Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 51

: .хп) совершенно произвольнос распределение верояmо-стей кодовых с.:юв А:--шсы. Вычислим х Д!lЯ этого ансамбля. Заметим, -.:поГЛАВА 5266г;~е, например,р1(х 1 ) =Lp(x 1 ,x 2 , ... ,xn) часлrое распределениеx2, ... ,z,.вероятностей для первой буквы. Более того, из субаддитивности энтропиимы имеем:(5.189)Pi -гдеи(5.189),приведеиная матрица wотности i-ой буквы. Комбинируя(5.188)мы находим, что(5.190)t, -гдемаргинальный ансамбль, управляющий i-ой буквой, подученной(5.190) примелимо к пюбому ансамб;rю факторизуе­Бобом. Перавенствомых сосrояний.Теперь i~IЯ канала, описываемого супероператором$,определим ем­кость 1Шиала по отношению к факторизуемым состояниямС($)=maxx($(E)).(5.191)ЕСледовательно, дпя каждою слагаемого в (5.190)-(n\х(Е ·) ~x(t,) ~ С и мы получаемnC,(5.192)где [;(n)- произвопьный ансамбль факторизуемых состояний.

В частности,из границы Хо;IСВО мы приходим к заюноченлю, чrо количество ПО:"JУЧае­мой Бобом информации ограничено сверху величинойnC.Но мы видели,что для любого Е можно аснмптотически достиЧI> х($(Е)) битов на однубукву сообщения при правильном выборе кода и декодирующей наблюдае­мой. Следовательно, С представляет собой оптимальное количество биrовна одну букву, которое может быть нередаио через канал с шумом с исче­зающе малой верояmостью ошиб]<И при условии, что сообщения, которыеготовит Алиса, представляют собой факторизуемые состояния.Мы оставили открытой возможность того, что емкость относительнофакторизуемых состояний С($) может быть превышена, если позволитьАлисе готовить запутштые состояния из ееnбукв.

Неизвестно (на январь1998г.), существуют ли квантовые каналы, более высокая нронускная спо­собность которых может быть достигнута нри использовании запутанныхсообщений. Это один из многих интересных открытых вопросов теорииквантовой информации'.1Обзор некоторых результаrов относительно проnускной способности квантового каналапри исnоJILЗОвании заnуrаниых сообщений см. в книге А. С. Холево, Введеиие в квантовуютеорию tтформации, МЦНМО, М.,(2002). -Лрим.

ред.2675.5. ПЛОТНОСТЬ ЗАПУТЫRЛНИЯ5.5.Плотность запутыванияПрежде чем завершить наш обзор теории квантовой информаиии, об­ратимся к еще одной теме, в которой цеюральную роль играет эюропияфон Неймани: количественное онрепеление запутывания.Рассмотрим два бинарных чистых сос·шяния. Одно из них-.макси­Ашльно запутанное состоюше двух кубитовIФ+)Друl'Ое-= -1v'2(IOO)+ 111)).(5.193)частич11о запутаннос состояние двух кутритов(5.194)Какое из них более запутано?Нспосредстнснно не нилно. что ответ на этот вопрос имеет глубокийсмысл. Почему можно найти однозначный способ упорядочения всего кон­тинуума бинарных состояний в соответствии со степепью их запутывания?Можем ли мы сравнивать пару кубитов с парой кутритов иным способом,нежсJШ яблоко с апельсипом?Определяющим свойством заJJУlъrвания является то, что оно не мо­жет быть создано локальными операциями.

В частности, если Алиса и Бобделят бинарное чистое состояние, то они не могут увеличить его числоШмидта никакими докальными операциями-никаким унитарным прсоб­ра..1ованием JL1И ПОЗМ, выполняемыми .АJJисой ИJШ Бобом~ ;{аже есJШ ониобмениваются классическими сообщениями о своих действиях и резуль­татах измерений. Таким обра.1ом, число, используемое для количествено­го определения запутывания, должно обладать тем свойством, что локаль·ные операции его не увеличивают. Очевидным кандидаmм является числоlllмидта, но после некоторого размышления оно уже не кажется достаточноудовлетноритеJiьным.

Рассмотрим состояние(5.195)имеющее число Шмидта, равное трем при любомlol >О. Можем ли мына самом деле сказать, что IФJ <<более запутано», чем IФ+)? В конце кон­цов, запутывание может рассматриваться как ресурсронать исполыоватьчто IФ,) (приlc:l «ero,-мы можем Imани­например, для тслепортации. Кажется очевидным,1) менее I\енный, чем IФ+), ресурс.268I'.JIAHA5Тем не менее оказывается, что существует естественный и разумныйспособ количсственноJ·о описания запутывания пюбоrо бинарного ч:истоrосостояния. Чтобы еравпить два состояния, вмполним :юка.пьные операц.ии,чтобы обменять их запутывание на тот «ВЗ.i1Ютный зталон», который можносравнивать непосредственно.

Таким (<ва.:nотным зта.rюном>) является макси­малыш заnутанное состояние.Точное утверждение о взаимозаменяемости (посредством локальныхопераций) различных форм запутывания неизбежно бУJ"'еТ aci.L11nmomuчe­cк"UМ. То есть д.r•я тот чтобы дать точное количественное описание за­путывания конкретного бинарного чистого состояния )?,Ь) AR• представим,что мы хотим приготовитьnидентичных коnий этого состояния. В нашемраспоряжении ииеется большой запас максимально запутанных пар Бешш,по;(еленных между Алисой и IJобом.

