии.Каждый из кластеров имеет три вспомогательных бита, поэтому мы можемисправить инвертирование одного бита в mобом кластере описанным вышеметодом.Ilредположим, что в одном из кластеров происходит обращение фа:ш.Ошибка изменяет относительный знакIOOO)и1111)в этом юшстере так,чтоIOOO) 1-1111) ~ IOOO)IOOO) -1!11)-+ IOOO)-IШ),~1111)(1.32)ГЛАВА 138Это значит, что относительная фаза поврежденного кластера отличается отфаз двух других кластеров.