Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2

Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 25

Описание файла

PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "книги и методические указания". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 25 страницы из PDF

В ·юм же смJ,JСле, в каком унитарное преобрюованиедает общее описание когерентной квантовой ·энолюции. В последнем еду­чае динамику квантовой системы удобно характеризовать галщльтониаиом,описывающим эво:ноцию в бесконечно малом интервале времени. Тогдадинамика описывается дифференциальным уравнением, уравнением Пlре­дингера. Интеi']Jируя это уравнение или, иначе говоря, складывая эво.:поциина множестве инфинитезимальных интерва.'ЮR, мы можем рас<...'Читать эво­люцию в течение конечного интерва..Тiа времени.Часто.

по крайней мере в хорошс~1 приближении, оказьшается RО1мож­ньrм онисание эно~Iюции (не обязательно когерентной) матрицы пл:оmости1293.5. 0С::НОВНОЕ YPARHRHИEдифференциальным уравнением. Это так называемое основн.ое уравнение(mastcr equation) будет наmей следующей темой.В самом деле,непонятно,почему для описания дскогерентизациинеобходимо дифференциальное уравнение. Такое описание во.зможноj ес­ли только эволюция кванrовой системы является «марковской» или, дру­гими словами, локшtыюй во времени. Если эволюция во времениtопера­тора плотности р(t) упрамяется дифференциальным уравнением (первогопорядка), то это значи-r; что оператор p(tdt) полностью определяется+операторомp(t).Мы видели, что всегда можем описать эволюцию оператора плотностиР.л в гильбертоном пространстве 'Н л, еслн пред1ЮJюжить.

что в расширен­ном гильбер1uвом nространстве 7-lл ®1-lв она в действительности являетсяунитарной. Но, даже если эволюция вJt А 0 Jt вунравлястся уравнениемШредингера, этого не достаточно, чтобы обеспечить локальность во вре­мени эволюции Рл(t). Действительно, если мы знаем только Рл(t), мыне имсс~t t1ОЛНОЙ системы начальных услоний дпя уравнения Illрединге­ра; кроме этого нам необходимо знать состояние «окружения».

Так как изобщей теории супе-роператоров известно, что мы внраве натребовать, чrои момент времениявляетсяt-= О квантовым состоянием в пространстве Н А 0 'Н вРА e>IO)EE(OI,(3.141)то наиболее ярким выражением этой трудности является то, что операторплотности р А (t+ dt) зависит не только от р А ( t ), но также и от Р.4в болееранние момеюъr времени, поско.%ку резервуар Е 1 некоторое время сохра­няет 11амять об этой информации и может вернуть ее обратно в систему А.Jто затруднение возникает вследствие тшu, что информация течет поушще с двухсторонним движением. Оперытая система (классическая иликваюовая) является дuccunamuвuoй, поскольку информация может перете­кать из системы в резервуар. Но это значит, что информация может такжетечь обратно из резервуара в систему, приводя к немарковским флуктуациЯЛ·tn'системе-.Таким образом, за исключением случая когерентной (унитарной) эво­люции, флуктуации неизбежны, а строго марковекое онисание квантовой;щнамики невозможно.

Тем не менее во многих отношениях марковскосописание является хорошим приб:шжением. Кшочевая идея здесь в том. чrово:Jможно разделение между типичным коррелю(иошtым временем фнуктуtобсуждая основное уравнение, окружение обыqно называют резервуаром в зfrак уваже­ния к шубоко уrореиившейся терминологии статистической физики.2Jта неизбежная связь лежит в основе флуктуацитто-диссипационной теоремы, мощно­го инструмента стаrистической физики.ГЛАВА\303аций и временным масштабом наблюдаемой нами эвоJПОции. Грубо гово­ря, мы можем обозначить через( At ),.,время, которое требуется резерву­ару, чтобы «забьпь» полученную от системы информацию,мя(дt ),е,-спустя вре­мы можем считать, что информапия навсегда потеряна, и пре­небрегать возможностью тоrо, что она вновь вернется, чтобы поВJШЯть надальнейшую эволюцию системы.Наше описание эволюции системы будет включать в себя «сrnажива­ние»(«coarse graining»)во времени: мы восnринимаем динамику сквозьфильтр, скрывающий высо:кочасmтную часть движения с w>> (дt )c~~r~·Тогда марковекое описание должно быть прибдиженно справещrnвым, ес­ли (дt),=«(дt),оа~е; мы можем иренебречь памятью резервуара, по­скольку не в состоянии обнаружить ее влияние.

