Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 33

Ь, Ь' принимают значения{±1}и яв.-,яются фу~IКJ~иямискрытых случайных неременных.=Если а. а' = ±1, то отсюда следует, что шш а+ а'= О, тогда а- а' ~1же а- а = 0, ТОI:ЦЗ а+ а 1 --:: ±2; СЛСJ{ОВЗТСJIЬНО:±2, И.rlИС= (а+ а')Ьt- (а- а')Ь'- ±2.(4.31)(Здесь тайком введено пре11.положснис о локальных скрытых пере:менных мы представили, что значения {±1} могут быть приписаны одновременновсем четырем наблюдаемы~. rщже ес.'Ти невозможно одновременное изме­рение а и а' или Ь и Ь'.) ОчевидноI(C)I,:; (ICI)= 2,(432)так чтоl(ab)+ (а'Ь) + (аЬ')- (аЪ')I,:; 2.(433)4.3. ЕЩЕ IIHPABHHCTBA БЕЛЛА169Этот результат на1ывастся н еравенетвам КГШХ (Клаузер- Горн- Шимо­ни Хольт).

Оно справед.rшво мя любых С.'lучайных персменных а, а', Ь, Ь',принимающих 1пачспия {± 1}, которые унравшпотся совместным распреде­:тснисм вероятностей.Чюбы уви.;::J;еть, что квантовая механика нарушаст нсравенство КГШХ,.1огrустим, что а, а' обозначают зрмитовы онера·mры·(А)А.=~•·а,/адействующие на кубит Алисы, где а, О,'_--",•(А)сгл/(4.34)·а:- трехмерные единичные некrоры.Аналогично Ь, Ь' обозначают операторыЬ' ~ cf(B) · //(4.35)•J\Сйствующие на кубит Боба. Каждая наблюдаемая имеет собственные зна­чения± 1, mесть результатами их и.змерспия являются значения± 1.Наnомним, что если Алиса и Боб делят максима:п.но запутанное со­стояние 1~·-), то(4.36)где 8- уrо;т мсж;~у а и Ь.

Расс:!.ютрим случай, когда &/ 1 Ь, а, i/ компланарвыи располагаю1·ся IЮслетtовательно через 45°, так ч1u квантовая механикапретtска1ывает:(аЬ) = (а'Ь) ~ (аЬ') · - cos ~ ·(а'Ь') - - слs З71' - - 14v'2'(4.37)Тогда неравенство Кl'lliX(4.38)очевидно нарушается прсдска:~апием квантовой механики.4.3.2.Максимальвое нарушениеФактически, как мы уви;щм из сле/1,ующих аргументов, только"''lU рас­смотренный с.1учай предстак.;1яст максимально ло:Jможное квантово-меха­ническое нарушение неранспства КГUТХ.

Предположим, что а, а'~ Ь, Ь'ГЛАВА1704эрмитовы операторы с собственными значениями±1,так чmа2 =а" = Ь 2 = Ь' 2 = 1;(4.39)допустим также, что <<Набтодасмые А..'1исьш а, а' коммушруют с «наблю­даемыми Боба» Ь, Ь':[а, Ь] = [а, Ь'] = [а', Ь)[а', b'J =О.(4.40)ОпределяяС = аЬи учитывая(4.39),а'Ь'(4.41)вычислим+-аа'1С2=+ а'Ь + аЬ' -+а' а+Ь'Ь-а'аЬ'Ь+1+аа'Ь'Ь-ЪЪ+ЬЬ'+а'аЬЬ'-аа'ЬЬ'+1-аа'-а' а+1-ЬЬ'(4.42)Все ква.цратичные члены попарно сокращаются. так что мы остаемся сС2 ==4 · 1 - аа'ЬЪ' j- а' аЬЬ' -14 1- [а, a'J[b, Ь'].Теперь вспомним, что нормаIIMIIаа'Ь'Ь-· а' аЬ'Ь .(4.43)ограниченного оператора М опре­деляется как 1IIMII = ~~j( IIМ!oPIII)III,P)II ;(4.44)то есть нормой М является максима:IЬное собственное значение оператораJM!M.

Иструдно проверить, что норма оператора обла.пает свойствамиIIMNII .:; IIMII ·IINII,IlM + Nll.; IIМII + IINII1В оригинале используется обозначение(4.45)11·11 Aup и термин sup мrm, который можно былобы nеревести как супремум-нор.ма, или верхняя норма. На самом деле(4.44)дает опреде­ление обычной вормъt оrраниченноrо опер<ПОра, которая в русской литературе обо~нач:аетсякак НТ.1.· [[.