Они лолжны использоватьkпар Белла(IФ) Ав) k и с помощью лока.Jгьньiх операций и к:шсснческих средств связиприготовить n копий требуемого состояния ([Ф)лп)п Чему равно мини­мальное числоkminпар Бе.Jiла, необходимое для решения зтой задачи?А теперь предположим, чтоnкопий [·Ф) АВ уже приготовлсны. Али­са и Боб должны выполнить локальные операции, которые преобразуютзануrывание (111> ыJ) n назад к стандартной форме; то есть они должны извлеqь k' пар Бешы (IФ) AD)ствоk:Uax парИЗ ([1/J) AlJ) "?k'.

Чемуравно макси>.1аньпос количе-Белла, которые могут быть выделены (лока.ты1ым образом)Носкольку невозможность порождени.я запутьшания с помощью ло­кальных операций является нерушимым принципом, то несомненно, что(5, 196)Однако можно показать, что(5.197)В .1том смысле локальное преобразованиеnкопий бинарного чисrоtо со­стояния I'Ф) АВ вk' запуганных пар яв.:!Яется асимrпотически oбpamuJ.tЬLHпроцессом. Так как n копий \Ф) АВ можно заменить k парами Бешrа и наобо-рот, то отсюда следует; что ~ пар Бс.'uш однозначно характеризуют степеньзапутывания, переносимого состоянием 1111) АЯ· Будем называл~ отноше­ние k/n (н нре;{еле n--)> оо) запутыванием Е состояния IW>лв· ВеличинаТiJ измеряе·1; какие требуются затраты(1\ 1rapax Бешrа), чтобы созщrrъ [1/1) AR•5.5. ll.ТТOTIIOCTЬ ЗАIIУТЪJВЛНИЯ269а также значение 1'1') АВ как ресурса (то есть коничестно кубитов, которыеможно тененортироватъ с помощью17/J} м3 ).Чему равно Е дпя данного конкретного чистого состоянияжете ли вы угад.ать ответ? Этulv'} .18 ? Мо­(5.198)запутывание является энтропией фон Неймана матрицы rurотности АJIИ­сы Рл (юн матрицы ILlОтности Боба р 8 ).

J11), очевидно, правильный от­вет в том случае, когда I·Ф)лв является произведениемkпар Бешiа. В этомслучае Рл (или р 8 ) равна ~1 дпя каждого имеющегося в распоряженииАлисы кубитаРА11.11(6)- ~22 ~--иS(p 4 ) = kSТеперь нужно понять, почему Е =...(!1)®-112(5. 199)k.(5.200)=S(p л) яв;urется правильным ответомдпя ,1юбого бинарного чисто10 состояния.Нрежде -всего, мы хотим показап., что если Ллиса и Боб ,~елятk=- n[S(pл) + Jlнap Белла, то они могут (с помощью локальных операций)с высокой точностью воспроизведения Llрипновить (!Ф) АВ) n.

Они могутрешить :ну задачу, комбинируя квантовую телепортацию со сжатием Шу­махера. Во-первых, локальным образом манипулируя находящейся в ее рас­lv'}поряжении бинарной системой АС, Алиса конструируст состояниеАС(n его копий). Таким образом, состояние системы С можно рассмюриватькак чистое сосrояние, извдеченное и..1 ансамбля, описываемого матрицейплотности р 0 , гдемахера над ееnS(Pc) = S(рл). Затем А.шса вьшолняет сжатие Шу­копиями С, сохраняя хорошую точность воспроизведения,несмотря на то, что типичные состояния из СНе )n сжимаются в простран­ство н<;) с(5.201)Теперь Алиса и Боб могут использовать n[S(p л)J]поделенных междуними нар Бешш, чтобы телепортировать сжатое состоя1ше из пространстваАлисы (Hc)n в пространство Боба ('H 8 )n.

Телепортация, которая в прин­циле имеет идеа."lьную 1uчность воспроизведения, требует только локаль­ных операций и классических средств связи, если Алиса и Боб делят необ­ходимое коJmчество пар Белла. Наконец, Боб развертывает (11СкомпрсссвяГЛАВА 5270Шумахера) получеююе им состояние; тогда Алиса и Боб делят(со сколь угодно высокой точностью воспроизведения приn ___,(/w) Ав)"оо ).Предnоложим теперь, что Алиса и Боб приготовили сос1uяние (/."&)Ав)"Так как /Ф) АВ• вообще говоря, частичио запутанное состояние, ю поделен­ное между ними запутывание нахопится в разбавnенном ниде. Алиса и Ьобхотят концеитрировать поделенное межл;у ними запутывание, сжимая егодо минима;"Iьно возможнот-о гильбертона простравства; то есть они хотятконвертировать его в максимально запутанные пары.

Мы покажем, чтос высокой вероятностыо успеха А..'!иса и Боб моrут «вьшаритr,» из (/'Ф) Ав) nкак мин:имум(5.202)пар Бема.Поскольку мы знаем, что Алиса и Боб не могут локальным образомперождать запутывание, то они не могут с помощью локальных операцийпревратитьkпар Белла вk' > kпар, по крайней мере не с высокимиточностью паспроизведения и пероятностъю успеха. Тогда отсюда следует,чтоnS(pл) является мини:маш.ным ко;rичеством пар Бе;~ла, необходимымдля созданияn копий /Ф) АВ• и чю nS(p А) ~ максимальное количествопар Белла, которое может быть извлечено из n копий /'Ф) ,18 . Если бы мымогли более оффектнвпо создавать /Ф) Ан из пар Бема или более •ФФектив­но извлекать nары БеJша из jф) АВ• тогда у Алисы и Боба был бы способ,которым они увеличИJПf бы свой запас пар Бсдла с помощью локальныхопераций, что, как известно. невозможно.