Эw <<марковское прибли­жение» полезно, ecJIIf временной масштаб наблюдаемой нами динамики ве­лик по сравнению с (дt)coarse• например, если временной масштаб затуха­ния (дt)damp удовлетворяет перавеяству(Af)damp»(Al)coac~»(At),es.(3.142)Это условие часто вьmшmяется на практике, например, в ато~шой физике,где (дt),0 , ~ hjkT ~ 10- 14 с (Т- темnература) по порядку величиныбольше nшичного времени жизни возбужденного состояния.Поучительным примером является случай, в коюром система А пред­ставляет собой один гармонический осцнлляwр (НА ~ wa!a), а ре­зервуар R сосwнт из множества гармонических осцилляторов (Н н == I: w,ь;ь,), сдабо связанных с рассматриваемой системой возмутеннемН'=~+аtь)L Л(аьttt~ ·(3.143)iГамильwниан резервуара может, например, представтть (свободное) элек­тромагнитное поде, тогда Н' в низшем нетривиальном порядке теории воз­мушений индупирует переходы, в которых осцилляwр излучает или погло­щает один фоrон, при этом уменьшая и.ш соответственно увеличивая своечисло заполненияn= аt а.Мы могшr бы подойш к основному уравнению, анализируя системус помощью зависящей от времени теории возмущений, аккуратно вводя :ко­нечную обрезающую часто'!у.

Детюш это1"0 ана;ш.'1а можно найти в книгеГоварда Кармайюш 1 . Однако здесь я хотел бы обойтись без нею и перс­прыгнуrь к основному уравнению бмее эвристическим путем.1Howard Cannicbael, Орел Systems Approach to Quantum Optics, Springer Verlag, Berlin et al1993.На русском языке см. Ю. Л. Климоиrович Статистическая теория открытых систем,тr. 1-З, Янус-К М.,Янус-К М.,2002. -1995-2001;Прим. ред.Ю. Л. Климонтович Введеиие в физику открытых систеч,3.5. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ3.5.2.131Линдб;IадианПри унитарной эволюции изменение матрицы JJJiотпости во времениуправляется уравнением Шредингера 1р= -i[H,p],(3.144)которое, при не зависящем от времени Н, можно формалыш решить и пайтиP.(t)~е iHtp(O)eiHt.(3.145)Нашей целью является обобщение этого уравнения на случай марковской,но не унитарной, эволюции, в котором мы будем иметь(3.146)Линейный операторL,порождающий конечный суnереператор в том жесмысле, в каком гамильтониан Н порождает унитарную :эволюцию во вре­мени, будет называться линдбладианом.

Еслиформальное решение уравнения(3 .146)Lне зависит от времени, тоимеет вид(3.147)Чтобы вычислить линдбладиан, мы начинаем с уравнения Шредингерадля системы, свя..1анной с резервуаром(3. 148)но, как уже отмечалось, мы не ожидаем, чrо :эта формула д,ля рА можетбыть выражена лншь через р А- Чтобы найти лнндбладиан, необходимо яв­но восподьзоваться марконским приближением (как это делает Кармайкп).С другой стороны, предположим, что марковекое nриближение применимо.Мы уже знаем, чrо наиболее общий супероператор можно записать в пред­ставлении Крауса:Рл(t)=$,[p(O)j=LM~(t)p(O)Mt{t),(3.149)~нричем $r~o =интерваломdt1.Если пролетевшее время является инфинитезимальнымиp(dt)= р(О)+ O(dt),(3.150)----,-------1В статисrической физике это уравнение прння1о называть квантовым уравнением Ли­yвИJIJll(, хотя, 1rонечно, оно непосредственно выводитсJil из уравнения Шредшtгера.ред.-Прим.С!АВА 3132тогда одним из операторов Крауса будет М 0 ~бyJIYT имеn.

порядок1 1 О( dt ), а все остальныеОператоры М,, (!' > О) описывают <<ква•по­вероятностью nоря;~ка dt может совершап~ система.Vdi.вые скачкю), которые сС1е;юватсльно, мы можем записатьм~ ~ VdiL 1,.t" = 1, ~. з,.М 0 = 1 + (-iН -t K)dt,где Н и К эрмиrовы, причемL",(3.151)Н и К имеют нулевой порядок поdt.Фактически, оператор К можно опредеJIИТЬ~ используя ус~IОвис нормиран­ки Крвуса1 L м~ м" - 1t dt=р(2к L L),L") ,(3.152)LJ,L"(3.153)1~>0илик=-! L,tt>O+Поастанляя это в уравнение (3.149), выражая р( dt) = р(О)p(O)dt и срав­нивая слю·аемые порядка dt, получим уравнение Линдбла,щ 1 :р- .C[pJ-L (L"pLt- ~LtL"p- ~pLtL,,).-i[H,p] +(3.154).и>ОПервый член в.CJpJпредставляет собой обычное сла1 ас мое Шрс;[инп:­ра, генерирующее унитарную эволюцию.