См., наnример, .М. Рид, Б. Саймон, Методы совремею/Qй математической физики.1977, стр. 21. -- ЛptL-.t. ред.Фумкциоиальный анализ, Мир, М.,1714.3. ЕЩЕ HF.PABEHCTBA БЕЛЛАЭрмитовский оператор с собственными значениями±1имеет единичнуюнорму, так Ч1ОJIC 2 JI.;; 4 + 1llaii·Jia'II·IIЬII·IIЬ'II(4.46)= 8.Поскольку оператор С эрмиюв,(4.47)и, следовательно,IICII .;; 2J2,(4.48)что известно как иеравеиство Цирельсона.Неравенство КГШХ утверждает, чтqI(C)I (2.В квантовой механикеабсолЮПiая величина ожидаемого значения эрмитонекого оператора С неможет быть больше его максимального собственного значенияI(C)I < IICJI < 2v'2(4.49)Мы видим, чrо верхняя 1-рань достигается в случае, когда&', Ь, а,IL"Iанарны и располагаются последонательна через углы45°.f/ком­Таким обра­зом, найденное на..\1и нарушение нсравенства КГШХ яв..'IЯется наибольшимдопустимым в квантовой теории.4.3.3.Квантовые стратегии действуют лучше ю•ассичес.:ихНеравеиство КГШХ представляет собой ограничение на величину кор­реляций между двумя частями бинарной :к.rтассической системы, а нера­венс-r-во Цирельсона -~- ограничение на веШfЧину корреляций между дву­мя часJЯми бинарной квантовой системы.

Мы можем углубить наше по­ниманиетого,чемквантовыекорреляцииотличаютсяот :классических,расематрев игру, в коюрой кваиювые стратегии работают лучше класси­ческих.AJrncaи Боб играют с Чарли. Чарли готовит два бита х, у Е{0, 1};затем он посьшает х Алисе, а у Бобу. Получив входящий бит х, Алисапроизнодит выходящий бит а Е {О,ВОi1ИТ выходящий битЬ Е1}, mчно так же, получив у, Боб произ­{0, 1}.

Но им запрещено общаться друг с друтом,так что Алиса не знает у, а Боб не знает х.Алиса и Боб побеждают в игре, если их выходящие биты окажутсясвязанными с входящими соотношениема6J Ь =х 11 у,(4.50)Гллвл1724где Е9 обозначает с.1ожение по модулю два (вснтил.XOR),а 1\ обознача­ет произведение (вентиль ~~D). Моrут шi Алиса и Боб найти стратегию,позволяющую им всегда выигрывать, независи~ю от того, какие входящиебиты выбирает Чарли?Нет, очевидно, что такой страгии здесь нет. Пусть а 0 _, а 1 обозначаютзначения выходящих битов Алисы, если входящими были х =О,1,и пустьЬ0 , Ь 1 -выходящие биты Боба, соответствующие его входящим битам у == О,1.Чтобы Алиса и Боб выиграли при всех 1Юзможных вхо,:tах, их выхо­дящие биты до.;пкны удовлетворять(4.51)Однако это невозможно, так как, СЮЩlJ,Ывая эти четыре равенства, мы по­дучим о=1.Предположим, что Чарли 1·енсрирует входящие биты случайным обра­зом.

Тогда существует очень простая стратегия, позволяющая Алисе и Бобувыюрыоать в трех случаях из четырех: они всегда иыбирают выходящиебиты а..,-- Ь = О, так чm они проигрывают, если только вхолящие биты х =1. Перавеяство КГШХ может рассматриваться как утверждение того,ccJrn Алиса и Боб де:~ят не кванmвое запутанное состояние, то ;Jучшей= у :;.:. ;.чтостратеmи нет.Ч"t1Jбы связать Э11J утверждение с нашей предыдущей формулировwйнеравенстваченияKI 'ШХ,определим случайные переменные, примимающие зна­±1:а~(-1)"',а'=Ь=(-l)ь',Ь'~(-1)ь'.{-1)"',(4.52)неравенстuо KГIIIX говорит, что при любом сов~естном распределе­нии вероятностей, управляющем нсременными а, а', Ь, Ь' Е {0, 1 }, ожи;щ­Tornaемые значения у;,оилетворяют неравенству(аЬ)+ (аЬ') 1 (а'Ь) -(аЪ')<;; 2.Более того, сели мы обозначим Рху вероятность того, чrо уравненияудовлетворяются, wгда входящле биты равны (х,у),(аЬ) ~ 2р 0 о-1,(а'Ь) = 2р 10 - 1,Например, (аЬ) =равнор 00 -(1 -р 00 ) =(аЬ') ~ 2Ро1(а'Ь') ~~2р 00 -+1, когда Алиса и Боб выигрываюt; и(4.51)ro- 1,J - 2pll ;1,-1,(4.53)(4.54)посw.1ы<у значение аЬwгда они проиrрываю1:4.3.

ЕЩЕ HF.PABEHCTBA БЕЛЛАНеравенство КГШХ(4.53)173приобретает вид2(Роо -t Р01+ Р1о + Рн) -(4.55)4( 2ИJШ1 (Рооlp) =- 4+ Pm31-Р,о +Р11 ) ( 4'(4.56)где (р) обозначает вероятность выигрыша, усредненную по однородномуансамблю входящих битов. Таким образом, если входящие биты сучай­ны,.

то Алиса и Боб не мОгут достичь вероятности выигрыша, превосхо­дящей3/4.Имеет смысл рассмотреть, как предпо~южение о том, чrо Алиса и Бобдействуют нод управлением <<локальпых скрытых неременныю>, ограничи­вает их успех в игре. Несмотря наro,Ч:1u Алиса и Боб пс делят кваН'Iuвоезапутанное состояние, им разрешено разде.1ить таблипу случайных чиссJJ,в соответствии с которой они могут генерировать их выходящие биты. Та­ким образом, мы можем представить, что Алиса и lioб принимают коррели­рованные решения, руководствуясь скрытыми персмспными, и3влекаемымииз ансамбля воз~южных значений. Эти корреляJ~ии ограничены локально­стью-Алиса не знает входящих битов Боба, а Боб-вхо;J,Ящих битовАлисы.Но ecJJИ А.1иса и Rоб ,цеJlЯТ квантовое запутанное сос·юяние, ·ш онимшуг изобрести стратегию по;Jучше.

В зависимости от значения своетuвходящеrо бита, Алиса решает измерить одну из двух зрмитовых набто­даемых с собственными значениями ±1: а, если х = О, и а', если х = 1.Аналогично, Боб измеряет Ь, если у = О, и Ь', если у = 1. Тогда I<ван­тово-механические ожидаемые значения этих наб.1юдаемых удовлетворяютнеравенству Цирсльсона(аЬ)+ (аЬ')t- (н'Ь)- (а'Ь') ( 2v'2,(4.57)а вероятно сп. того, что Алиса и Боб выиграют гейм, ограничена условием2(роо+ Ро1"Pio +Рн)- 4 ( 2v'2(4.58)илиlp)""~(Роо + Р01 + Р10 + Рн)(~12 ~ "'0,853.(4.59)Более того, мы пи;tсли, чrо это неравенство может перейти н. равенство,если Алиса и D<Jб ,це."'!Ят .максимально запутанное состояние двух кубиrов~а наблюдаемые а, а', Ь, Ь' выбраны тюдхо;(ящим образом.174ГЛАВА 4Итак, мы обнаружили, что Аписа и Боб могут играть более успеш­но при наличии квантового запутывания, чем в его отсутствие.

По край­ней мере для этих целей, разде:rенное квантовое запутывание является бо­.1ес мощным средством, чем разделенная классическая случайность. Но да­же ресурс квантоного запутывания имеет свои пределы, устанавливаемыенеравенством Цирельсона.4.3.4.Все запутанные чистые состояния нарушают яеравенства БеJшаСепарабельные состояния не нарушают неравества Белла. Например,если а является набпюласмой, лействующей на кубит Алисы, а Ь- наблю­даемой, действующей на кубит Боба,roв случае сепарабельного чистогосостояния(аЬ) = (а)(Ь).(4.60)Никакого нарушения неравеств Бема не может бьпъ, поско,-тьку, как мыуже видели, действительно существует (;юкальпая) теория скрытых пе­ременных, которая корректно воспроизводит предсказания квантовой тео­рии д;lЯ чистою состояния одного кубита.