Остальные слагаемые описыва­ют возможные перех.о,т.J,Ы, которые может иснытывать система, нс:.Iсдстниссе взаимодействия с резервуаром. ОператорыL"называются оператора.чиЛиидблада и..1и операторами кваитовых скачков. Кажпое елагасмое L 1.tPLLиндуцирует один из возможных квантовых скач:ков, тогда как слю'аемыс-~LLL~-.~P- ~pLLL~-.~ необходимы для корректноп.) описания тех случаев,когда скачки не возникшо1:Уравнение Линдб;Iада(3.154)иecn.то, Ч1О мы иска.m, общая фор­ма (вполне положительной) марковекой эвошопии матрицы n.1отности: тоесть основнос уравнение. Из представления Крвуса, с которого мы на­чина.;Iи, следуе1~ что уравнение Липдблада сохраняет матрит~ п.:юnю­сти: p(H-dl)- матрица •шотности, ес;ш таковой яв;rяется p(l,).

)(ействи­телыю, используя уравнение (3.154), можно непосредственно проверитr.,1Уравпсние Jlинлблада, описывающее марковскую эволюцию мнтрицы ШJОТНОС1'Н от­G. CindЫad, Оп the П!?nerators oi Quantum DynamicalSemig1'0Ups, Commш1. Math. Phys., 48, 119 -130 (1976) ... Прюк. ред.крыrой снсте~ы. получе110 в работе1333.5. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕчто Р эрмитов, акоменееtr jJ =очевидно,О.

То, чтоно,какL.(p] сохраняет положительность,у-JКСотмечалосr~,следуетизнеско.:~ь­представленияКрауса.Если мы вспомним связь между представленнем Крауса и унитарнымпредставленнемсупероператора, то интерпретацию основного уравненияможно сделать более прозрачной. Представнм, что мы нснрерывно контро­лируем резервуар, проецируя его в каж;lЫЙ момент времспи на базисС всрояшостью1-О( dt) рес!ервуар остается в состоянииностьюнорядкаdl он совершает скачок11/0) R•одно из состояний/1-') R·а с вероят­/!-') R(/-'> 0).IЪворя, что резервуар <пабьш» информацию, по:тученную от системы (такчто применимо марковекое приближение), мы считаем, что эти версходыпроисходят с вероятностями, линейно расrущими со временем.

Напомним,что зто не следует автоматически из зависящей от времени теории воз­мущений. На ма.1ых временах t вероятности отдельных переходов пропор­диональны t 2 ; мы получаем темп (дифференцируя «золотое правило Фер­ми») только после суммирования по непрерывному континууму возможныхконечных состояний. Поскольку количество дос1упных состояний в дей­ствительности убывает какIjt, 11росуммированная 110 конечным состояни­ям веrюятность перехо[{а пропорциона..1ыtаt.Используя марковекое опи­сание динамики, мы явно прсдполага.lИ, что масштаб времени (дt)coarseпастО.i!ЫСО веник, что мы можем нриписюъ часто1ъJ разJmчным возможнымнсрсходам, которые "огут быть обнаружены, пока мы контролируем окру­жение системы (резервуар).

Н действительности это следует из требова­IIИЯ (6.t),0 " " '3.5.3.»(6.t),es.Затухающий гармонический осцио~ыяторВ качестве примера, ил..тtюсrрирующего основное уравнение, рассмот­рим в1аимодействующий с ::шектромагнитным полем гармонический осцил­::rятор(3.155)11рсдпо.1ожим, что температура резервуара равна нулю; тогда будет наблю­)Щ'IЪСЯ падение УJЮВНЯ IЮ3буждения осци."I.i'mтора, сопровождающееся по­следоватсдьным излучением фотонов, но пог;ющения фотонон происходитьне будет. Следовате~lЪНО, имеется то"1ько один оператор скачка:(3.156)Здест.

Г нрелставляет собой темп расnада первого возбужденногосостояния осциллятора в основное(n = J)(n = О) состояние; в соо-rветствии соГЛАВА 3134струюурой гамильтониана Н' темп за'I)'Хания в результате перехода с п-гоуровня на1)-й равен пГ 1 Основное уравнение в форме Линдблаца(n-приобретает видр=где Н 0 =-i(H 0 , р]+Г ( apat- ~atap- ~pata),(3.157)wa t а - гамидыониан осцитштора. Это ro же самое уравне­IШе, чrо и полученное кармайклом с помощью более изощренного aнamna.(Мы не учли здесь только лэмбавекий сдвиг, или радиационную перенор­мировку частоты осциллятора, имеющую тот же порядок, что и с.1атаемыескачков в L[pJ.),.Снагаемыс скачков в основном уравнении опиСывают затухание ос­циллятора вследствие излучения им фотонов 2 Чтобы исследовать влияниескачков, удобно перейти к представлению взаимодействия; определим опе­раторы р1 иarв представлении в:щимодейстнияp(t)~ e-iH,tPr(t)eiНot,a(t)= e-iНo'ar(t)eiНot,(3.\58)так что(3.159)где фактическиa 1 (t) =- ае-iс,л, следовательно, в правой части уравне­можно заменить ar на а.

Свежие статьи
Популярно сейчас